Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 24
Текст из файла (страница 24)
З.З. Основная задача электростатики. Теорема единственности Эту задачу можно решать, пользуясь потенциалом тр, так как если известно рр, то сразу можно определить Е. Всюду вне проводников функция рр должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных, с которым мы встречались в гл. 2, а именно уравнению Лапласа: увтр=-О.
Уравнение Лапласа в декартовых координатах имеет вид дттр дттр йвЧ7 (4) Задача заключается в определении функции, которая удовлетворяет уравнению (4), а также определенным граничным условиям на проводящих поверхностях. Этн условия могут быль различными. Можно задаться определенной величиной потенциала каждого проводника 7рд. (В реальной системе потенциалы могут быть заданы постоянным соединением проводников с батареями или с другими «источниками энергии» с постоянным потенциалом.) Тогда наше решение тр(х, у, г) должно принимать заданное значение во всех точках иа каждой из поверхностей. Эти поверхности полностью охватывают 1оз область, в которой определена функция <р; при этом мы потребуем, чтобы на поверхности, удаленной «в бесконечность», потенциа.л <р был ранен нулю.
Иногда иитерссукицая нас область полностью охватывается проводящей поверхностью; тогда мы можем приписать такому проводнику искоторьш потенциал и игнорировать все, что нахо;<ится впе его. В обоих случаях мы имеем дело с граничной з адаа ч е й, в которой значение функции определено на всей границе. Вместо э!ого можно задаться вели и!ной иолного заряда на каждом проводнике О<. (Мы не можем произвольно задать величины всех зарядов и потенциалов; это переопределило бы задачу.) При заданных зарядах величина поверхностного интеграла от йга<(<г по поверхности каждого пров<динка является определенной. Зто придает л<а<емзтп«<ескоЙ задаче исшьолько нноЙ аспект.
Мои<но также «сме шать» два вида граничных условии, Основным вопросом, представляю<цпм интерес, является следу<ощпй; имеет ли за;<ача вообще решение при любых заданных гранпчвы:< условиях п если имеет, <о одно или несколько) Мы пе оудем пытаться из< чить все возможные аспекты этого вопроса, но расс»<о<Вил< ощи важный случаи; он покажет, как надо под ходить к реп:еншо таких вопросов, и даст нам полезньш результат. Г1Редиоложим, ч<о опРедслеп потенциал кажДого пРоволника <Гы п требуется, чтоб<ь ф) иьция <( сгремилась к нулю на бесконечности илп иа прово;<ш<ьс, охг»а<ывакппсз! систему. Мы докажем, что эта задача на г<чишчпые условия пмеег пе больше одного решения, С точки з<:сш;я 4 пзикп ка»псгся оче<зи;<иым, что она имеет некоторое решение, так ьаь если бы мы <систвп<сльно расположилп проводники указаш:ь<м образом, соединив их бесконечно малыми проводамн с источниками соозпетству<о<цпх потенциалов, то система пришла бы в пгкшлорое состоянп<.
Однако л<атематическое доказательство сущес<вова<шя решения представляет собой совершенно другую задачу, и мы пс б<дем ее ра:сматрпвать. Вместо этого предположим, что иь<е«те<! неко!орое решение й(х, у, з), и покажем, что оно должно быть единственным. Доказательство, типичное для таких случаев, провод<пся следующим образом. Предположим, что имеется другая функция ф(х, у, г), которая также является решением, удовле<воряющим тем же граничным условиям.
Известно, что уравнение Лапласа л и н е й н о. Следовазсльио, если <г и <Р удовлетворяют уравнению (4), то и сумма их (<р-г<Г) или любая линейная комбинация, как, например, (с<Ш-,'-в»<)<), где с, и с, — величины постоянные, будет удовлетворять этому уравнению. В частности, и разность двух наших решений <р — ф должна удовлетворять уравнению (4). Обозначим эту разность через Ю': )Г< (х, у, г) =<р(х, у, в) — ф(х, у, г). Очевидно, что йг ие удовлетворяет граничным условиям, Действи- тельно, у повсрхносзи каждого проводника функции К равна пулю, так как ф и <р принимают одинаковое значение <р, у поверхности про- 104 водника й.
Следовательно, 'йг является решением другой электростатической задачи, с темп же проводниками, но при условии, ло все проводники имеют пулевой потенциал. Если это так, то можно утверждать, что функция йГ должна бьггь равна нулю во всех точках пространства. Вслп это неверно, то опа должна иметь где-то максимум или минимум, — вспомните, что ях равно пушо в бескопечиосл и, так же как па всех поверхностях проводников. Пусть Ж' имеет экстремум в некоторой точке Р, рассмотрим тогда шар с центром в этой точке. Нз гл. 2 нам известно, что среднее значение по сфере функцш1, удовлетворяющей уравпеншо Лапласа, равно значению функции в центре. Это ~ "„",-1,' с ляется максимумом плп минимумом функции. Таким образом, Ф функпия %' не можсг иметь макспмума или минимума, и, следо- I вательно, она всюду должна бьць равна нулю.
Отс1оэга следует, ~"Ь что ф ==-~р всюду, т. е. мы дока- залп, что может существовать только о д н о решение уравнения 14), которое удовлетворяет заданным граничным условиям. Риг. 3 в. и ле внутри зг~.выгоп~ прцооля- Теперь мы можем легко продемонстрировать другой замечательный факт. Если в проспгрпнсгнве внйгпрп полого проводника любпй форэяы неги заряда, гпо электрическое поле в неги равно нолю.
Это справедливо, какое бы поле ни было снаружи проводника. Наы уже известно, что внутри изолированной равномерно заряженной сферической оболочки поле равно нулю, так же как гравитационное поле от полой сферической оболочки внутри цее. Теорема, которую мы только что сформулировали, является в некотором смысле еще более удивительной. Рассмотрим закрытый металлический ящик с небольшим вырезом, изображенный на рис. 3.6.
Около ящика име1отся заряды, создающие внешнее поле, показанное на рисунке. На поверхности ящика распределение зарядов в высшей степени неравномерно. Всюду в просгранстве, включая в и у тр е н н юю часть ящика, поле равно сумме поля этого распределения зарядов и полей внешних источников.
Трудно поверить, что поверхностные заряды расположилнсь на ящике таким разумным образом, что их поле полностью уничтожило поле внешних источников в каждой точке внутри ящика. Однако это должно было произойти, что можно легко доказать. Потенциальная функция ~р (х, д, г) внутри ящика должна удовлетворять уравнению Лапласа. Вся граница этой области, а именно 105 ящик, является эквппотенцпальпой поверхностью, так что функция ер=ег„должна быть постоянной всюду на границе. Одним из решений является„очевидно ср=-тр, во всем объеме. Но, согласно теореме единственности, решение может быть только одно, следовательно, это оно и есть. Потенциал гр ттсопз( обозначает Е.=-О, так как Е= — — араб ср. Отсутствие электрического поля внутри проводящего замкнутого пространства имеет большое практическое значение, Оно служит основой для элекгрнческой защиты.
Для большинства практических целей эта оболочка не обязательно должна быть сплошной. Если в пей имеются небольшие отверстия или если этп отверстия сделаны из металлической сетки, поле будет крайне слабым всюду, кроме точек, расположенных в непосредственной близости от отверстий. Металлическая трубка с открыгыми концами, длиной в несколько диаметров, весьма эффективно экранпрует пространство внутри себя, за исключением мест, близких к обоим концам. Мы рассматриваем, конечно, только стационарные поля, но этп замечания справедливы также и для медленно изменяющихся электрических полей.
3,4. Некоторые простые системы проводников Рис. 3 Ь При заливных зарядах 9, и От на сферических оболочках иотеиииал внутрсииси оболочки настои уравнением тбх Следователыю, <р, является потенциалом во всех точках внутренней сферы. Мы могли бы определить ер,=м(Я,Ят) 1(Я,Я,) с помощью принципа суперпознцни: Я,(йт, представляет собой потенциал внутри большой сферы, если бы не было малой, а Я,Яв — потенциал внутри малой сферы, если бы не было большой. Если бы на сферах были распределены равные и разноименные заряды Я, =- — 9„то электрическое поле существовало бы только в пространстве между ними. 106 В этом разделе мы займемся исследованием нескольких особенно простых конфигураций проводников.
Начнем с двух концентрических металлических сфер с радиусами е(т и утт„ полные заряды которых равны Ят и 1;1а соответственно (рис. 3.7). Эта ситуация не представляет собой ничего нового. Благодаря симметрии очевидно, что заряд на каждой сфере должен быть распределен равномерно, следовательно, этот пример возвращает нас к гл. 1! Вне большой сферы поле равно полю точечного заряда величины (),— Я„так что ср„потенциал наружной сферы, равен (е,т, — 'Яе)Яь лт Потенциал внутренней сферы дается выражением Я, т+ + ~ — — "'Ь.
-= ттуллтвттлтлрлае 1 а Йт,) тртлттлт л, = — + — + — — — =- — + †. (6) чсв Д'т ' Рт Лв Ит 1т'т йт' Одной из самых простых систем, с помощью которой подвижность зарядов в проводнике становится очевидной, является точечный заряд вблизи проводящей плоскости. Предположим, что плоскость ху является поверхностью проводника, простирающейся в бесконечность, Припишем этой плоскости нулевой потенциал. Теперь возьмем положительный заряд Я и расположим его на осп г в й си над плоскостью, как показано на рпс. 3.8, а. Каков впд поля и какого Распределения заряда можно ожидать? Мы ожидаем, что положительный заряд Я будет притягивать отрицательный заряд, но никак пе предполагаем, что отрицательный заряд будет скапливаться у основания перпендикуляра, опущенного из Я, причем в бесконечно плотной концентрации.
Почемуу Мы помним также, что электрическое поле вблизи поверхности проводника всегда перпендикулярно дзтистсиь зла зз Хтзтаипстппс $ рвспаиаыепиып авд бесконечна бозьюоб плоскостью провот- приысрпо твкоч впд в) Пале пары рсзноныепиыс звр д в Рис. 8 8 а1 Та ~ечныб зврвд О, «нк ° 6) Псле дол ива н зеть к его поверхности. С другой стороны, присутствие проводящей плоскости мало изменит положение в непосредственной близости от точечного заряда ф силовые линии поля должны выходить пз (~, так же как из точечного заряда, в радиальных направлениях. Следовательно, качественная картина будет приблизительно такая же, как на рис. 3.8, б.
Конечно, эта картина долгкна быть совершенно симметричной относительно оси а. Как же, действительно, решить задачуй Ответ может быть получен при помощи некоторого трюка, который является одновременно и поучительным, и часто полезным. Мы будем искать другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его можно использовать. В данном случае такой легкой задачей является задача с двумя равными точечными разноименными заря- даМИ 1,з И вЂ” 11.
ЭЛЕКтрИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ПЛОСКОСтн АА (СМ. РИС. 3.8, б), которая делит пополам линию, соединяющую два заряда, всюду перпендикулярно к этой плоскости. Если расстояние от плоскости до заряда й равно расстояншо Й в нашей первой задаче, то верхняя половина поля на рис. 3.8, в будет отвечать всем нашим требованиям: поле перпендикулярно к плоскости проводника и в окрестности Я приближается к полю от точечного заряда. 107 Граничные условия в данном случае нескочько отличны от граничных условий, поставленных в теореме единственности, рассмотренной в предыдущем разделе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
