Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 20
Текст из файла (страница 20)
2 26 Цнркувянвя вокруг ор .но. уговввого учгстке п=х. Мы используем здесь рассуждения, которые были высказаны в связи 85 правилом знаков направление интегрирования по периметру должно происходить по часовой стрелке, если смотреть вверх в направлении бт На рис. 2.27 мы смотрим на прямоутольник сверху вниз. Линейный интеграл от Г по такому пути зависит от изменения Р„ с изменением у и от изменения Р„с изменением х, так как если Р„ имеет то же среднее значение вдоль верхней части рамки (рис.
2.27), как и вдоль нижней ее стороны, то вклады обеих этих частей в линейный интеграл будут, очевидно, взаимно уничтожаться. Это замечание относится и к другим сторонам рамки. Разница между средним значением Ря по верхнему сегменту пути ири у+Лу и ее средним значением по нижнему сегменту при у равна, с точностью до первого порядка относительно малых величин бх и гху, с рис.
2.!б, б. Таким образом, Р„=Рх (х, у)+ — —," (в середине нижней части рамки), Дл дгх Р =-Р (х, у) — — —" — 'Лу — ' 2 дк ' ду (в середине верхней части рамки). ~ (8!) Г е(в==( — Лх), — ", Лу — 'Лу( — "~Лх=ЛлЛу ( — "' — — "у, (82) П где произведение ЛхЛу равно площади прямоугольника, котору1о мы изобразим вектором, направленным по оси г. Очевидно, что величина дгв др (83) дх ду является пределом отношения линейный интеграл вокруг поверхности площадь поверхности (84) когда площадь поверхности стремится к нулю. Если бы нормаль к прямоугольной поверхности совпадала с положительным направ- лением оси у, то для предела соответствующего отношения мы полу- чили бы выражение дух д~, дг дх (85) а если бы эта нормаль совпадала с направлением оси х, как это показано на правой части рис.
2.28, то мы получили бы дг" дГ„ ду дг (86) 66 Эти средние значения получены с точностью до членов первого порядка в разложении Тэйлора. Их окончательный вклад в цнркуляцшо определяется произведением их разности, умноженной на длину элемента пути Лх. Этот вклад равен — ЛхЛу(дР„./ду).
Знак минус появляется потому, что интегрирование по верхней стороне плошадки производится справа палено, так что если положительная компонента А, больше сверху, то результирующий вклад в циркуляцию от верхнего и нижнего элемента пути будет отрицательным. Вклад от двух других сторон равен ЛуЛх(дРв/дх) с положительным знаком, так как если положительная компонента Рв больше справа, то вклад этих двух сторон в циркуляцию будет положительным. Таким образом, если пренебречь степенявш высшего порядка относительно Лх и Лу, то линейный интеграл вдоль всего прямоугольного контура равен Несмотря на то, что мы рассматрнвалн только прямоугольные по.
верхностн, наш результат в действительности не зависит от формы малой поверхности н ограничивающего ее кожгура по тем же причинам, что и в случае теоремы о дивергенция. Ясно, например, что мы свободно можем соединять различные прямоугольники (образуя таким образом другие фигуры), так как линейные интегралы вдоль совпадающих участков границы полностью взаимно уничтожаются (рис.
2.29). Мы пришли к выводу, что для любой ориентации поверхности предел отношения циркуляции к величине поверхности не зависит от выбранной формы по- верхностя. Таким образом, мы получаем общую формулу для компонент ротора вектора Г, если Г является функцией х, у н 2: - /д/гт длит го( Г =- х ( — — — — — 1 -)- (, ду дд,~ Д ~ Я- Ниже приводится правило, которое легче запомнить, чем саму формулу. Составьте следующий определитель: Рнс 2 бя.
Для любоя орпентацив предел отношения циркуляции к площади опреаелшт компоненту гос р в зтои тапсе. Льтя определения всех компонент той Р в любой точке все участки дслм|гы сгруппироваться вокруг зтоп тачки; здесь они распело копы нз расстоянии для ншлядпости. х у х д д д дх ду ог ~х ~у (88) Разложите его по правилу разложения определителей, н вы получите выражение для го( Г, приведенное в уравнении (87). Обратите Рис.
2.29. Циркуляция в петле спр.ва является суммон циркуляций в прямоугольниках; поверхность справа представляет собой сулгму поверхностен прямоугольнико». Зтот рисунок показывает, почему отвашекие циркуляции к площади не зависит ат 4орлнш внимание на то, что х-компонента го( Г зависит от скорости изменения Г, в направлении оси у и отрицательной величины скорости изменения Гр в направлении оси г н т. д. Если символ р интерпретировать как вектор -д "д "д х — +у — + х— дх ду дх 87 и написать ~хр, то по правилам образования компонент векторного произведения автоматически получим вектор, называемый ротором г. Итак, го1Г н 'р)(Р обозначают одну и ту же векторную величину.
2.18. Физический смысл ротора Название «ротор» напоминает нам, что гекторное поле, ротор которого не равен нулю, имеет циркуляцию илп завпхренность; >'1аксвелл пользовался словом «вращение». Представим себе векторное поле скоростей Са, в котором го1 Са не равен нулю. Тогда скорости в этом поле имеют примерно такой вид:, плп 1, н, возможно, налагаются на общий поток, текугций в одном напра»ленни. Например поле скоростей воды, вытскак>щей нз ванны, обычно имеет впд циркуляции. Его ротор не равен нулю по большей части»оверхиости. Если какая-нибудь аешь плывет иа поверхности воды, то она вращается (с>л задачи 2.16 н 2.26).
В физике текущей жидкости, т. е, в гидродинамике и аэродинамике эта идея имеет первостепенное значение. Чтобы построить «ротор-метр» для электрического поля — по крайней мере в воображении — положительные заряды следует при- Г крепить к ступице колеса пзолпь+ рующимп спицами 1рпс. 2.30). Изучая эле>лрпческое поле при помощи этого устроиства, мы обпаружнлп бы, что там, где го1 Е нс равен нулю, колесо стремится повернуться вокруг лра Р о рнс.
«.ЗО. «Ротор-метр Рис».ЗЬ Гели лине»им» интеграл ааемду тоснамн Р, и Р, не занесет от пути, то лине»им» интеграл вдаль замннутой петли доллен быть равен нулю. оси. С помощью пружины, препятствукяцей вращению, можно по углу закручивания определить врапгающнй момент, который будет пропорционален компоненте ротора вектора Е в направлении оси.
Если мы можем определить направление оси, для которого вра- 88 щательный момент является максимальным и направлен по часовой стрелке, то это и есть направление ротора вектора Е. (Конечно, мы не можем доверять ротор-метру в поле, которое сильно изменяется в пределах самого ротор-метра.) Что же можно сказать в свете всего этого об электростатическом поле ЕУ Вывод прост: ротор-метр будет всегда показывать нуль! Это объясняется тем, что, как мы уже знаем, линейный интеграл от Е вдоль гнобого замкнутого контура в электростатическом поле равен нулю. Вспомните, что линейный интеграл от Е между двумя точками, например Р, и Р, (рис.
2.31), не зависит от пути. Если почти совместить две точки Р, и Р„то линейный интеграл по самому короткому пути на рисунке, очевидно, близок к нулю, если конечное расположение точек не совпадает с такой особенностью, как точечный заряд; этот случай можно исключить. Итак, линейный интеграл по замкнутой петле (рис. 2.31, г) должен быть равен нулю. Но, согласно теореме Стокса, если циркуляция равна нулю вокрут л ю б о г о замкнутого пути, то поверхностный интеграл от ротора Е по участку любого размера, формы или расположения также равен нулю.
Но тогда ротор Е должен быть равен нулю всюдуу, так как если бы он был где-нибудь не равен нулю, то мы всегда могли бы выбрать участок в этой окрестности для нарушения нашего заключения. Все вышесказанное ведет к простому утверждению: в электростатическом поле Е го1 Е = 0 (всюду). (90) Иными словами можно сказать, что уравнение (90) является достаточным условием для консервативности поля, т. е.
для того, чтобы поле можно было описать градиентом некоторой потенциальной функции. Это условие можно легко применить к делу. Когда впервые было введено понятие векторной функции (рис. 2.2), было сказано, что она представляет возможное электростатическое поле. Ее компонентами были выбраны величины Е„=Ку и Еэ=-Кх, к которым, для завершения описания поля в трехмерном пространстве, следует добавить Е,=О. Вычисляя го1 Е, находим дух дЕэ (го1 Е)„— — — — = О, дЕх дЕх (го1Е) = — '" — — '=О, э дг дк дЕэ дЕ„ (го1Е),= —" — д —" —— К вЂ” К=О.
) (91) 89 Следовательно, величина Е является градиентом какого-то скалярного потенциала. Очевидно, что поле такого вида Е должно иметь дивергенцию, равную нулю, следовательно, дЕх дЕэ дЕх — + — "+ — * =О. дх ду дг (92) Таким образом, такое поле представляет собой электростатическое поле и области, свободной от зарядов. С другой стороны, ротор столь же простой векторной функции, определенной компонентами гх=-Ку, Ер — — — Кх, г",=О, не равен нулю. Действительно, (го( Г)и == — 2К.
(93) Ни одно электростатическое поле не может быть такого вида. Если вы иачертите примерный вид такого поля, то сразу увидите, что оно имеет циркуляцию. я Ф , л> а р' Рвс й.йй Дивергенция четырех нз злах векторных нолей равна нулю в поиазанной области. Ротор тре . из «вх равен нулю.
Моыете вы указать зтн поля'. Вы можете получить некоторое представление о подобных векторных функциях, изучая двумерные поля, изображенные на рис. 2.32. В четырех из этих случаев дивергенция векторной функции равна нулю во всей изображенной области. Попытайтесь указать эти случаи. Наличие дивергенции означает конечный поток в окрестность точки или из нее, Это легко обнаружить на некоторых зо 7 у г ,л' ,и Г 4 ( 1 и' а/х ь ь !г У 0гр 0=0 лпб 0 —.0 л) г-.т-т агпд-:0 лоб 0=0 Рнс. 2 ЗЗ. Обсу.кденкс рнс. 2.22.
а) Заметьте, гта вектор остается постоанным, когда вы продвигаетесь в сто н«правления, т. с, др ду= р, )' -=р. Счсдоватсльно, й)ч Р=-:й. Обратите вниманне на то, что линенный интеграл вдоль штрихоэшо контура нс равен кулю. б) Палс является центр лыгыьь Гпо энэчггт.
гжо гууггьцггя Р раднзльна я что ллэ данного г ес всчичнна постоянна. Ротор лн:бахо центрального поля равен нулю; циркуляции равна нулю вокруг пунктирного и чюбого другого г онтура. Но дивергенция, очевидно ве равна нулю. «) Пнркуляцкя, очевидно, могла бы быть равна нулю вокруг иэобрзигсиных контуров. Действитель. но, это то жс «в юс возможное электростатическое поле, ьак аа рнг. 2.2. Из одного этого рисунка не очевидно, что б)ь Р—.-О, но видно, что она также могла бы быть раева нулю. г) Заметьтс, что, с точностью до первого порядка, здесь нет изменения в величине Р, если вы продввгаетссь в напр«плевна вектора Р.
Этого достз сочно для того, чтобы дивергенция была равна нулю. Оказывается, что циркуляция могла бы быть равна нулю вокруг изображенного контура. так как Р слабее нз длинной стороне, чем аа короткой. Действительно, это есть возможное электрастэтнческое поле с Р, пропорциональным Оп где г — расстояние до т чки, расположенной вне чертежа. д) Потап же причине. что и выше, мы приходим к заь гючснию, чтоб)ч Р==б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
