Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

носителей заряда данного типа, скажем, от элекгронов, которые могут иметь самые различные скорости. В проводнике электроны пл!еют почти случайное распределение скорости, как по направлению, так и по величине. Чтобы вы- числить среднюю скорость всех электронов, как и всякое среднее, нужно разбпть электроны на группы, приписать каждой скорости вес, равный числу электронов в группе, произвести сложе- ние н раздечить на полное число электронов. Таким образом, — ! ц= — ~ Л„н».

Лед ° (4) Черточка над и означает среднее по распределению, Сравнивая (4) с (3), мы видим, что вклад электронов в плотность тока легко выразить через среднюю скорость электронов. Вспоминая, что для электронов д= — е, и используя индекс е, чтобы указать, что все величины относятся к носителям заряда одного типа, можно написать 3, = — «Ж,н,. (о) Этот результат может показаться довольно очевпдиым; мы провели детальные вычисления, чтобы стало ясно, что ток внутри рамки зависит только от средне й с корост и носителей, которая часто составляет весьма малую долю от их случайных скоростей.

Не забудьте, что (4) описывает вектор нос среднее; оно равно нулю для такого распределения скоростей, где все направления равновероятны, какими бы цн были свми скорости. 4.2. Стационарные токи Ток в длинном проводнике, например в проволоке, равен, разумеется, интегралу от плотности тока 3 по поперечному сечению проволоки. В самом деле, ток У, протекающий через некоторую поверхность 5, равен поверхностному интегралу 1 -).) Ла. (б! ! есть «потокэ, связанный с век!ором 3; название в этом случае выбрано удачно.

Если вектор плотности тока ) повсюду остается постоянным с течением времени, то мы говорим о системе стационарных токов. Стационарные токи удовлетворяют закону сохранения заряда. Рассх!отрпм некоторую область пространства, полностью окруженную шарообразной поверхностью 5. Поверхностный интеграл от Я по всей поверхности 5 дает скорость истечения зарядов пз замкну.ого объема. Она будет положительной, если носителя положительного заряда движутся наружу, а отрицательного — внутрь. Если бы такое истечение зарядов продолжалось до бесконечности, рано пли поздно объем лишился бы зарядов — если только не рождаются новые заряды. Однако как раз рождение зарядов происходить не может. Поэтому прп истинно независимом от времени распределешш токов поверхностный интеграл от 3 по любой замкнутой поверхности должен быть равен пулю.

Это полностью эквивалентно утьерждеюпо, что в любой точке пространства й)ч 3 ==0 (7) (независнмое от времени распределение зарядов). Чтобы доказать эквивалентность, вспомним теорему Гаусса и наше фундаментальное определение дивергенцин через интеграл по малой поверхности, охватывающей рассматриваемую точку. !24 Можно высказать утверждение более общее, чем уравнение (7). Предположим, что ток нестационареи и 3 является функцией как х, г( и г, так и Е Тогда, поскольку) .).с(а есть мгновенная скорость, с которой заряд покидает замкнутый объем, а ~ рг(п — полный заряд вн)трп ооъема в любой момент времени, то мы имеем ~,) г(а= — — ~ргЬ.

(8) 5 1 Пусть рассматриваемый объем стягивается вокр)т произвольной гочки (г, р, а); тогда ураннсиие (8) переходит в следующее а): с1нк 3 =-- — — „( (9) (зависящсе от времени распределение зарядов). Производная по времени от плотности заряда р написана в виде частной производной, поскольку обычно р зависит как от времени, так и от пространственных координат. Уравнения (8) и (9) выражают закон сохранггчгсч заряда: заряд пе может вытекатг из некоторого места, сслп в этом месте пе происходит уменьшения заряда. Поу штельным примером стационарного распределения тока является ток в плоском диоде (двухэлектродной электронной лампе). Один из электродов, катод, покрыт материалом, обильно испускающим электроны при нагревании.

Другой электрод, анод,— это просто металлическая пластинка. С помощью батареи анод поддерживается прп положительном потенциале относительно катода. Электроны из горячего катода вылетают с очень малыми скоростями, но электрическое поле между катодом и анодом ускоряет их по направлению к аноду.

Электрический ток в пространстве между катодом и анодом состоит из этих движущихся электронов. Цепь снаружи замыкается током электронов по проводам, может быть, движением ионов в батарее и т. д.,— нас это не интересует. Локальная гпотность заряда р в произвольной области внутри диода равна просто — ггс, где гг — локальная плотность электронов (число электронов на 1 пиз), Локальная плотность тока 3 равна, конечно, рн, где и скорость электронов в этой области. Можно принять, что в плоскопараллсльном диоде 3 пе имеет у- и х-компонент (рис.

4.2). Тогда, если условия стационариыс, то /а не должно зависеть от х, потому что при г))у .) —.- О и /, -=.г,— "О пз (7) следует, что (д.)„гдх) должно равняться нулю. Это довольно очевидно; в стационарном а) Если переход от (8) к (9) не каигется нам очевидным, вернитесь к фундаментальному онределеггню дивергеннии в гл. 2.

Поскольку объем стягниается в точку, мы можем в пределе вынести справа р за знак объемного интеграла. Объемный ин ~е~ рал следует брать в определенный момент времени. Его производная по времени опрсдеяяется разностью объемных интегралов при ( и Ьгвб Единственное различве между ними связано с изменением р, так как граница объема остается на месте.

125 потоке электронов, движущихся только в направлении х, каждую промежуточную плоскость между катодом и анодом должно пересекать одно и то же число электронов в секунду.Мы приходим к выводу, что ро постоянно, Но заметьте, что о не постоянно, оно меняется с х, поскольку электроны ускоряются полем. Следовательно, и р не постоянно. Действительно, плотность отрицательных зарядов велика около катода и мала около ~Ьад анода, точнотак же как плотность автомобилей на шоссе велика в местах с медленным движением и мала в местах с быстрым движением, Ток в диоде может быть ограничен из-за того, что плотность отрицательных зарядов («пространственный заряд») оказывает влияние на электрическое поле, следо- Рнс. ауд Вануумныд дном с ллоснол раллельнымн «атодом н анодом.

вательно на ускорение и на скорость электронов, и, значит, — круг замыкается, и па саму плотность зарядов. В задаче 4.25 разобрано поведение двода «с ограничением по пространственному заряду» и показано, как вывести любопытное соотношение между напряжением и током, которое управляет этим поведением, Соотношение это важно в электронике не только при конструировании диодов и работе с ними, но также и прп конструировании электронных пушек для катодио-лучевых трубок и другпх подобных устройств.

4.3. Проводимость н закон Ома Существует много способов привести заряды в движение, в том числе такой, который можно назвать сояеханическим перемещением» носителей заряда. В электростатическом генераторе Ван-де-Граафа (см, задачу 4.3) изолирующей ленте сообщается поверхностный заряд, который она поднимает к удаленному электроду, наподобие того как эскалатор поднимает людей. Это создает вполне ощутимый ток.

В атмосфере заряженные капельки воды при падении под действием силы тяжести образуют часть системы электрических токов Земли. В этом параграфе мы будем рассматривать более обычный способ переноса зарядов, когда на носитель заряда действует сила со стороны электрического поля. Электрическое поле вызывает движение носителей заряда, т. е.

вызывает электрический ток. Успех этого.действия зависит от физической природы системы, в которой действует поле, т. е. от среды. Одно из самых ранних экспериментальных открытий в области электрического тока в веществе выражается законом Ома: 1=у. (10) Ток 1, протекающий по проволоке, пропорционален разности потенциалов (»напряжению») г' на ее концах. До сих пор мы обозначали электрический потенциал символом ~Г, а разность потенциалов ' (~р,— ~р») пли ч „. В этом параграфе мы будем использовать обозначение Г, принятое в элементарной физике электрических цепей. Оно происходит от слова «вольт». (Мы избегали употреблять Г просто потому, что оно обозначает множество разных вещей: объем, скорость, напряжение.) Для данного куска проволоки, поддерживаемой при одной н той же температуре, сопротивление Я (коэффицнент пропорциональности в (10)) не зависит от величины протекающего тока.

Характеристики

Список файлов книги