Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 58
Текст из файла (страница 58)
в плоскости круга и имеет постоянную величину. Тогда найти Е весьма просто, так как ) Е 7!а ==-. 2п7 Е =я ф', а эту величину мы уже с вычислили. В этом случае электрическое поле на окружности долж- но в определенный момент иметь вид, показанный на рис. 7.!8, а. Но если поблизости расположены другие источники полей, оно будет совершенно другим. Если на осн расположить, например, поло- жительный и отрицательный заряды, как показано на ркс. 7.18, б, то электрическое поле в окрестности круга будет супсрпозицией электростатического поля двух зарядов и электрического поля индукции, 247 7.6. Взаимная индуктивность Два контура, илн петли, С, и С, закреплены в определенном положении по отношению друг к другу (рис.
7. 19). )(акихито образом, например, с помо!пью батареи и реостата, в контуре С, создается ток 7„силу которого ьюжио менять. Пусть В,(х, у, а) — магнитное поле, которое возникло бы, есля бы ток в С, имел постой янную величину 7т, а через гт Ф„ обозначим поток В, сквозь контур С,. Тогда Фе, =-) В, с(а„(33) Рве.
Лр тев /, в петве С, вызывгет епрепе. лйп|ые потев Ч., еввезв пеевы Ст. где 5е — поверхность, стяпы ва)ошая петлю Ст. При ненззакрепленных контуров поток менных форме и положении двух Ф„ будет пропорционален !,: = сопз(, тает т, (38) Предположим теперь, что ток !т меняется во времени, но достаточно медленно, так что поле В, в люоой точке окрестности С, и ток 7, в контуре С, в один и тот же момент времени связаны друг с другом так же, как была бы связаны при постоянном тонг. (Для того чтобы понять, почему необходимо такое ограничен~ е, представьте, что С, и С, находятся на расстоянии !О .и друг от друга н что мы увеличиваем ток в С, в два раза за !О нсгк!) Поток Ф„будет меняться пропорционально изменению Ут.
В контуре С. появится пндуцпрованная э. д. с., равная по величине сапе! Нт в е Й (37) Постоянная в этом уравнении имеет то же значение, что н в уравнении (36), Обозначим ее через М„, включив а нее с нз знаменателя, и запишем (37) следуюшнм образом: я7„= — Ме,— Нт "-' ир (38) Постоянная М„называется коэффициентом взаимной инг)уктивности. Ее величина определяется геометрией контуров и их расположением. Единицы измерения зависят, конечно, от выбора единиц измере. ния б", ! и й В практической системе, где з(7вт измеряется в вольтах 248 и 1, в амперах, М измеряют в генри в). Таким образом, взаимная индуктивность Мм равна одному генри, если ток 1„ изменяющийся со скоростью 1 а)сек, наводит в контуре С, электродвнжущую силу в 1 в.
В качестве примера, рассмотрим контуры на рис. 7.20, представляющие собой два компланарных концентрических кольца, малое кольцо С' и большое кольцо С Каков в l коэффициент Ме, в этом случае? В центре кольца С, при токе 1, поле В, равно «~-1-~ ~Щ 1-,- 4 где 1, измерено в единицах СГСЭ,1сек, В, — в гауссах. (Просмотрите начало Ркс 7.20 Ток Г, а кольке Са раздела 6.5, где было выведено уравпе- создает поле Вь оркблаактелько иие (6.42), если вы не помните, как одкородаое актера малого коль'- ца Сь определить поле в центре кольца с током.) Мы предполагаем, что Ра(1»г и, следовательно, можно пренебречь изменением В, внутри малого кольца. Тогда поток сквозь малое кольцо равен ф ( )7« 2п)г 2па)г)7! (40) Таким образом, «постоянная» из уравнения (36) в этом частном случае равна 2п'Й.',)с)а, и электродвижущая сила, индуцированная в С,, равна ) 2п«77', Нг (41) 1 где ф.аг выражена в единицах СГСЭ„и 1, — в единицах СГСЭ /сек.
Чтобы выразить взаимную индуктивность в генри, вспомним, что 1 сд. СГСЭи=ЗОО в и 1 ед. СГСЭ«1сек=-1 а.З !О'", и подучим ба(в) =- — ' ' ° 10 ' — (а,'сек). 2лаа7а а Ж (42) Таким образом, величина М„в генри при 11« и )сг в сантиметрах равна М.„= ' (43) В данном случае знак минус, который присутствует во всех выражениях для Й'„поьгогает нам мало.
Если вы хотите знать, в каком направлении заставит электродвижущая сила течь ток в контуре С„то наиболее надежным средством будет применение закона Ленца. *) Эта единица названа именем Джозефа Генри ()797 — И78), выдаюгпегося американского физика. Явление электромагнитной индукции бь:ло открыто Генри независимо и практически одновременно с Фарадее»к Генри первый открыл явление самоиндукции.
Он сконструировал электромагнит, прототип электромотора, изобрел электрическое реле и телеграф. 249 Если бы контур С, состоял не из одного, а из йг, витков провода, то поле В, в центре было бы в Дг, раз сильнее для заданного тока 1„ и также, если бы малая петля С., состояла из Л', витков с одним и тем гке радиусом 11„ то электродвижущие силы всех витков складывались бы и полная электродвижущая сила в этом контуре была бы в Л', раз болыпе, чем в одном витке. Таким образом, для катушек с большим числом витков взаимная индуктивность равна ".н-' ш- ч,т,,к,-' 21==,О (44) Мы предполагаем, что витки в каждой катушке плотно прилега- ют друг к другу и линейные размеры поперечного сечения киту.
шек малы по сравнению с их радиусами. Однако взаимная индук- тивность М„ имеет тошо определенное значение для двух кон- туров прн любой их форме н расположении. Это значение опреде- лят-,ся отношением электродвижущей силы (в вольтах) в контуре 2, возникшей при изменении тока 1, в контуре 1, и скорости изменения этого тока (в и)сек). Следовательио, М.„(гн) = —, 8 ~ (а) (4о) 'дт,( 1 ч ~ Л,',он 1 7.7. Теорема взаимности При рассмотрении контуров С, н С, нас может интересовать электродвижущая сила, индуцировапная в ко«туре С, переменным током, текущ«м в контуре С,, )4 выражшше для этой силы до«язеп входить другой коэффициент взаимной пндуктнвности М,,: М 4,2 (46) Замечательно, что для любых двух контуров М, =М (47) Это не вопрос геометрической с«ммшрип. Даже в простом ппнмсре на рис.
1.20 нет симметрии по отношению к двум контурам. Заметьте, что й, и )т. по-разному входят в выражение для Мм, Из уравнения (47) следует, что если несмотря на то, что контуры С, и С., совершенно различны. Чтобы доказать теорему, выраженную уравненисм (47), мы должны показать, что поток Ф„сквозь некоторый контур С,, созданный током 1, протекающим в контуре С,, равен потоку Ф„, который пронизывает контур 2, когда в контуре С, течет равный ток 1. Приме- зво иим для доказательства векторный потенциал. Согласно теореме Стокса ~ А !(э-=- ~ (го(А) 21а (48) В частности, если А представляет собк2й векторный потенциал маг нитного поля В, т.
е. если В=-го( А. то мы имеем ~ А ° Вз - - ~ В 2(а —. Фэ с а (49) Это означает, что линейный интеграл от векторного потенциала вдоль петли равен потоку В сквозь петлю. Векториь!й потенциал, согласно уравнению (5.35), следующим обРазом свЯзан со своим источником: А.„—.
— ( ~ — ", с, (50) Вдесь Ае, — векторный поусицпал в некоторой точке (хе, ун, гн) магнитного поля, созданный током ! (ед. СГСЭ /2ек), текущим в кон- Ч ТУРЕ Сб й(З, — Э22ЕУ2СПТ ПстЛИ С, И Уе, — Рае- стоянпе от этого элемента до точки (х,, уе, ге), На рис, 7.21 изображены две петли, С, и С„причем ток течет в С,. Пусть (хн, у„ге)— 218~,у. КООрдпиатЫ ТОЧКИ На ПЕТЛЕ Сн. ТОГда ПОТОК сквозь С„вызваппьш током 1 в С„равен Фн,:=.
( Ан, г1з, - ~ е(зе.А„=- — ~ е(эе. ( '!' ттт ' с, с, с, (51) l Аналогично по~ок сквозь С„обусловленl иый током 1, текущим в С, был бы равен С. Ф,, -- 1 !(з! ° ~ — "'. !.н (52) Пне ! Э! 221еннотенне но- В интегралах (51) и (52) г, ге„, так как это "'"":.. Он °, денного токо 1 2, текуотин ИЕ ВСКТОВЫ, а (таССТОИИИ2Ь Су!ЫСЛ !Ы!2КДОГО ИЗ нконтуиес, этих интегралов слес2у2ощий! возьмите скалярное произведение пары линейных элементов, по одному на каждой петле, разделите на Расстояние между ними н просуммируйте по всем парам. Единственным различием между уравнениями (51) и (52) является порядок, в котором проводится эта операция, а это ие ма!нег влиять на Окончательный рсзультат.
Следовательно Ф,. —. =Фм, откуда непосредственно следует, что М„=-Мни Благодаря 251 этой теореме нам не нужно делать различия между М„и Мае Мы можем, следовательно, говорить о взаимной индуктивности М любых двух контуров. Теоремгя такого вида часто называются ктеоремами взаимностиь Существует ряд других теорем взаимности для электрических цепей, аналогичных этой.
Вспомним, например, о выражении С;„==С,, упомянутом в разделе 3.6 и использованном в задаче 3.27. Соотношения взаимности обычно выражают некоторый общий закон симметрии, который не является очевидным с первого взгляда. Вы встретитесь с чрезвычайно широким и удивительным, с некоторых точек зрения, законом взаимности, когда будете изучать распространение электромагнитных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
