Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 61
Текст из файла (страница 61)
МВГНИТНОЕ Вио — Севере, прнмевяемоиу толы<о к елемснтем тома проводимости. является таким, какое могли бы создать эти токи проводимости. Действительно, оно представляет собой именно то поле, которое вы могли бы вычислить, пользуясь законом Био — Савара (уравнение (6.38)), для того чтобы найти вклад каждого элемента тока проводимости в поле в некоторой точке пространства, игнорируя тот факт, что контуры не могут быть непрерывнылш.
Рассмотрим, например, точку Р в пространстве между разряжающимнся пластинами конденсатора (рис. 7.31). Каждый элемент тока проводимости, в проводах и на поверхности пластин, вносит свой вклад в поле около точки Р, согласно закону Био — Савара. Должны ли мы включить сюда также элементы «тока смещения» 3,„7 Ответ является довольно неожиданным. Мы можем включить 3,и; но если мы включим распределение в се го тока смещения, то его полное влияние для сравнительно медленно изменяющихся полей будет равно н у л ю.
Для доказательства этого положения заметим, что векторная функция 3,„, показанная на рис. 7.30 черными стрелками, имеет ту же форму, что и электрическое поле Е на рис. 7т29. Это электрическое поле практически является некоторым электростатическим полем, за исключением того, что оно медленно затухает. Следова- 3пемепм и ели у ыеауеппя 3лемеип~ пака уреееаемпеми тельно, можно ожидать, что его ротор практически равен нулю, что означает, что и го1),„должен быть практически равен нулю.
Более )дв точно мы имеем го1 Е = — — — и при токе смещения, равном с д! 1 дЕ Я,м=; —, —, мы получаем при изменении порядка дифференцирования 1 г'дЕ'г 1 д даВ го1 ) = — го1 ( — ) .=- — — (го1 Е) = — — „(89) 4д (,ду) 4з др 4дс д1а " При достаточно медленном изменении поля этой величиной можно пренебречь. Медленно меняющиеся поля называются квазистатическижи. Итак, если )см является вектором безвихревого поля, ~ 1,4, у- »«') ),~ а, а) к д) Рис. 7.32.
Покааиво ралпальаое распределеипе тока Платность тока О дли точечного источ. инка в случае !а). плв дли точе'жсго стока» в случае (о) похожа иа алектрическое пале точечкого вар!да. Лгобое распрелелепве то«а, дли которого го! Л=-О, может быть получено путе г суперпоавпаи таких истом!иков и стоков и дслгкпо. следов!тельно, давать кулевое магиитиое поле. лаз это поле может быть создано таким же путем, как электростатическое поле, т. е. может быть составлено нз полей точечных зарядов посредством суперпозиций радиальных токов, текущих наружу из точечных источников или внутрь в точечные «стоки» (рис. 7.32). Но магнитное поле любого радиального симметричного распределения тока, вычисленного по закону Бно — Савара, должно быть равно нулю вследствие симметрии, так как нет никакого другого направления тока, за исключением радиального.
Итак, в квазистатическом поле токи проводимости являются единственными источниками, объясняющими наличие магнитного поля. Другими словами, если бы Фарадей сделал установку, подобную изображенной на рис. 7.31, и мог бы измерить магнитное поле около точки Р прн помощи стрелки компаса, он не был бы удивлен. Ему не нужно было бы изобретать ток смещения для объяснения такого явления. Чтобы увидеть это новое явление индукции, нужны быстро меняющиеся поля, а именно, необходимо, чтобы поля заметно изменялись за время, которое требуется свету для пересечения габаритов установки. Вот почему от теоретического открытия токов смещения Максвеллом до экспериментального доказательства их существования в опытах Герца прошло много лет.
7.13. Уравнения Максвелла После того как Джеймс Кларк Максвелл познакомился с работами Фарадея, ои решил придать теории электричества и магнетизма математическую форму. Максвелл не мог воспользоваться теорией относительности, так как она появилась лишь через пятьдесят лет. Электрические свойства материи были еще тайной и связь между светом и электромагнетизмом не подозревалась. Многие из доводов, которыми мы пользовались при обобщении наших результатов, были немыслимы во времена Максвелла. Тем не менее, когда Максвелл развил свою теорию, член дЕ/д~, обсуждавшийся нами, появился в ней вполне естественно. Максвелл назвал его «током смещения».
Максвелл занимался электрическими полями не только в вакууме, но и в твердых телах, и когда он говорит о токе смещения, оц часто имеет в виду также движущиеся заряды. Это обстоятельство разъясняется в гл. 9 при изучении электрических полей в веществе. Действительно, Максвелл считал само пространство некото[>ой средой, «эфиром», поэтому ток смещения всегда протекал в чем-то, даже при отсугствии вещества, Но его математические уравнения совершенно ясны и недвусмысленны, и открытие им тока смещения является т е о р е т и ч е с к и и открытием первостепенной важности. Максвелл дал совершенно полную картину электромагнитного поля. В различных главах книги мы рассматривали отдельные детали этой картины.
Здесь мы покажем всю картину в виде системы уравнений, называемых по традиции уравнения»ш Максвелла: (90) Они написаны для полей в вакууме, при наличии электрического заряда с плотностью р и электрического тока с плотностью 3, вызванных движением зарядов. Первое уравнение представляет собой закон индукции Фарадея, Второе выражает зависимость магнитного поля от плотности тока смещения (т. е.
от скорости изменения электрического поля) и от плотности тока проводимости (т. е. от скорости движения заряда). Третье уравнение эквивалентно закону Кулона. Четвертое уравнение утверждает, что нет других источников магнитного поля, к р оме токов. Эту загадку природы мы рассмотрим более подробно в гл.
10. Обратите внимание, что отсутствие симметрии между В и Е в этих уравнениях обусловлено исключительно наличием электрического заряда и электрического тока проводимости. В простран2б« стве, свободном от зарядов, члены, содержащие р и 3, равны ну- лю, и уравнения Максвелла имеют вид |дВ го1Е = — —— с д~' 1 дд го1В= — — ', с д«' сВч Е= О, б)ч В= О.
(91) Член с током смещения имеет здесь первостепенную важность. Его присутствие рядом с его двойником в первом уравнении означает возможность появления электромагнитных волн. Понимание этого обстоятельства позволило Максвеллу с блестящим успехом развить электромагнитную теорию света. Вы будете детально изучать физику волн и световые волны в т. П1. Можно показать и сейчас, что уравнения Максвелла позволяют получить электромагнитное возмущение, распространяющееся со скоростью с.
Для этого мы рассмотрим несколько очень простых электрических и магнитных полей, представляющих собой распространяющееся возмущение, и покажем, что эти поля удовлетворяют всем уравнениям (91). Предположим, что в некоторый момент времени г=О в области между плоскостями у=О и у=2а имеется электрическое поле.
Это электрическое поле имеет лишь г-компоненту, которая зависит только от у следуюнгим образом: Е» Ео а (прн ( —.0). (92) Е«--Е, ( ") (а у<2а) На рис. 7.33, а изображено «крышеобразное» распределение поля, с максимумом в центре при у=а и линейно спадающее к нулю прп у — -0 и у==2а. Для заданного у поле имеет одинаковую величину для всех х и г. Иными словами, электрическое поле занимает бесконечно большую часть пространства, хотя на рисунке показаны векторы поля только по оси у. Участки, обозначенные цифрами ! и !!, расположены внутри этой «крышеобразной» части поля. Всюду вне «крыши», т.
е. для 2а<у<0, электрическое поле в этот момент времени равно нулю. В то же время в этой «крыше» существует магнитное поле В. Оно имеет только х-компоненту, выражаемую уравнениями в„= — в« -~ (0<у< а), (п рн ( = 0). (93) В„=В, (:~) (а<у <2а) ) Мы просто выдумали это поле. Заставим теперь всю конфигурацию поля передвигаться в направлении оси у со скоростью с, сохраняя форму. Это можно сделать при следующих условиях: Область 1: В,=Е, (~ ), .=- ('=.") (с((р -.Е1+ а). Вх Во т 1 Область П: (2а — д-).
07) (с1 —; а (р < с1+ 2а). (95)  — В к о =- ('-") а Эти уравнения описывают ситуацию, изображенную на рис. 7.33, б в любой момент врез:ени й Ооласть поля просто сместилась вправо на расстояние сй Внутри областей 1 и П как Е, так и В (94) Рис. 7.03.
Частный случай злектрического и нагяитиого полой, двггжупгихгя со скоростью с а направлении оси у.поля показаны в момент времени Г=О (а) и несколько позже, вовремя Г Обд Зги поля будут удовлетворять уравнениям Максвелла, если б,=б,. Обратите анима. ние аа относительную ориентацию Е, В и направления расиространевия у, имеют ту же форму, что и прежде. Следовательно, наши уравнения описывают движущуюся конфигурацию электрического и магнитного полей, но могут ли существовать такие поля? Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы должны проверить, удовлетворяют ли Е и В, выраженные уравнениями (94) и (95), уравнениям Максвелла.
Начиная с уравнений для дивергенции, легко показать, что сйу Ег В и гйч В=О. (Очевидно, что дЕ,/дг и другие компоненты Е 266 равны нулю.) Но го? Е не равен нулю, Его величина выражается уравнениями: " дЕ« Е, " В области 1: ?р р( Е =- х — ' = — ' х, ду "дЕ !' В области П: х )(Е=х -' = — — "' х. ду (9Б) Таким же образом вычисляется х? Х В? -дд В- р )( В =- — х —.— ' = — — ' х. су с В области 1: В области П (97) Частные производные по ! равны: дЕ с В области 1:: =- — — Е х д? а сЕ с В области П: —, = — Е»г, д! а — = — — В„х, дн с дп с — =- — 'В х.
д? с О (98) Поля будут удовлетворять уравнениям «индукции» в области !, если ?, (99) с — — 'х=-- ' — --Е ху? а с ( а Чтобы это было возможно, необходимо положить Е«=В,. Точно такие же требования предъявляются уравнениями к полям в области П. В самой верхней точке ??крь?ши», а также у ее концов в описываемых полях имеются математические особенности, Д?тя полной уверенности в том, что уравнения полей удовлетворяются в сюд у, мы должны знать, что в этих точках все в порядке. Поскольку Е и В в этих точках непрерывны, основания для беспокойства нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
