Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Схема на рис. 8,1 представляет собой контур из последовательно соединенных А', Л и С. Обозначим через еу заряд, находящийся в момент времени е на емкости С. Разность потенциалов, или напряжение, на емкости обозначим через Г; очевидно, Рис. 6. Ь Каиттр с иослсио- Что Зто ЖЕ НЗПРЯЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНО И К иетелеиеос соелииеииси Н, С и с. ' последовательно соединенным индуктив- ности Ь и сопротивлению )'. Примем за положительное напряжение К такое напряжение, когда верхняя пластина конденсатора заряжена положительно, и укажем стрелкой на рис. 8.1 полоукнтельное направление тока. При выбранных таким образом знаках соотношения, связывающие заряд Я, ток ! и напряжение на емкости )У, имеют следующий вид: — О =-Сг; 1'= Ь-" — „', +И. (1) Мы хотим исключить две из трех переменных Я, 7 п Р, Из двух первых уравнений мы получаем 1= — Су1'и",г(о, после чего третье уравнение принимает вид 1/ = — ЬС (с(и1/Д)(е) — РС Ф'Ф), или Это — дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, Попробуем взять в качестве решения следую- 3?3 щую функцию: У = Ае-"' соз Ы, где А, !х и !а — постоянные величины.
Первая и вторая производные от этой функции равны — = — А е- " ( — !х соз ы1 — а! з1п ы«1, Л' «!! (4) —., = Ае-"' 1(а'-* — ы») соя ы(-1 2««ыз)п Ы). »яр Й'-' (О) Подставляя эти величины в уравнение (2) и сокращая па множитель Ае "', получим (а' — ы«) соз ы(+ 2аы зш ы!— — — (с»соза1+а!з1п««1) + — сов М =-О. ! 1.С Это выражение будет справедливо для всех !тогда и только тогда, когда коэффициенты при з(п М и соз вГ равны нулю. Инымп словами, должны выполняться условия: 2аы — — = 0 г«е д (7) Р ! «»' — ы' — «» — + — = О.
Ь 7С (8) Первое из этих уравнение дает следующее значение ок 2«' (9) Из второго уравнения следует ! Р 1 ЕС Д ' ЬО 4!'-' (10) Так как постоянная а представляет собой действительное число, то ь«не может иметь отрицательного значения. Следовательно, уравнение (3) будет решением уравнения (2) только при Я»!4(.«(И.С. Действительно, мы хотим исследовать случай «слабого затухания», что соответствует малому сопротивлению. Поэтому предположим, что значения Р, Е и С контура обеспечивают выполнение неравенства )с(21/Х7С. Функция Ае-и соз «аг не является единственным возможным решением. С таким же успехом можно, принимая значения а и «! из уравнений (9) и (10), взять в качестве решения функцию Ве-'м ма!п а(.
Общее решение будет равно сумме частных решений: )г(г) =е- '(А сова!1+ Вейн в1). (11) Произвольные постоянные А и В должны быть выбраны такими, чтобы удовлетворить начальным условиям. Эта проблема не пред- 373 ставляет для нас большого интереса.
В каждом данном случае решение может содержать синус или косинус нли их суперпозицию, и это не более принципиально, чем вопрос о начале хода часов. С- щественным является наличие затухающих синусондальпых колебаний. х б у г з б у г сК рнс, й 2, а~ Затухающее сннусондальное колебание вапрнженнв в Льочгонтурс. 6) Часть крнвой графика (ей с растянутой шкалой времена н крнвой така к е~ Перноднческпй перекод анергвн от алектрнческого полн н ла*гннтному н обратно. Каждмй рнсунок соответствует нременв, отмеченному та~ вмн же чнсламн на рве. б. Зависимость напряжения от времени показана на рис.
8.2, о. Она, конечно, ие может быть справедлива для всего прошедшего времени. Когда-то в прошлом контуру была каким-то образом сообщена энергия и затем он начал работать. Например, вначале при разомкнутом контуре конденсатор мог быть заряжен, а потом соединен с катушкой. На рнс. 8.2, б шкала времени растянута и штрихом показан ток С Пусть напряжение Р" описывается затухающей косннусоидой (уравнение (3)). Тогда ток следующим образом зависит от времени: (12) 1 = — С вЂ” = АСбб ( я п М + — соз ам ) е- " . ж (, 'оа 2?4 Отногпение с«7«о является мерой затухания. Если это отношение очень мало, то за время, в течение которого амплитуда уменьшается незначительно, происходит большое число колебаний.
Для рис. 8.2 мы принимаем с«7«в 0,04. Тогда член с косинусом в уравнении (12) будет невелик. Наличие этого члена приведет к сдвигу фазы колебаний на небольшой угол, равный агс1я (а/со). Поэтому колебания тока отстают по фазе от колебания напряжения почти точно на четверть периода. Эти колебания сводятся к переходу энергии от конденсатора к индуктивности, т. е. от электрического поля к магнитному, и обратно. В момент времени, обозначенный на рис. 8.2, б цифрои 1, вся энергия сосредоточена в электрическом поле. Через четверть периода, в момент времени 2, конденсатор разряжен н почти вся энергия перешла в магнитное поле катушки.
Во время этих колебаний, из-за наличия сопротивления Р, энергия, запасенная в полях, постепенно уменьшается. Относительное затухание осциллятора часто выражается величиной, обозначаемой Д. Она была введена в гл. 7 т. 1 при общем описании гармонических осцилляторов. (Эту величину не следует смешивать с зарядом конденсатора!) !,г характеризует «добротностьэ, или «коэффициепт добротностищ Обычно этими терминами не пользуются, а просто говорят о «величине Яэ. Чем меньше затухание, тем больше 1~.
Для осциллятора с частотой оз величина !',! представляет собой безразмерное отношение следующего вида: запасенная энергия (18) ««! = оэ ° среднее количество рассеянной мощности ' Можно запомнить, что Я есть число радиан в угле ет1 (т. е. 2п, умноженное на число колебаний), оютветствующее уменьшению энергии колебаний в е раз.
Энергия, запасенная в нашем контуре, пропорциональна )гэ, или Р, и, следовательно, пропорц *ональиа е- -". Она уменьшается ! в е раз за время 1==,—, что соответствует со,'2и радиан. Итак, для нашего Р!'.С-контура щ оэй 2и 77 (14) Дайте приблизительную оценку 9 для колебания, изображенного иа рнс. 8.2. Очевидно, что рассмотренный нами случай включает в себя ряд более простых, Если т«=0, мы имеем осциллятор без всякого затухания с частотой от„ равной (18) 275 В системах, с которыми мы имеем дело, затухание часто бывает достаточно мало и при вычислении частоты им можно пренебречь. Затухание, как будет показано в задаче 8.9, влияет на частоту о) только во втором порядке.
Для полноты описания кратко рассмотрим явления, происходящие в контуре с сильным затуханием, когда )7)2)У ~Х. В этом случае общее решение уравнения (2) имеет вид )У (1) = Ае-От!+ Ве-0 '. (16) Таким образом, колебаний нет, есть только монотонное затухание. В специальном случае «критического» затухания Я=2)У ~ЫС, )з,=))„п решение дифференциального уравнения (2) принимает вид (У (1) = (А+В)) е-О!. (17) При этих условиях полнан энергия в контуре с заданными 7 и С рассеивается наиболее быстро (см. задачу 8,8). На рис. 8.3 показаны все способы поведения колебательного контура: здесь приведены кривые разности потенциалов (У(!) для двух контуров со слабым затуханием, для контура с критическим затуханием и для контура с сильным затуханием. Емкость и индуктивность в этих четырех а> случаях одни и те же; меняется только сопротивление.
Собственная углсвая Л' =л)уалг частота для этого контура О)е=-1Д'ЛС равна 10' сек-!. В периодах в секунду это составляет 10а/2п, или 159 кгЧ!сел. Чтобы возбудить контур, нужно зарядить конденсатор до некоторой разности потенциалов, скажем, в 1 г, и затем )г в момент времени г=-0 замкнуть ключ. Таким образом, )г=-1в при 1==0 пред. ставляет собой первое начальное услол ааааа вне.
При Г=о раве нуу!ю ток 7, так как индуктивность не позволит току )у у г з г х а у !) а у)у возрасти мгновенно. Следовательно, втоа)аул)у, ааааа рое начальное условие, налагаемое на а) (У, заключается в том, что ЛУ)Ж=О при 1= 0. Рис. Озн а) КонненсатоР ааРнжен, ~юч замыкается н момент )=-О ЗаМЕтЬтЕ, ЧтО ВСЕ ЧЕтЫрЕ КРИВЫЕ )С=-О,О! мкф, !.=)00 мкгн). О) Показанм четмре случая, ояип ВиаиаЛЕ Сналашт ОДниаКОВО. В СЛуяас из которых, прн Я=.УОО ои, яе- сильного затуха)гия ()тз=-800 ог«) ббльляется случаем критического еатухааия. шая часть кривой близка к простой убывающей экспоненте для )ОС-контура. Присутствие индуктивности сказывается только в самом начале, где кривая идет параллельно оси абсцисс. 276 8.2.
Переменный ток В резонансном контуре, который мы только что рассмотрели, нет источника энергии и, следовательно, его колебания должны рано или поздно затухнуть. В цепи переменного тока мы имеем дело с установившимся режимом — это значит, чтоамплитудысинусоидально колеблющихся тока и напряжения не меняются. Системой управляет некоторая колебательная электродвижущая сила.
1 Приложим к контуру, состоящему из индуктигшостн и сопротнв- л абхазу ленин, электродвижущую салу в =-в особ в1, которую можно генерировать, например, с помощью лйашины, схематически показанной на рис. 7.13, используя для враще- р.. йэс к ср с ду с н сопротивлением, возбуждаемый переНня ЕЕ ОСИ, С ПОСТОЯННО!! урлоной мениой эвентродвижущей сивой. скоростью в, какой-нибудь двигатель, илп мотор. На рнс. 8.4, эта электродвнжущая сила включена в контур. Внутренним сопротивлением генератора мы илн пренебрегаем, или включаем его в сопротивление Р. Так же как прп выводе уравнения (7.6!), мы полагаем, что сумма падений напряжений на отдельных элементах этого контура равна электро- движущей силе в..
Уравнение для тока в контуре имеет вид 1 — + И.—.-в-е соз в!. з4! (18) В контуре могут суьцествовать некоторые переходные явления; они зависят от начальных условий, например от того, как и когда был включен генератор. Но нас интересует только устаиовившиися режим, когда ток колеблется с частотой вынуждающей силы и с амплитудой и фазой, необходимыми для удовлетворения уравнения (18).
Чтобы показать, что такой режим возможен, расслютрим ток, опцсываемый уравнением 1 =- 1в СОЗ (сзз1 --, 'ср). (19) Для определения постоянных 1, и зр подставим это значение тока в (18): — Ыв в з!п (в!+ ср) — Р1о соз (зй! + ср) = всзо соз в1, (20) Функции соз в! и з!п в! можно разделить: — Е!ев(сйпв1созср+созв( з!пср)+ + Н, (соз в! соз 4р — з(п в( з)п ср) = 8„соз сзу1.
(21) Полагая коэффициенты при соз в1 и з!п в1 по отдельности равными нулю, получаем — 1.1е соз ср — 1т 1в з!п !р = О, (22) 277 что дает (28) н — 1.1осб з!и:.р ',- )т'1„соз ср — бзоа —" О, (24) что дает ф"о 8о 8о соб сР, бозор — соа 5'и Чз Й (сбит —, бы тр!Вср) 8 из (23) дт собор = (25) илп, так как (26)! то 1 бр"е (27) алсрсотб ~~ 1, — сбб(барр-зуб!8 Ц 8 Й'РГ Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
