Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

В данном примере величина Р всюду сдиаанова, поэтому линейный интеграл по длинной стороне контура не уничтожается интегралом по короткому луги и циркуляция не равна нулю г) Ясно, что циркуляция вокруг штрихового нантура не раап» нулю. Оиазываетс» также, что и дивергенция нс равна нулю, тан как векторы сходятся к центру са всех сторон.

)д) й ! 1 Кь 0="0' лруу 0 — т ь лгр Г.— 0 гуго Гд)0 т г .«- « ь дур ЯФ0 грй ГФ0 а) Гаусс )р Грабаент 7суеа а") Стпес абиепе ь )нсвт ))пде'-" гревсе Тпи) а Аверееттд ататываае первее Кровав пхеатдуеаат аевергеестд Гпчдв валгагватт ераеут Рис. У.дь Некоторые векторные соотношении. с) Р,еаы ') ды Уео) б) ~ А да= ~ то) А Еа; по поверхности по объему по кривой по поверхности а) 7а Нг= ~ йгадч Еа по кривой В Хекартовых коорхинатах: ) дАг дАу) ) дах дАе) /дду дЛх ) го) А=х ~ — - — ) + у ) — - — /+ а ) — — — ~ ыгтХА, ),де ) т) ), дт ди( )тд ИУ У дтх др дпи д д .

д ж. Вы — + — о — ыр р; Них +у +х дх др да ' дх де да др -дх ды агап и=х — и у — а — рнъ дх ду дх поля. Один вид, а именно дивергенция, подразумевает скорость изменения компоненты вектора в ее собственном направлении дг„/дх и т. д. Другой вид, т. е. ротор, представляет собой «боковую производную», включающую скорость изменения Гк вдоль осей у или г.

Соотношения, называемые теоремами Гаусса и Стокса, приведены на рис. 2.34. Связь между скалярной потенциальной функцией и линейным интегралом от градиента можно также считать членом этой семьи теорем, поэтому она также приводится на рисунке. 92 чертежах. На других сразу видно, что дивергенция равна нулю. На трех полях рис. 2.32 ротор векторной функции равен нулю в пределах изображенного участка поля. Попробуйте указать этн поля, решая для каждого чертежа, будет ли линейный интеграл вдоль любой петли равен нулю. В этом состоит сущность ротора.

(После изучения чертежей продумайте эти вопросы, прежде чем сравнить ваши доказательства и выводы с объяснением, приведенным на рис. 2.33.) Ротор векторного поля окажется ценным инструментом позже, когда мы будем заниматься электрическими и магнитными полями, ротор которых не равен нулю. Мы привели понятие ротора здесь, так как по идее оно очень близко к понятию дивергенцни. Можно сказать, что онн являются двумя видами производных векторного Задачи 2.1. гуингиний иитвгра> и градиент (зто пале изучается далыив в задачах 2.11 и 2.20).

Следующая векторная функция дает возможное электростатаческое поле: Е„=бху; Е„=Зх' — Зу', Е =О. Вычислите линейный интеграл от Е от точки (О, О, 0) до точки (х,, у,, 0) вдоль пути, которы>1 ьлст прямо от (О, О, 0) до (х,, О, 0) и оттуда в точку (х„у,, 0). Сделайте таксе же нычисление для пути, который идет вдоль двух других сторон четырехугольника через точку (О, у,, 0). Вы должны получить одинаковые ответы, если вьппеприведенное утвсрн.донне справедливо. Теперь у вас иь>еется потенциальная функция ц (х, у, г). Нзйдпте градиент этой функции и посмотрите, получите лн вы тзким образом компоненты заданного поля. 2.2.

Потгнипал двух точечных зарядов. Рассмотрите систему двух зарядов, и>об>рзгкенную на рис. 2.5. Пусть ось г совпадает с линией, на которой располо>кечы оба заряда, и пусть в точке г=О нзхолится положительный заряд. Постройте график потенциала ц на оси г, от г=- — 5 до г.=-!5, измеряя ц в СГСЭ>з а г в сантиметра с. 2лй Ровность потенциалов концентрических сфгр.

Небольшая сфера радиусом г конпснтрнчна большой сфере радиусом И. По позерхностям сфер равномерно распределены заряды ц и О соответственно. Вычислите разность потенциалоэ сфер. Обратите ьвимзнне иа то, что если заряд ц положительный, то потенциал внутренней сферы будет всегда выше, чем потенциал наруясной сферы. Таким образом, ее >и сферы соединит провода», то заряд>7 полностью перейд т на наружную сферу, независимо от тел>шины заряда Я. 'А. Потгищ>ал заряжг>того спюржня. Тонкий стержень имеет протяженность вдоль осн г от г=- — а до г.=а.

По стержню равномерно распределен заряд, равный з ел. СГСЭ на сзнгнкжтр длвны стержня. Вычислите потенциал для всех то кк на осп х при х>0. 2.5. 77араллглютзт зорл>геня>мг слои. На каждой из трех бесконечно больпшх плоскостей х= — а, х= 0 и к==а находится поверхностный заряда, распределенный с равномерной плотностью. Определите электрическое поле и потенциал для всего пространства, пряпимая ср=О в точке х=О. 2.6.

Цилиндрическое распределение заряда. Для цилиндра с равномерной плотностью зарчда (рнс. 2.20): а) Покажите, что выражение, приведенное на рисунке для поля внутри цилиндра, следует из закона Гаусса. б) Определите потенциал ц> кзк функцию г внутри и снаружи цилиндра. в) Нарисуйте графвк ц> как функцию г. Какова природа особенности в точке с==ау 2.7. Попы>чц>гат глоя с объвлной плотностью я>ряда. Пространство между плоскостями у=О и и=5 заполнено зарядом с объемной плотностью р, и никаких других зарядов нет. Определите электрическое поле всюду в этой системс, а также потснпиальную функцию >Г для этого поля и покажите, что она всюду удовлетворяет травнеппю Пуассона.

2.6. Эквилтпгнциальныг ловгрхюгти в поле заря>генного диска. Начерти ° те дчя системы на рис. 2.7 эквипотенциальную поверхность, касающуюся края диска. Опрелгляте точку, в которой эта поверхность пересекает ось симметрии. 2.9. Энергия пютгль зарядов, вырахгглиая чгрез потенциалы. Приигрно так ясг лы вычисляли энергию лодобнь>х систгл> в кь 1. Примените уравнение (2А2) для определения энергии, требуемой для помещения четырех электронов по углам тетраэдра со сторовой, равной 1 Л, в центре которого находится протон.

Что вы можете сказать о результирующей силе, действующей на один из электронов, если изпестен знак энергии. 2.10. Две одинаковые сферы радиусом г разделены расстоянием й)~г. Заряд Ц распределен го поверхности сфер. а) Определите потенциальную энергию системы, если на каждую сферу поместить заряд ()72. б> Определгпе потенциальную энергию, если весь заряд распределен по по. верхности одной сферы, а на другой ега нет. в) Определите электрические потенциалы иа каждой сфере в случаях а) и б). г) Если соединить сферы в случае б) тонким проводоы так, чтобы заряд мог перетекать от одной сферы к другой, то какова будет оиончательная конфигурация заряда? Что можно сказагь о сохранении энергии? 2.11. Вычислите компоненты Е2(Е н покажите, что векторная функция, определенная в задаче 2.1, является возможным электростатическим полем.

Решив задачу 2.1, иы доказали это другпн способом, определив скалярную функцию, градиентом которой являетсн поле. Вычислите вели шну дизергепцнн поля. 2.12. удовлетворяет ли функция 1 (х, у) — х»л- у«двумерному уравнению Лапласа? А функция йг (х, у)=-хз — уэ? Постройте график последней функции, вычислите градиенты в точиах (х .-О, у —.!1; (х.--1, у-=.О); (х=-О, у —..

— 1), (х.= — 1, у — -О) и покажите стрелками направления векторов этих градиентов. 2.13, Простой прилгер на ротор и теорему Стокса. Изчертвте «щ>ловые линип» для векторной функции А —.— ух+ху в плоскости ху. Вычпстппе го1 А и изобразите вектор, указывающий его направленно.

Вычнслитс линейный интеграл Ф А г(! по замкнутой кривой ха+уз=1; г=.О. Покажете, что теорема Стокса спранедлвва, вычислив поверхностный интеграл от ЧХА по поверхности, охватываезюй этой кривой. 2.14. Вычислите ро~ор и дивергенцию >гаждого нз следующих векторных полей; если ротор окажется равным нулю, попробуйте определить скалярную функцию гр„ граднегп которой дает векторное поле: а) Р„=-х-,'-у; ся — — х --у; Р,.— — 2г. б) бя:=2у; 6, =2х-г-Зг; 6».=-3у в) Ня=.х« — г", И„.=.2; Н,=.2хг. 2.15. Важния ттрема векторного ано,гиэа.

Если А является вскторнгл«г полем с непрерывными пронзводцымн, то й)ч (го1 А)=0, или, пользуясь обозначением «набла», у(Г)~А)==0. Нам эта теорема понадобится позже. Целью данной задачи является ее доказательство. Г!ижс указаны два различных способа, с помощью которых зга цель может быть достигнута. а) Непосредсггимнное вы ~»селение в определенной системе координат.

Воспользуйтесь ныражением для Г в декартовых координатах. '6 ь ~ .. б) При,иененис яморемы Гаусси и гг~еоремьг Со>окса не йг требует определенной сисгпеггьг коордггнагп. Рассмотрим поверхность Ь', нзображеннуго на рисунке, а именно баллон, почти перерезанный ца дзе части н окру»конный замкнутой кривой С.

Возьмите линейный ннтегра.т по кривой, подобной К задаче гл5. С, от любого векторного поля, затем примените теоремы Стокса и Гаусса. 2.16. Лримерьг векяюрньт полей скоросо~ей сопределенны,и видо»» симметрии: аксиагьная сил».чея|рия и скорость направления по касательной к окружноыяи. Пус гь векторная функция ч (х, у, г) дает скорость жидкости в тобой точке. Жид.

кость предполагается несжимаемой, т. е. всюду имеет одинаковую плотность. Это означает, что скорость переноса вещества через любую площадь, заданн>ю небольшой рамкой, закрепленной в пространстве, будет пропорциона.тьна ч. Если скорость ч постоянна во времени в любой точке и если свойства вещества не изменяются, то д(ч ч должна быть всюду равна нулю.

Почему) Перейдем к изучению снойств го1 ч. Рассмотрим определенное семейство независимых от времени течений, которые симметричны относительно какой-то оси, а ч всегда направлена по окружности. Следовательно, в л>обой точке ч представляет собой вектор, перпендикулярныйй к плоскости, содержащей зту точку и ось. )Тля аксиальной симметрии целесообразно выбрать систему цилиндрических полярных координат г, г и ч». Примем в качестве дальнейшего ограначення, что ч зависит только ог г. Тогда любое течение этого типа можно описать функцией ч= г о (г), где гр является единичным гектором, гергеадикуляриым к г и к х.

Исходя из фундаментального определенна ротора ч через линейный интеграл вдоль небольшого участка, покажите, что для полей с такой особой симметрией ротор ч выражается просто 1 г( уравнением го( ч=х — (го(г)). Воспользуйтесь этим выражением для изу ~е- Г г)Г иия следующих специальных случаев, соответствующих определенным функциям и (г).

Характеристики

Список файлов книги