Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ЕПН«1, О !Снцд«О, !ТО В ЭТОМ СЛуЧаЕ ЭсиОН ! а>С«иг З ГП ГСГ- ральной с!Орт!е (52] ие был бы справед.пш, так !Зк па очень большой ПОВЕРХНОСТИ, ОХВЗЧЫЕПЮ1ЦЕЙ НЕСа:.ОЛЬ«О ПСТОЧ!зПК В, ГСЛПЧИНЧ ГОЛЯ была бы исчезающе малой. По мере увел!щения повсрхност>! поток нс Оставзчся бы постоянны;1, а суй!в!Ился к н)лю. Од~а«о В «а>к.шп точке и;>Остр пгства гще мон!ИО было бы опрсчсчитгз поле. Л(ожПО ВЬШПСЛ«тЬ ДПВСРГСШЩЮ ЭтОгО ГОМ1, ПРНЧШ1 УРЗВНЕНИС (53), Оппсывзао«гес мотсматнчсс«оз сзо!!СТВО люг:Ого пег«тор«ого поля, будет еще спрзведлпсыз!.
!.:сть лп здесь проч ппсрсчису Не", так ка*! )раж!сине (54) вь*.полнит!,ся нс б)дсг, ДПВЕРГЕ ШПР ПОЛ Г Ужс НС Ранна ПЛОтНОСти ПСтОЧШгио, ЭТО МожНО ПОНЯТЬ, ЗЗМСЧСЯ, Что ЧСРСЗ Ма'!Ый ООЪС11, В К,!Таво«! НОТ;1СТОЧНПКОВ, все жс 11о:кот про>юдчть копечныи поток.
если поле от истс шика, раси >ложсппого г' ., в н с о 5 ьс>1 а, о рш;нчено в пр;ст) апствз' | „Г у;~ ° '.,т !'ак Видно нз Опс. '. 2, г ту часть повсчх!:-:(2уу~:л ':",'! Ности нап!егса О >ьенга. «о!оран габрзчгздспа и //'у>5~~',. ' ''.' источнику, входит бо ига>ой г:отак, тогда ~.,' ! ф~ -' .-:,',-' как поток, выходюцнй из объема. Очень ! )уй Таким оораэом, мы мо>кс>и утверждать, В „„„н...к„н Чта раВЕНСтВа (52) И (54) ВЫражавт Одяя И ннююззюн закону осрзтных ТОТ жс фИЗИЧЕСК ИП ЗЗ КОН, ЗЗКОН ОО «азер,поз, нотон ~ереа ззнн.
сутую непер. ноет нс ранен раТНЫХ КаадратОВ, ОтКрнтЫй КУЛОНОМ нулю. при непосредственном измерении сил, дей- ству,ощих между заряженными телами, в то время как равенство (53) является Выражением математической теоремы, позволяющей перевести формулировку этого за. кона из дифференциальной формы в иптегральнук> или наоборот.
Как можно обьяснить эти днфференцчальные соотиошсчня между источником и полем в мире, где электрический заряд в действи- тельности представляет собой не равномерное кжеле», а концентрацшо частиц, о внутреннем строении которых мы так мало знаем? Действительно, уравнение Г!уассона (69), имеет смысл только в микроскопическом масштабе. Плотность заряда р можно интерпретировать как среднюю величину заряда, распределенного по некоторой малой, но конечной области, содержащей большое количество частиц. Следовательно, функция р не может быть непрерывной в математическом смысле.
Когда мы уменьшаем область Г; при выводе дифференциальной формы закона Гаусса, то как физчки ыь1 знаем, 1!тО не должны уменьшать ее слишком сильно. Может быть. в этом неудобно признаться, но фактически мы хорошо ра:!бнраемся в непрерывных моделях только для крупномасштабных электрп'юскив систем. В атомном мире имеются элсментарныс частицы и вакуум. Внутри частиц, если закон Кулона играет там каку!о-го роль, грогсходпт ьшого других явлений. Вакуум в электростатике подчиняется уравнению Лапласа. Од! ако мы !!е уверены. по даже з вакууме переход к нулевым размерам имеет фи з и ч ее к и и смысл. 2Ла, Ротор векторной функции Понятие о л шергенции как о локальном свойстве векторного поля было выяснено при рассмотренп~ интеграла по большой замкнутой поверхности.
Рассмотрим теперь линейныи интеграл некоторого вскторного поля В (т, Гь з), взятый по замкнутому и:тп, а именно по кривой С. Кривую С можно рассматривать как граш1пу некоторой стягивающей ее поверхности В. Хорошим назван!.см для вели шны такого лине;шого интеграла, взятого по за:кнутому пути, является циркуляция; для обозначения циркуляции мы будем пользоваться греческой буквой Г: Г-.— ( Г ° !Й. с (73) В подынтегральном выражении бз является элементом пути, т, е. бесконечно малым вектором, касательным в,чюбом месте к кривой С (рис. 2.23, а).
Имеются два направления, по которым можно обойти С; мы должны выбоать одно из них, чтобы направление !(з было определенным, В обп!е!! случае кривая С может быть не плоской, а как угодно изогнутой. Перссечем поверхность С по пути В, образовав таким образом две сме!кпые петли С, и С„в каждую из которых входит путь В (рис. 2.23, б).
Вычислим линейный интеграл по каждой нз этих петель, придерживаясь выбранного направления. Легко видеть, что сумма двух этих циркуляций Г, и Г., будет равна первоначальной циркуляции Бдол! петли С: это Ооъясняется тем, что путь В про. ходится при двух интегрированиях в противоположных направлениях, поэтому вклад в интеграл дают лишь те части петель, которые в сумме составляют первоначальную петлю С, Дальнейшее разделе- 8! ние на большое количество петель С,, ..., С,, ..., С .
нс меняет вели- чины суммы интегралов: .Ъ' ) Г е>'з=. ~ ~ Г >Ьт с »= с. г Х илн Г= ~ Г,. 174) ~ гд> 1', с> Иш — ' илн )пп 175) л. р и> > Знаки, которыми связаны направление нормали и и направление обхода С, в линейном интеграле, подчиняются правилу буравчика Здесь также можно бесконечно продолжать деление с тем, чтобы в пределе получить количественную локальную характеристику поля Г. При увеличении числа петель мы получаем петли с меньшей циркуляцией, но и с меньшей площадью, Поэтому естественно рассмотреть отношение циркуляции петли к йга плошади петли.
подобно тому как мы рассматривали в разделе а) 2.9 отношение потока к объему. Однако здесь ситуация несколько иная, так как площадь а, элемента поверхности, стягивающей малую петлю СО является в действитель- ~~ Ю у~ ) ности вектором; поверхность имеет ориентацию в пространстве. Мы не можем взять отношение скалярной величины к вс>>торно»! Де>йствитсль- 9~ по, поскольку в окрести>>сти данной точки мы берем петли все менынего и меньшего размера, то для петли а> можно выбрать любое направление ориентации. (Вспомните, что мы пе связаны с определенной поверхностью, стягивающей кривую С.) Поэтому мы можем перейти к пределу существенно различными путями, а результат должен это отразить. в) Выберем некоторую определенную рис С.ата. дли ретделееиай естли сумм.
есет еириутеции г; искр>г ориентацию дЛя эЛемента поверх>п>. «сст еестесс рее)ге асркуляисссг г ее сп> В Одной иэ последних стадий «рус исрееи селнсеи кривой С. * разбиения. Единичный вектор и обозначает нормаль к этому элементу; она должна оставаться постоянной при уменьшении пути, окружа|ощего выбранную точку Р. Предел отношения циркуляции к площади участка можно записать следующим образом: (рис. 2.24). Предел, получаемый прн этой операции, представляет собой скалярную величину, связанную в векторном поле Г с точкой Р и направлением и. Можно выбрать три независимых направления, например х, у и 2, и получить три различных числа.
Оказывается, что эти трп числа являются кодшопентами вектора. Мы называем этот вектор ротором Г. Такнуг образом, можно сказать, что предел, который мы получим для определенного направления и, является величиной проекции го( Г на это направление, Сформулируем полученный результат в виде уравнения (76) Например, х-компонента го( Г получена при выборе п=х (рпс.
2.25). Стягивая петлю вокруг точки Р, мы оставляем ее в плоскости, перпендикулярной к оси х. В общем случае ротор вектора Г будет меняться от точки к точке. Если мы будем уменьшать поверхность около какой-нибудь другой точки, то отношение циркуляции к пло- с г "Ф' ' '„мэтт щади может иметь другое значение, в зависимости от характера Рис.
2.24. Связь между нормалью и понерхностн и направленном цирку. лвцнн линейного интеграла имра. жается правилом буравяниа. Рис 2.25. Уяжтои стягивается н Р ие изменяя направлении своев нормали, соююдаюжего с осью х. векторной функции Г. Следовательно, сам ротор Г является векторной функцией координат. Его направление в любой точке перпендикулярно к той плоскости, проходящей через эту точку, для которой величина циркуляцви максимальна.
Величина ротора является предельным значением циркуляции, приходящейся в этой плоскости на единицу площади, вокруг выбранной точки. Мы утверждаем, что определенный таким образом объект является вектором,— но это еще не доказано. Чтобы заслужить название вектора, компоненты, определенные таким образом, должны вести себя во всех отношениях 83 подобно компонентам вектора. Предположим, что мы нашли определенные значения для х-, у- и г- компонент, согласно выражению (76). Если затем мы выберем какое-то четвертое направление для вектора и, то проекция ротора, полученная из выражения (76), должна однозначно определяться тремя указанными компонентамн, так как вектор задается тремя своими компонентами. Если этот вопрос вас интересует, обратитесь к задаче 2.24, которая убедит вас в том, что выражение (76) действительно определяет проекцшо или компоненту вектора.
2.16. Теорема Стокса Ог циркуляции вокруг бесконечно малого участка поверхности мы можем вернуться к циркуляшш вокр)т первоначальной большой петли С; н и (77) Последний член мы просто умножали и разделили на ас Посмотрим теперь, что произойдет с правой частью уравнения, если 7ч' сильно возрастет, а все а! уменьшатся. Величина в скобках станет равной (го(Г) и,, где и; — единичный вектор, перпендикулярный к !'-му участку. Изак, справа мы имеем сумму произведений площади участка на нормальную компоненту (го1Г) по всем участкам, составляющим поверхность 5, стягиваюшчю С. Это не что иксе, как пзаерхноетныа интеграл по 5' от го1 Г; Следовательно, мы получили, что )а ( ( 9) Соотношение (79) является математической теоремой, называемой теоремой Стокса.
Заметьте, что по структуре сна похожа па теорему Гаусса, т. е. на теорему дивергенции. Теорема Стокса связывает линейный интеграл от вектора с поверхностным интегралом от ротора вектора. Теорема Гаусса (формула (51)) связывает поверхностный интеграл от вектора с объемным интегралом от дивергенции вектора. Теорема Стокса имеет дело с поверхностью и кривой, огибающей эту поверхность. Теорема Гаусса относится к объему и охватывающей его поверхности. 84 2.17. Ротор в декартовых координатах Равенство Г76) является фундаментальным определением ротора Г, сформулированным без ссылки на какую-либо определенную систему координат. В этом отношении оно похоже на наше фундаментальное определение дивергенции (49). Как и в случае дивергенции, мы должны уметь вычислять го1Г, если дана некоторая векторная функция Г ~х, д, г).
Для этого мы выполним интегрирование, требуемое выражением (76), но сделаем это для пути, имеющего очень простую форму, а именно для пути, который охватывает прямоугольный участок поверхности, параллельный плоскости хр (рпс. 2.26). Иными словами, мы берем п==х. В соответствии с принятым нами Рнс 2 27. еггв нв уч.суок рве 2 2г сверху. Рве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
