Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2.9. Дивергенция векторной функции Электрическое поле имеет определенну;с величину и направление в каждой точке. Око является вектосной функцией координат, на что мы неоднократно указывали, ззппсывая функцию в виде Е(х, у, г). То, что мы собираемся сказать, относится к любой векторной функции, а не только к электрическому полю; для обозначения этой функции мы будем пользоваться буквой Г (х, у, г). Другими словами, отдадим на некоторое время предпочтение математике перед физикой и будем называть Г просто векторной функцией в общем виде, имея в виду, конечно, трехмерное пространство. Рассмотрим конечный объем 1х некоторой формы, поверхность которого обозначим буквой 5.
Определение полного потока Ф, выходящего из 5, нам уже известно. Это — величина поверхно- стного интеграла от Г, распространенного по всей поверхности 5: Ф=) Г г)а, (44) где б(а является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности 5, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу поверхности лг «лети«бдит ту 5д лкдлысичг 17 Рпс «М о) Осиек Г, огрвнн ~еиныГ1 и гверхностыо 5, разделен нв две исти (бх ограниченные поиерхностчтги 5, и 5, Сучка поверхностпыт ннзсгралов оо все» ч гтин 1ывнв вернона.
чалки< чу значеншо поверхностного интеграла по 5. длн лыбаи иекторноп фуггкцигг Р, невависиио ог того, на сколько часзсд прозвонится деление га и ад ) Г с)а, Р~Г«(а, (45) буде» равна первоначальному значенрно интеграла по всей поверхности, приведенному в уравнении (44). Это объясняется тем, что любой участок на 0 вносит вклад с одним и тем же знаком в первый интеграл и такой же вклад с противоположнь|м знаком во второй, так как направление «наружу» в одном случае будет направлением «внутрь» в другом Иными слонами, любой по~ок из )уг через поверхность 0 будет потоком в (Уе Остальная поверхность идентична поверхносги всего первоначального обьема.
70 (рис. 2.) 5, а). Разделим объем (г ца две части поверхностью или диафрагмой О, которая разрезает «баллон» 5, как показано на рис, 2.)5, б. Обозначим эти части Г чеРез (гз и )Уз и, пРинимаЯ пх за Различные объемы, вычислим поверхностные интегралы для каждой в отдельности. Граница поверхности 5, объема (Уз включает О, так же как и граница 5« объема )'в. Очевидно, что сумма двух поверхностных интегралов Можно продолжать деление до тех пор, пока наши внутренние перегородки не разделят объем Г на большое количество частей , )гн ..., Г„, с поверхностями 5,, ..., 5о ..., 5 . Прн любом количестве частей мы можем быть уверенными, что и ° ~ ~ Г Ыа;-= ~ Г г(а =--Ф.
(46) г=1 а В пределе, когда Л' станет очень большим, мы хотим найти нечто характерное для каждой малой области, в конечном пределе для окрестности точки. Но поверхностный интеграл ) Г айаг (47) а1 по одной из малых областей не является такой величиной, так как если мы продолжим деление, то Л) станет равным 2Л' и этот интеграл разделится иа два, каждый из которых меньше, чем был до деления, так как пх сумма посзояпна.,Лр) гимн словами, но мере рассмотрения все меньших и меньших объемов в одной п той же окрестное ги поверхностный интеграл по одному из таких объемен будет неуклонно становиться меньше.
Но при делении ооъем также делится на две части, сумма которых равна первоначальному объему. Это означает, что пам нужно рассмотреп отношение поверхносзного интеграла к объему для элемента объема ') яда; (48) ! Очевидно, что при достаточно большом У, т. е. при делении объема на достаточно мелкие элементы, при каждом делении поверхностного интеграла на две части мы будем делить иа две части и обтем.
Продолжая такое деление, мы приблизим написанное отношение к пределу'. Этот предел характеризует некоторое свойство векторной функции Г в окрестности точки. Назовем его диагргекциеи Г, обозначаемой символом гйх Г. Таким образом, величина дивергенции Г в любой точке равна б ) ч Г =-=- 1( и р- ~ Г г(а,, (49) -О !.
ь. 1 где Р, — объем, в котором находится рассматриваемая точка, а 5,— поверхность этого объема, по которои берется поверхностный интеграл. Необходимо наестся, усвоя . .. ' е за ит от способа разделенна объема. В настояшем примере мы будем счита словие выполненным. С ~ИР «, РУУ ~ ааадм:Н~ Р является потоьомнаРужу из объема Р„приходяьцимся зза единицу б -,— р~ Л.: 6 чх'ггг',. д р * очевидно, скалярнои везйчиной, и может меняться от точки к точке, 7! причем ее величина в любой опоеделенной точке пространства (х, у, г) является пределом отношения в уравнении (49), так как элементарный объем 1'; становится меньше и меньше, все время охватывая точку (х, Го з).
Итак. д(чр является просто скалярной функцией координат. 2.10. Теорема Гаусса н дифференциальная форма закона Гаусса Если значение скалярной функции координат Йт Е нам известно, то мы можем снова заняться повеохностным интегралом по большому объему. Запишем вначале равенство (46) следующим образом: (50) В пределе, когда Л~ — о~, 1' О, величина в скобках становится дивергенцией функции Г и сумма переходит в объемный интеграл: (51) Уравнение (51) носит название теоречы Гаусса, или теоремы днвергеннии, Онб справедливо для любсто векторного поля, для которого существует предел, напнсанньш в формуле (49).
Посмотрим, что это дает для электрического поля Е. Нам известен закон Гаусса, имеюший внд 1 Е ~(а =- 4я 1 р Й(. (52) Если теорема дивергенция справедлпга для любого векторного поля, то она, конечно, справедлива и для Е: ~ Е да = ~ а(ч Е г(в. (53) 3 к Оба уравнения (52) н (53) справедливы для любого выбранного объема лгобой формы, размеров и расположения.
Сривнявая эти уравнения, мы видим, что условием пх справедливости является (54) в каждой точке. Если мы отныне примем теорему днвергенцпи в число математических теорем, которыми мы обычно пользуемся, то уравнение (54) можно рассматривать просто как одну из формулировок закона Га" усса. Это — закон Гаусса в днффеоенциальной форме, выраженный через локальное соотношение между плотностью заряда и электрическим полем. 72 $ 2.11, Дивергенция в декартовых координатах уравнение (4О) является фундаментальным определением диеергениии, не зависящим от системы координат. Полезно знать, как вычисляется дивергенпня векторной функции, заданной в определенной системе координат.
Предположим, что векторная функция Г выражена в декартовых координатах х, у, г. ЭТО означает, что мы имеем три скалярные функции тс„(х, у, г), рк(х, у, г) н Р,(х, у, г). Рассмотрим объем Г'т в форме небольшого прямоугольного ящика со сторонами Лх, Лу я Лг (рис. 2.!6, аты олин ьз углов которого совмещен с точкой (х, у, г).
Вопрос о том, дает лн другая "' объема то же значение п)тедсла, ьн: рассксотрим псин. Возьмем дие протнвоположп ге поверхности яшина, например а) верхщсю н нп;кнюю, которь.е выра:на|отея нечего)тамп гЛхЛу — гЛхЛу. Пото',с чсссз зтп понсгс".- нсстн об!тазован тольки г кс:птонентой Г и результи ру1стцнй поток, -.' )--- зависит от разности мсжчу р Гхдг717 на верхней поверхности п 7-', на нижней, или, более точно, ст раз. ности между средним зна нищем р, Ь'1 на верхней поверхности и средним значением г, на нижней поверх- о: ° .
лечат. ности ящика. Эта разность равна (дух)дг)Лг с точностью дс пе)чвого порядка малости. Рис. 2.! Гн б поясняет сказанное. Среднее значение р, па нижней поверхности ящика, с точностью до первого порядка малости, близко к значению Ет в центре прямоугольника. Эта последняя величина равна с точностью до первого порядка и) относительно Лх и Лу; , ах дрх, Лу ду г (х, у, г)+ — -- — х+-.— — -'. 2 дх 2 ду (55) ') Это выражение представляет собой начало раалоасенвя скалярной функции с в ряд Тэйлора в окрестности точки (х, у, г), Следовательно, с,(х+а, у+Ь, г-Рс) =сх(х, у, г)+ д, д, д) ) / д д д~ + ~а — +Ь вЂ” +с — ~ сх+...
+ — ~ а -;+Ь вЂ”,+с — ) с" + .. дх ду дг) ' ''' ' о!(, ах ' ду дг) Все производные должны Ныть вычислены в точке (х, у, г1 В на~нем случае аГ Лхтг, Ь=ау)2, с=о, причем члены ряда высптето порядка мы опускаем. 73 За среднее значение функции Г, на верхней поверхности мы прини- маем ее значение в центре этой поверхности, опять с точностью до величин первого порядка относительно малых смещений: , Лх дУ», Ду дд» дд» Г (х, д, г) 1- х - — =-';: — — — д-Лг='.
2 дь ' 2 ду ' " дг (5б) Следовательно, результирующий поток наружу из ящика через две эти поверхности, площадь каждой из которых равна ЛхЛу, равен Лх дд, Ду дд», дд» Лх Лд ~Г (х, у, г)+; — — — '-,'-:,' — - с+ Лг — — -~— 2 дх 2 ду ' дг Н»осок пз ящнка наружу асрсз всрхаюю поворхаосз»д , Л. ДУ» Лу дд.
1 — ЛхЛд 1 д (л, д, г)-,'--','- — -с+- - — "1 2 дх ' 2 Ду 1 (57) (»юзов а ящнк а»роз няв нюю кю;срхосюь» и сводится к выражению ЛхЛуЛг (дГ,,~дг). Очевидно, что подобные рассуждения следует применить и для двух других пар поверхностей. Таким образом, результирующий поток из ящика наружу через поверхности, параллельные плоскости дг, равен ЛуЛгЛх (дГ„»»дх). Обратите внимание, что здесь также прнсугствует произведение ЛхдуЛг. Следовательно, по:шый поток из неболыпого ящика наружу 1 авен »'ддз»д»»» Дуо Д Ф.—.
ЛхбуЛг ( — -;— — »» -' — ). дс ' ду ' дг (58) Объем ящика равен ЛхЛуЛг, таким образом, отношение потока к объему равно Дх Д7»р ДУ» дх ' иу ' ог и поскольку в это отношение пе входят размеры ящика, опо стремится к послоянному пределу при уменьшении объема ящика. (Если бы. прн вычислении потока, мы оставили члены, пропорциональные (Лх)', (ЛхЛу) и т. д., то при переходе к пределу они, конечно, нсчезлн бы.) Теперь мы начинаем понимать, по ~еа»у этот предел не зависит от формы ящика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
