Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Очевидно, что оп не зависит от пропорций прямоугольного ящика, по это далеко пе все. Легко понять, что этот предел будет одинаковым для: юблго объема, который мы можем создать, складывая небольшие прямоугольные ящики любого размера и формы. Расслютрихг два таких ящика на рнс. 2.17, а. Сумма потоков»Р» наружу из ящика 1 и Фг наружу из ящика 2 не изменится, если, удалив смежные стенки, мы образуем один ящик, показанный на рис.
2.17, б. Действительно, какой бы поток нн вытекал через эти смежные стенки, он всегда будет отрицательным для одной стенки и положительным для другой. Следовательно, даже такая при- 71 чудливая форма ящика, как показанная на рис. 2.17, в, не изменит результат. Оставляем дальнешпее обобщение этого вопроса читателю. Доказав предварительно, что векторная сумма четырех поверхностей тетраэдра (рис.
2.18) равна нулю, вы сможете рассмотреть более общий случай наклонш»х поверхностей. 1!ы приходим к выводу, что прн обязательном условии днфференцируемости функций Гк, Ги и Гс искомый предел существует и дается выражением дд дХР дле б) ге Г = —" -,'— — У вЂ”; — — ', дх ' дц ' дк (59) Если величина г(!т Г в некоторой точке полож|пельна, то можно определить, считая Г полем скоростей, результирующий «поток наружуг в окрестности этой точки. Например, если все три частные производные, входящие в уравнение (59), положительны в точке Р, то в окрестности этой точки мы будем иметь векторное поле, подобш ное изображенному на рис.
2.19. Но поле может быть совершенно другим и все-такп иметь положи- Т в) Рис. " 1б. Докажите. нто а,жа,-1 'а,—,а,;-б. Рис. 2.17. Поеиеи отношении потока к объект не вавнсит ск фобии ящика, тельную днвергенцшо, так как на него можно наложить любую векторную функци1о б при условии, что г!1ч Ст=-О. Таким образом, одна илн две из трех частных производных могут иметь отрицательную величину, а г) Ь Г будет все еще больше нуля. Дивергенция — это величина, которая определяет только один аспект пространственного изменения векторного поля. Применим эти рассуждения к электрическому полю, которое легко мысленно представить.
Пусть, например, бесконечно длинный круговой цилиндр радиусом а заполнен положительным зарядом, распределенным с плотностью р, Вне цилиндра электрическое поле совпадает с полем линейного заряда на оси цилиндра. Это — радиальное поле, величина которого пропорциональна 1/г. Поле внутри 75 цилиндра мы найдем, применяя закон Гаусса к цилиндру радиусом г(а. Вы легко решите эту задачу и обнаружите, что поле внутри цилиндра прямо пропорционально г и, конечно, также является радиальным. Точные значения поля будут следующими: 2лрае Е= ' для г>а, (60) Е =- 2прг для г ( а.
На рис. 2.20 изображено попересгнсе сечение цилиндра, перпендикулярное к еро осп. В данном слупае выбор прямоугольных координат ! -у Рве. р гз Понесено псле, двтер. гене .н которого е окрсстностг~ топке р ке ровне прего рг с. Кур, Поле внутре в сверунсгт Нвнннд- является не особенно удачным, но мы воспользуемся пми, чтобы не- попрактиковаться в ррах.е:!енин уравнения (59). Прн = — ) хе+.уг компонеп ы поля можно вь разить следующим образом: (6! ) Компонента Ес, конечно, равна нулю. Вне заряженного цилиндра с((ч Е равна дЕ дЕв Г ! 2хе ! 2ув дх ду " '' Г!хедруе (х' -, унг' ' хе+у' (хе-гуе)еЗ Внутри цилиндра б(у Е равна дЕк дЕр — „-+ — =2тир(! т !) =4ЯР.
дх ду (66) 'х з Е 2дра"х ( 2лрх (' ' у т Е 2лп..еу г / х--Еус ( 2яоу для г> а, для г<а, для г>а, для г(а. ~ Этих результатов можно было ожидать. Вне цилиндра, где нет заряда, конечный поток, вытекающий из любого объема — и большого и малого,— равен нулю, так что предел отношения потока к объему, конечно, равен нулю. Внутри цилиндра мы получили результат, следующий из фундаментального соотношения (54). 2.12. Лапласиаи Нам теперь известны две скалярные функции, связанные с элект.
рическим полем: потенциальная функция ц: и дивергенция с1гу Е. В декартовых коордннагах эти связи выражаются равенствахш - д'г - '<; Е == — цгаб« =-:- — (х — -+ у — ' -,'. х —,'— ' дх ' ду ' дг у (64) дух длу ди дх иу дг (65) Из (64) следует, что х-компоненга поля Е равна Ех== — дгу/дх. Под- ставляя это выражение и соответствуюнтие вы(за;кения для Еу и Е, в (65), мы получим вьюн;кение, связыеаюпгее Йу Е н гл с 1ч Е =- — Й у дга«( <р . =. — ( —., + .
—,, + —.:; ) г дх« ду« дг«,)' (66) дг дг дг дх' дуг дгэ представляет собой лапласиан в декартовых координатах. Обозначение ";-' имеет следующий смысл. Оператор градиента часто обозначают символом т и назывшот «цаблск В декарзовых коордннатах он имеет вид - д " д — д 7 =.х ~ у=+2 (67) дх "ду ' дг' Считая это выражение вектором, получим, что его квадрат д' дг дг 7 7 = —.г+ —., '; —— дхг дуг ' дг' (68) совпадает с выражением для лапласиана в декартовых координатах.
Поэтому лапласнан часто называют «набла в квадрате» и мы говорим «набла квадрат г(», подразумевая «()(у ага«) ~у». (Предостережение: в других системах координат, например в сферических полярных координатах, оператор градиента и оператор ."!апласа не связаны таким образом.' Полезно помнить, что фундаментальное определение тт Операцию над <(«которая производится уравнением (66). исключая знак минус, можно назвать «Йу ага«(» или «взятием дивергснцни от г)задиента», Снхшол.
которым обычно обозначают эту опс(зьг!ию, имеетвид «и называется олурш»20ролгЛшьшй!, или прес«о.юцгпвнонозь Выражение оператора Лапласа заключается в том, что он является «дивергенцией градиента...».) Теперь можно непосредственно выразить лока,льпое соотношение между плотностью заряда ц потенциальной функцией в окрестности некоторой точки. Применяя закон Гаусса в дифференциальной форме с)(у Е=4лр, мы получим (69) г'2«р =- — 4лр, Уравнение (69), иногда называемое уравнением 77рассона.
связывает плотность заряда со вторыиш производными потенциала. В декар- товой системе координат оно имеет вид д-'ср , д-"т , дЧГ дяз ' дуе дге (70) Это уравнение можно рассматривать как дис)хреренциальное выра- жение, соответствующее интегралу (! 7), с помощью которого потен- пиал в точке вычислялся как сумма вкладов от всех, далеких и близ- ких, источников а), 2.13. Уравнение Лапласа Всюду, где р==0, т.
е, во всех частях пространства, не содержащего электрических зарядов, электрический потенциал ср должен удовлетворять уравнению (71) «) Действительио, можно показать, что ураввеиие (70] является и а т е м ат и ч е с к и м эквивалентом уравиеиия ((7). Это означает, что, применяя оператор Лапласа к иитетралу уравнения (!7), вм получите — 4ир. Мы ие будем остаиавливаться иа этом; поверьте иам иа слово или получите этот результат свми. 78 Оно называется уравнение,н Лапласа и находит применение во многих разделах физики. Действительно, с математической точки зрения, теория классических полей в большинстве случаев занимается изучением решений этого уравнения. 1(ласс функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа, называется гармоническими фуннцнялш.
Онн обладают рядом замечательных свойств, одно из которых заключается в следующеип если функция ср (и, у, г) удовлгтго)тяет урал- нению Лапласа, то среднее значение тр по поверхносгпи любой сферы (не обязательно неболыиой) равно значению <р и центре сферы. Это легко доказать для электрннеского потенциала ср в областях, не содержащих зарядов. Рассмотрим сферу 5 в поле точечного заряда д, который расположен вне сферы (рис.
2.21). Представим некий пробный заряд величины д', равномерно распределенный по этой сфере. Работа, которая требуется для создания такого распределения заряда с1', равна пропзведению д' на среднее по сфере значение потенциала, обусловленного зарядом с). Но мы знаем, что эта работа должна быть такой же, как если бы мы имели вначале пробный заряд г(' и затем перенеслл заряд с1 из бесконечности, и что в этом случае работа должна быть такой же, как если бы заряд с)' был сосредоточен в центре сферы, вместо того чтобы быть распределенным по поверхности, Зто доказывает утверждение для данного случая Г!оскольку потенциалы нескольких источи!аров просю б ладыва- /;:: Яугсу 7' ются, то это должно быть справедливо сспгг0слгг' Пг С1утгзуг для любой шистемы источннкоь, располо кепных вне сферы о.
Это свойство потенпиала тесно связано с фактом, который может вас разочаровать; нельзя создать такое электрическое поле, которое удержит заряженную частицу в состоянии устоичигого равновесия в вакууме. Эта «теорема невозможностив ~юдобно другим физическим теоремам помогает экономить время, затрачиваемое на бесполезные размышления. Посмотрим, почему эта теорема верна, Г!редположим, что мы имеем электрическое поле, в котором, вопреки теореме, имеется точка Р, где положительно заряженная частица находится в состоянии устойчивого равновесия.
Зто означает, что любое малое смещение частицы пз точки Р дол'кно привести частицу в точку, из которой она вернется обрапю в точку Р под действием электрического поля. Но это означает, что неболыпая сфера вокруг точки Р должна иметь поле Е, направленное внутрь всюду на ее поверхности. Это противоречит закону Гаусса, так как внутри области пет источника отрицательного заряда. (Наша заряженная пробная частица в счет не идет; кроме того, она положительна,) Другими словами, не может быть такой пустой области, где все электрическое поле направлено внутрь или наружу, а это как раз и требуется для устойчивого равновесия. Выра>хая тот же факт через электрический потенциал, можно сказать, что устойчивым положением для заряженной частицы должно быть такое положение, когда потенциал дт илн меньше потенциалов во всех соседних точках (если частица заряжена почожительио), или больше (если частица заряжена отрицательно.) 51сно, что ни то, пи другое невозможно для функции, среднее значение которой по сфере всегда равно ее значению в цемтре.
Конечно, заряженная частица может находиться в р а в н о в е с и и в электростатическом поле в том смысле, что сила, действующая на нее, равна нулю. Точка на рис. 1.10, в которой Е=-О, может служить таким примером. Среднее положение между двумя равными положительными зарядами является положением равновесия для третье- рис р т! р..бота, требуеная плв перенесении зарина Е' н рвспрепеленнвз и' иа среднее знввение потенпз~алв, обусловленнпсо заряпон и, по тоб в,е споре го заряда, каким оы ни был его знш!. Но это равновесие неустоичпво.
(Что произойдет, если третий заряд немного сместить из этого положення равповесияу) Заметим, что прп помощи электрических полей, меня!Ощихся во времени, кожно поймать н удержать заряженнуго частицу в состоянии устойчивого равновесия. 2,(4.
Различие между физикой и мате. атикой В двух пос 1е1нпх разделах мы пх!слн дсчо с математпческими со Отношсп«ями и НОВыуиг способахш Выра>ке1П1я известных фактоВ. Поту мсе!1 о ток!, что произопгло бы, если бьа электриагеская сила ие подзпшялзсь закону обратных квадратов расстояния, а была сплои, имеюпгсй ограягчеянь!й радиус действия. например, силой типа е ->.. Такой ансл1щ гю>кжст пам отделлгь физпку от математики и закон От Онр!ДС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
