Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ке Р, на оси разноверия заряженного диска. ваемый объект не является провод- ником; если бы он был им, то, как мы скоро увидим, заряд не мог бы оставаться равномерно распределенным, а перераспределнлся бы, концентрируясь у края диска. Наш диск сделан из изолятора, например из пластмассы, по которому заряд «распылен» таким образом, что каждый квадратный сантиметр диска удерживает одинаковое количество заряда. Вначале определим потенциал в некоторой точке Р, на оси симметрии, в нашем случае на оси у. Все элементы заряда в тонком кольцевом сегменте диска расположены на одинаковом расстоянии от точки Р,. Если з обозначает радиус такого кольцевого сегмента, а г/а — его ширину, то площадь сегмента равна 2лаг/а. Расположенное в нем количество заряда «(г/ равно, следовательно, бг)=о2лзгЬ.
Все элементы такого кольца находятся на одинаковом расстоянии от точки Р„а именно «=-)жуат-эв, так что вклад кольца в потенциал в точке Р, равен аг//», или 2лоз«Ь/) у'+ аз. Чтобы определить потенциал, обусловленный целым диском, следует взять интеграл по всем таким кольцам: <р(0, у, О)= ~ — '~=~ " ' =2лаЦг'ув-)-аа) . (21) Интеграл оказался элементарным; при подстановке и=у«+у он 60 принимает вид ) и-чади. Подставляя пределы, получим тр(0, у, 0)=2по[~ у'+а' — у) для у) О. (22) Последнее утверждение требует объяснения, Результат, записанный в уравнении (22), справедлив для всех точек на положител ь н о м направлении оси у.
Из физической симметрии системы (между сторонами диска никакого различия нет) очевидно, что значение потенциала должно быть одинаковым для отрицательного н положительного направлений оси у; это отражено в уравнении (2!), куда входит только у'. Но при написании (22) мы выбрали знак, вычисляя квадратный корень из у', в результате чего это уравнение справедливо только для положительного у. Точное выражение для у с: О получается прн другом выборе корня и' равно тр(0, у, 0) =2по[1'у"--тцца+у) для у ( О.
Учитывая это обстоятельство, мы не должны удивляться, обнаружив особенность в тг(0, у, 0) при у=О. Действительно, наклон функции резко изменяется, как мы видим на рнс. 2.8, где по оси тр отложены значения потенциала, являвшегося функцией у. Потенциал в центре l диска равен тг(0, О, 0)=2поа. т Такое количество работы потребовалось бы для перенесе- ат нл ага ния единичного положительного заряда из бесконечности лс В ЦЕНТР ДИСКа, ПРИЧЕМ ЛЮбЫМ Рн,, З путем.
Поведение функции ная нРина» йгеаетааляет потенциал точечного тр (О, у, 0) для очень болыпих значений у довольно интересно. Для у))а мы можем приближенно записать выражение (22) следуюшим образом: Р'уе+аа — у= у ~ ~/ 1+' —,— 1~ =У[1+ Р ( — а ~ .. — 11=о . (24) Следовательно, тр(0, у, О) акаев/у для у>)а. (28) Величина паап равна полному заряду т) диска, поэтому уравнение (25) представляет собой выражение для потенцнала, созданного таким точечным зарядом. Как и следовало ожидать, форма заряда на значительном расстоянии от диска (по сравнению с его диаметром) не имеет большого значения; в первом приближении играет роль только полный заряд.
На рис. 2.8 штриховой кривой изображена функция паап/д, причем эта потенциальная функция у оси, как вы видите, довольно быстро приближается к своим асимптотам. По- Е = — — = — — 2ПО~)Г уа+-аа — Г»1, дср и Р ду ду (27) откуда Е = — 2по~! — у ~ при у)0. р" „а пз (28) ') Эти функции упоминались в т.
! в связи с точиыла рассмотрением простого маятника (см. т. Д гл. 7). **) В гл. 3 мы подробно рассмотрим вопрос о том, почему проводящае поверхности должны быть аквипотенциальнымн. лучить потенциал в общем виде для точек, расположенных на некотором расстоянии от оси симметрии, оказывается не просто, так как эта задача приводит к вычислению так называемого эллиптического интеграла. Такие функции хорошо известны и табулированы е), но в данном курсе мы не имеем возможности заниматься мате- матическими тонкостями. Ниже приведен Ыг достаточно простой пример, рассмотрение Г«,„.с'«которого может быть поучительным. Опре- 9 '-. делим потенциал в точке, расположенной р ь= $,=--- на самом краю диска (точка Р, на рис.
2.9). «" а',: « ~~ Чтобы вычислить потенциал в точке Р,, к рассмотрим сегмент кольца, центр которого совпадает с точкой Р,. Из рис. 2.9 видно, что заряд этого сегмента равен г(с)=О2«Ог(». Рис. а в. Определение иосси- Его вклад в потенциал в точке Ре равен пи~а а точке Р, на краю рзнномерно заряженного диска. с(с)с«=2ООг(«. Из прямоугольного треугочь- ника(рис. 2 9) «=-2асозО и»(»= — 2аз(п Ог(0. Следовате.чьно, угол 0 можно использовать в качестве переменной интегрирования.
Если пределы О менять от и/2 до О, то мы охватим весь диск. Таким образози о иГа ар = ~ — 4 = ') 2ОО ( — 2а з ) и О г(О) = — ) 4оаО з) п О стО = Р дд Г и»а о =4аа(з!ОΠ— ОсозО] ' =-4аа. (26) о (Интеграл ) Оз(п Ог(0 можно взять по частям.) Сравнивая эту величину с 2поа — потенциалом в центре диска,— мы видим, как и следовало ожидать, что потенциал уменьшается от центра диска к краям.
Следовательно, электрическое поле должно иметь компоненту в плоскости диска, направленную н ар уж у. Вот почему, как отмечалось выше, свободный заряд будет перемещаться по направлению к краям. Иными словами, наш равномерно заряженный диск не является поверхностью постоянного потенциала, какой должна быть любая проводящая поверхность, чтобы заряд на ней покоился "*). Электрическое полена оси симметрии можно вычислить непосредственно из потенциальной функции (Покажите, что компоненту Ея для точек на оси нетрудно вычислить непосредственно из распределения заряда.) По мере приближения значения у с положительной стороны к нулю величина компоненты Еч приближается к 2ла.
На отрицательном направлении осн у с обратной стороны диска поле Е противоположно и его у-компонента Е,= — 2ла. Зта величина равна полю бесконечно большого заряженного слоя с плотностью а, полученной в разделе 1.10. Этого следовало ожидать, так как в точках, расположенных близко к центру диска, заряды, находящиеся у края, не вносят Умне больших изменений. Другими словами, любой слой представляется бесконечно большим, если его рассматривать вблизи. Действительно, компонента Ер равна 2ла не только в центре, но всюду на поверхности диска.
Чтобы показать это, Я~ можно воспользоваться законом Гаусса, как было сделано в разделе 1.10, но следует проявить осторожность, так как вектор электрического поля в любой точке диска не перпендикулярен плоскости последнего. Поместим мысленно Рис у 1Е. Применение закона ЛЮбОЙ УЧаетои ДИСКа ПлощаДЬЮ А В Гаусса и зараженному диску. тонкни плоский ящик, как показано на рис. 2.10. Обозначим через Е„, у-компоненту пота непосредственно перед этим участком поверхностного заряда и через Е„- у-компоненту поля за этим участком.
Поток из ящика наружу равен Ф =- АЕп, — АЕ„+(поток через боковые грани ящика). (29) Второй член берется со знаком минус, потому что вектор, представляющий заднюю поверхность ящика, направлен по отрицательной оси у. Поток через боковые грани ящика можно сделать сколь угодно малым, сплющивая ящик а). Зто не изменит величины заряда в ящике, равною ОА . Тогда в пределе, по закону Гаусса, АЕ,, — АЕр —— -4лаА, (30) или Ер — Е„ — — 4ла. (31) Уравнение (31) представляет собой общий результат, справедливый для любого поверхностного распределения заряда, независимо от его равномерности; если а является локальной плотностью по- *) Это правильно, поскольку радиальное злентрическое поле не бесконечно. Известно, что зто поле конечно п о ч т и в с го д у на диске, так как между центром и краем существует только конечная разность потенциалов. В действительности есть такое место, где радиальное поле бесконечно увеличивается, а именно самый край диска.
Мы расположим нрай нашего ящика на некотором расстоянии от края диска, так как иначе придется иметь дело также с разрывом непрерывности в Ере и в о. верхностного заряда, то в этом месте существует внезапное изменение или разрыв непрерывности компоненты электрического поля, перпендикулярного к слою. Величина изменения равна 4па. В нашей задаче плотность о постоянна по всему диску, а поскольку поля Я по обеим сторонам диска ! 7.. должны быть симметрнчl 7'. „эФ На рис. 2.11 показаны несколько силовых линий г ~ ~ г3'~ для этой системы, а также пересечения плоскости рг с / ные штриховыми кривыми, Вблизи от центра диска ,( поверхности имеют форму линз, а на расстояниях, больших а, их форма приближается к сферической форме эквипотенциальных поверхностей, существующих вокруг точечного заряда. Рлс.
2.1! является ил- люстрацией общего свойства силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Силовая линия, проведенная через любую точку, и эквипотенциальная поверхность в этой точке взаимно перпендикулярны, так >ке как на контурной карте холмистой местности наиболее крутой склон наблюдается под прямым углом к контуру постоянной высоты. Так и должно быть, потому что если бы поле в любой точке имело компоненту, парачлельную эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку, то для перемещения пробного заряда вдоль поверхности постоянного потенциала требовалось бы определенное количество работы. 2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
