Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 64
Текст из файла (страница 64)
б.б Переменная злоктроЛаожушазт сила в контуре, сортошвс~ из сопротивлении и си. Рас 5.5. Кривые тока У в контуре, шшбражаннон на рис. 8.4, и электролвинсуще1! силы сбз; шкала арене. ин общая. Обратите внназанпе яа разность бава. кос ~ и. ми: вв контуре с индуктивностью ток отстает от напряжения». Величина бб1, имеюшая размерность сопротивления и, следовательно, выражаемая в омах, называется индуктивным реактивньы! сопротивлением (иначе — индуктивной реактивностью).
Если заменить индуктивность Л на емкость С, как это сделано на рпс. 8.6, мы получим контур, для которого сппаведливо уравнение — — +Й1=8,соз 551. б) (28) Рассмотрим решение этого уравнения для установившегося режима: 1 = 1, соз (бб1+ ср). (29) Так как 1=- — б)Я1с11, то Я =- — 11 И = — — 'з!п(а!1+бр). 1о (зо) 278 На рис. 8.5 колебания 4' и 1 изображены на одном графике. Так как угол ср имеет отрицательное значение, ток достигает максимума немного п о з ж е, чем электродвижушая сила. Это выражают слова- Обратите внимание на то, что при переходе от 1 к О с помощью интегрирования не возникает вопроса о добавлении постоянной интегрирования, так как мы знаем, что величина в установившемся режиме колеблется симметрично относительно значения 1,з= — О. Подстановка значения 1',1 в уравнение (28) дает — з1п(рб1--, 'бз)+И,соз(ат1+«р) =8асознз1.
(31) то Требуя, как и прежде, чтобы коэффициенты при соз м1 и зцт бу( в отдельности равнялись нулю, мы получим значения тр н 1„. Они будут равны (ю~ ЖС 1 (32) и 4'з (33) 'г ттз-1 (11соС)з Заметьте, что фазовый угол теперь положительный. Говорят, что ток «опережает напряжение» в контуре с емкостью.
Смысл этих слов понятен из графика на рис. 8.7. Выражаясь математическим языком, функция 1= ~о . СОЗ(бт1 — аГС(я~в ) )у Дз-)- оззз)з (34) = — — « — бм(мг агр1д — ) ЖГ77 ( Яма/ является частным интегралом дифференциального уравнения (18), К нему можно прибавить дополнительную функцию, которая является любым решением однородного Рис Кт так в ВС-контуре. Сравните сдвиг фаз в этом свуиае со сднигом фаз в кон~уре синдуктнвност~ю, изображенным на рве. ».5.
дифференциачьного уравнения (35) Это уравнение совпадает с уравнением (7,55), решение которого, в виде экспоненциально убывающей функции, мы нашли в разде- ле 7.9, 1 — е- 1"иь1 '. (36) 279 Физический смысл этого уравнения состоит в следующем: переходный процесс, определенный некоторыми начальными условиями, представлен в виде убывающей функции 1(1), заданной уравнением (35). По прошествии времени 1~- 1.Я эта составляющая тока исчезает и остается только установившееся синусоидальное колебание, происходящее с частотой вынуждающей силы и представленное частным решен н ем (34) .
Поскольку изучение контуров )сЬ н 17С привело к аналогичным результатам, мы имеем возможность рассмотреть контур, состоящий из последовательно включенных индуктнвности и емкости. Предположим, что переменный ток 1=!особ(бу1+р) заставили каким-то образом течь в контуре, изображенном на рис. 8.8. НапряЖЕНИЕ На ИидуКтнВНОСти )тт будЕт раВНО )Ус =1 — = — 1втэ!. 8)п (<81+ р). (37) а! щ Напряжение Рс на емкости должно иметь знак, находящиЙся в согласии со знаком )ус, т.
е. ) с вм с = с 3 1 "' = с з)" (~1 + Ч') Рнс. 8.8. Индуктивность и емкость, соединенные иаследоввтельно, вквиввлснтны одному ревктивнаму элементу, который нвлнетсн индуктквностью, если ы'СС> П и емкостью, если е1Ч.С<). Напряжение на последовательно соединенных 1, и С равно )у=)ус+)ус= — (881 — — ) 1,8!п(881 + <р). (39) 1 1 юс) о 881. = бу1- —— 1 юС (40) Эквивалентность означает лишь то, что связь между током и на- пряжением для установившихся колебаний с определенной частотой йу одна и та же. Это позволяет заменить 1 н С на 1.' в любом контуре, работающем на этой частоте. Все это справедливо и для простого )с1,С-контура, изображенного на рнс.
8.9. Вспомним уравнения (23) н (27), представляющие собой решение для контура )71., воз- Х буждаемого электродвижущей силой йГо соз бУт, и заменим бУ1 на 881 — 1188С: ~= — — ~ — — — - .(м,тк (т1) )УРв+ (юь — 11юС)"- (й р= — — —, 1 юь Жос' (42) и Для электродвижущей силы определенной амплитуды в', и заданных значений Е, С н 17 максимальный ток возникает в том случае, когда вынужденная частота бу равна Рис. 8.8. ЛСС-контур, ваэбуж двемый сину«оидвльнай электро двнжувтей силой. ~Е,— — = О, (43) 28м Для заданно й частоты 88 это соединение, очевидно, в зависимости от знака величины (ать †11б), эквивалентно или индуктивности, или емкости.
Предположим, например, что бу1,)11бтС. Тогда соединение эквивалентно индуктивности 1.', определяемой урав- нением что аналогично а †=)')у (,С=ам где а, — резонансная частота незатухающего контура ЕС. При этом равенство (41) сводится к следующему: аза сов озу (44) сой — — =а,Р ( 1+ — )— 1 г' Дсо 'з 1 аС ' (, сое у аоС (! + Ла/ае) (45) *) Частота свободно затухающего осцилляторв а в уравнении (14) првктически совпадает с частотой сое при условии умеренного иля небольшого затухания. Мы пользуемся здесь ао для определения С).
В данном рассмотрении а является любой частотой, которой можно питать нвш контур. 281 Точно такой же ток течет в контуре, состоящем из одного сопротивления схз. В качестве примера рассмотрим контур на рис. 8.3, а, соединенный теперь с источником пли генератором переменной электродви)кущей силы а. =а., соз ай Частота Х вынужденных колебаний а мо- с ба жет отличаться от резонансной Ю частоты а,= ЦУ 1'.С. Последняя для заданной емкости (0,01 дс)сф) г и иидуктивности (100 дгкгн) равна 10" рад)сек (или 1002и периодов!сек). На рис.
8.10 показана амплитуда колебаний ведал тока в зависимости от чапоты л=гграм вынужденных колебаний а для трех различных значений сопро- р гв ув ув гв д„ тивления )с контура. Предпола- а)се)л гаетсЯ, что амплитуда а о алек Р с. з10 элентродеижутпан сила с амплвтродвижущей силы раВна 100 в худое 100 а приложеха н контуру с после. доаетельно соединенными я. С и С. Элемен. в каждом сЛУчае; максимУм пРи ты новхура имеют те же знанеана, е.о в а 10 а остпее всего для само о ПР|гМЕРЕ С ЗатУХаЮН)ИМ НОитУРОМ На РНС. 8 ". — е р и.= — 1О 'гн, С=:1О-'и.) Лмплитуда тока МаЛОГО СОПрОтИВЛЕНИя, раВНОГО азиислен по формуле 1М) н н сесна на графил а зависимости от ы)ы, длн 20 одк Это — та самая величина хрсх различных зиаеенив сопротивлении ст, при которой контур, рабо- (ыа=))р Со=10' родусос).
тающий как затухающий осциллятор без вынуждающей электродвижущей силы, ведет себя, как показано на верхнем графике рис. 8.3, б. Добротность Я контура, равная согласно уравнению (14) 1О'1О-е а,1Я в), численно равна в данном случае =5. 20 Вообще говоря, чем больше добротность контура (;), тем уже и вьппе максимум на кривой зависимости амплитуды тока от вынуждающей частоты а. Чтобы выяснить этот вопрос с большей точностью, рассмотрим частоты, близкие к а„например, а=аз+ба.
Затем вычислим величину аЕ.— 1)аС, входящую в знаменатель уравнения (41), с точностью до первой степени отношения Ла)а,. Имеем н так как й»,=-1/!У т'.С, то эта величина равна (46) При резонансе величина нод знакол1 квадратного корня в (4!) равна !га. Если же йз отличается от йз„то величина подкоренного выражения удвоится, когда',«11.— 1ййС1=-Я, или приближенно 2ЛМ лз 1 (47) "зо нее м Зто означает, что при Лйийе„=-112Я амплитуда тока уменьшается до 1/)У 2 от его максимального значения. Точки, отвечающие 18;~Лйе называются точками «половинной энергии», так как энергия, нлп УЯ мощность, пропорциональна квадл=гр .
рату амплитуды (см, раздел 8.5). За ширину резонансного пика г=ур, часто принимают расстояние 2Лы ~р между точками половинной энергии. Очевидно, что ширина равна произведению 1,1!З на резонансную ~ми частоту. Колебателы;ые контуры весьма часто имеют гораздо более еугн» высокую добротность Я, чем добРис 8 11. Изменение угла сленга ьаз с частотой а контуре рнс. 8.10 ротность контура на рис. 8.!О. Радиоприемник настраивается на определенную станцию и различает ее от других с помощью резонансного контура с добротностью Я, равной нескольким сотням. Нетрудно сделать микроволновый резонансный контур с добротностью Я порядка 10' или даже 10'.
Угол Чз, являющийся углом сдвига фаз колебаний тока и э. д, с., меняется с частотой, как показано на рис. 8.!!. При очень низко!1 частоте главной помехой для тока является емкость и угол ср поло- жнтЕЛЕВ. Прн рЕЗОНаНСЕ Ерччб. ЧЕМ ВЫШЕ 1,'1, тЕМ бОЛЕЕ РЕЗКО ПрОПСХО- дит перемена знака чз при прохождении частоты через значение ейе. 8.3. Цепи переменного тока Цепь переменного тока представляет собой ряд сопротивлений, емкостей и индуктивностей, в которых текут токи, колебания которых установились и совершаются с постоянной частотой о». Колеба.
ния такой частоты возбуждаются одной нли несколькими электро- движущими силами. На рис. 8.12 показан пример такой цепи. Источник переменной электродвижущей силы изображен знаком -Я-. Для одной из ветвей цепи, например для ветви с индуктивностью Л„ зависимость тока от времени имеет внд у'а = у'„соз (йу!+ р,). (48) 282 Так как частота для всей цепи постоянна, то для задания тока в данной ветви достаточно у.казать две величины: амплитуду тока 1„и постоянную фазу гре. Колебания напряжения на концах ветви такжс имеют определенную амплитуду и фазу: )гп =- 1'„соь (ев1+ Оп).
(49) Если нам известны токи и напряжения во всех ветвях, то анализ испи можно считать законченным. Эти величины можно найти, составив и решив соответствующие дифференциальные уравнения. Если нас интересует переходный режим цепи, то все это необходимо проделать. Однако для установившегося режима существует более простой и элегантныи метод. ? Он основан на двух идеях: !) переменные токи и напряжения могут быть представлены комплексными числами; 2) при заданной частоте любая ветвь Рпс. П. ИП цепь перепеппого или элемент контура характеризуется отношением напряжения к току, Первая идея основана на замечательном математическом тождестве: е'ь =-- соз О -(-! ь |и О, (50) где )е = — !. Ее применение опирается на следующее праьило: Переменный ток 1псоз(еп1+ер) можно представить комплексным числом 1,е'и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
