Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Сила, действующая на поверхностный заряд Простой пример симметричного распределения заряда с плотностью о по поверхности сферы радиуса г, 1рис. 2.12, а) может нас кое-чему научить. Полный заряд Я такой сферы равен 4пг,'а. Потенциал вне сферы равен Я/г, как если бы заряд Я был сосредоточен в центре, а потенциал внутри сферы имеет постоянную величину Я~г,. Градиент постоянного потенциала равен, конечно, нулю; мы уже знаем, что поле внутри такой полой сферической заряженной 64 оболочки должно исчезать. На ряс. 2.12, б и в приведены графики изменения потенциача ср и поля Е с изменением г.
Теперь выясним, чему равна сила, действующая на элемент поверхностного заряда ойА, обусловленная отталкиванием, которое он испытывает от всех других элементов заряда на сфере. Нам известны электрические поли сферы Елаее1=Фгеа.=.4ло н Е„л,,р=-О. Какую пз этих величин мы должны выбрать Е ЙЫ' для вычисления силы, действующей на ~ э,е4 заряд? Верный ответ равен '/а (Е„е +Е,.м„) В этом можно убедиться, представив поверхностный заряд не в виде слоя нулевой толщины, а как объемную плотность заряда в слое малой, но конечной толшины Лг, в пределах которой объемная ! плотность заряда р является рашюмер- ® 1 ной, а заряд, содержащийся в любом квадратном сантиметре этого слоя, равен о. Другими словами, какое бы ни было Лг, берем р таким, чтобы рЛг=-о. Теперь вы можете воспользоваться законом Гаусса и доказать, что величина электрического поля на внутреннен поверхности такого слоя равйа нулю и линейно увеличивается по мере прохождения через слой, достигая величины 4по иа его на жной нове хности.
(К и- ЕЮ в) ру Р р 5л внзиа поверхности делает поле не совсем линейной функцией, но поскольку иы всегда считаем, что Лгс~га, то практически в этой малой области мы имеем плоскунз пластину.) Среднее поле в этой пластине и, следовательно, средняя сила, действующая на единицу заряда внутри пластины, равны '/е(Еает„+Еле, ), а в данном частном случае при Е,„„„=О равны '),Е„„„или 2яо.
Рис. 2.13, а — в показывают, как меняется ситуация при уменьшении толшины слоя, если величину заряда иа единицу площади сохранять постоянной. Ничего удивительного не происходит: чем меньше рас. стояние, на котором поле меняется от О до 4по. тем больше объемная плотность заряда р. Заметьте, что даже неравномерная плотность заряда по слою, как, например, на рнс. 2.!3, г, не влияет на величину Е по обе стороны слоя. Й величина полной силы, действующей на единицу площади такого слоя, по-прежнему равна произведению Ца(Е,„„,р+ ъцЕееещ) на полнын заряд на единицу площади даже в случае нели нейного изменения поля. В задаче 1.29 приведен простой пример, подтверждающий правильность вышесказанного, а задача 1.30 дает возможность получить доказательство в общем виде.
,3 э. Парселл 65 Реальные поверхностные заряды, конечно, нельзя расположить в слое пулевой толщины с бескопечяо большой объемной плотностью, поэтому наше промежуточное пред-':;~- дг ставление более реалистично, чем прет'.:) дельный случай. Например, заряд на поверхности металла может быть распреа~ делен в слое толщиной в несколько ангстрем: Дело в том, что поскольку слой яв. ляется тонким по сравнению с другими еед ';з;= я размерами системы, то прп вычислении всех Е= 'сго Е=д к т Е= Дня Е=гг Рис.
а ЬП Изиеневне нели. явны поля у зарннгеиного слоя зависит только от пол. ного заряда иа единину плогцадн. Рис. 2,14 Сжатие сферияескон оболонки и.ти заря неавого баллона. вызвана отталкиванием зарядов и направлена наружу. Естественно, что если заряды не разлетаются в разные стороны, то эта сила должна быть уравновешена некоторой другой силой атомного или молекулярного происхождения, не входящей в наши уравнения, но удерживающей носители заряда на сфере. Если мы заряжаем резиновый баллон, то сила электрического отталкивания, которую мы вычислили, а именно 2поз на едини- дг Пу и Е=нпб Еьв явлений большого масштаба его можно принимать за слои нулевоц толщины, характеризуемый только локальной плотностью заряда на единицу площади.
С другой стороны, действительное распределение по глубине может иметь значение для атомных явлений, происходящих под поверхностью, например, для перехода электронов из одного вещества в другое через разделяющие их поверхности. Возвращаясь к вопросу, с которого мы начали этот раздел, мы видим теперь, что сила, действующая на элемент поверхностного заряда Йгй равна 2лпгдд, и так как количество заряда в элементе площади сьА равно ей~ =яМА, то сила, действующая на это| элемент площади, равна йр --= 2поз б~А. (32) Таким образом сц.яа, приходящаяся на единицу площади, равна 2яо'-'.
Эта сила цу площади, заставляет баллон расширяться. Наоборот, чтобы уменьшить диаметр такого распределения заряда, сохраняя полный заряд постоянным, над системой следует произвести работу. Предположим, что мы хотим уменьшить радиус сферы от г, до го — д (рнс, 2.14).
Имея в виду работу, которая должна быть произведена только против электрических сил, мы должны приложить к системе силу, равнусо 2па' дин на каждый квадратный сантиметр поверхносзи и направленную внутрь. Эта сила действует на пути с)г н работа, совершенная над системой внешними силамп, равна д !Г == (4пг",) (2пас) дг -- 8лвслго дг. (33) Это уравнение хюжно таскже выразить через полный заряд Я, так как 4е=-4очспв: Я- ьсгс 'с„.'- л Лсг -- —, (34) его 2.8. Энергия, связанная с электрическим полем Заметьте, что единственным результатом сжатия сферы, если речь идет об электрическом поле, явилось создание напряженности поля, равной 4по в пространстве между гв — дс и го, где прежде поле было равно нулю.
Во всех других частях пространства поле остается точно таким же, как было. Эта часть поля была создана, можно сказать, за счет работы с1!Сг. Сравнивая числа. мы видим, что количество работы дрр можно следующим образом выразить через новый объем ди, занятый полем, (35) Этот пример является частным случаем общей теоремы, которую сейчас мы доказывать не будем: сютенциальная энергия (I систеиы зарядов, катарин предггпавллегп собой стлнусо рабоспу, требуелсусо для создания этой сисспслссьс. ссоэкепс бьсть вьсчислена иэ самого электрического поля, если кагедому элементу объелса пршсисать .онергисо (Ев/8л) до и лроиэвестсс сстпегрирование по всему пространству, в котором суи(ествуепс эспо электрическое лоле: У --- — „~ ~ Е' ди. (38) по всему попю Ев является, конечно, скалярной величиной: Е'= — Е Е.
Работу, требуемую для создания начального состояния нашей заряженной сферы (см, рис. 2.14), можно вычислить следусошим образом: Е=-©го, при г) г„; Е--О, при г (го, следовательно, (/ = — э! Е'ди = — э! —,4пгвс(г= —. ал э ап 3 2го (37) Такой жс результат получается при вычислении работы, необходимойдля уменьшения радиуса сферы от бесконечно большой величины до конечной величины г, (если воспользоваться равенством (34)): "б бв овну Г Овлт ~б (38) Иногда эту энергию называют «запасенной» в поле. Поскольку система являегся консервативной, это количество энергии, конечно, может быть возвращено, если разрешить зарядам разлететься в стороны, поэтому естественно думать, что эта энергия <где-то находится».
Наша точка зрения оказывается правильной, если считать энергию запасенной в пространстве с плотностью, равной Ет)8п эра/сбив. Особенного вреда в такой точке зрения нет, но на самом деле мы не имеем права, совершенно независимо от чего бы то ни было, «привязывать» запасенную энергшо к определенному кубическому сантиметру пространства. Физически можно измерить только полную энергию, т. е. работу, требуемую для перенесения заряда из одной конфигурации в другую. Выражая полную потенциальную энергию электростатической системы уравнением (38) вместо равенства (!.9).
мы только пользуемся другим способом подсчета, подобно тому как поведение электрических зарядов может быть выражено как с помощью закона Кулона, так и с помощью понятия об электрическом поле. Иногда изменение точки зрения, даже если оно вначале является только изменением в способе расчета, может стимулировать появление новых идей и более глубокое понимание существа дела. Представление об электрическом поле как о независимой реальности возникло в результате изучения динамического поведения заряженного вещества и электромагнитного излучения. Мы говорили о потенциальной энергии и об электрическом потенпиале.
Запомните, что это — совершенно разные вещи. ПотенциальР У м Ж поп,, Раб Рлй»тбааб~б б б б т;~амт т б а т я~ы Оз.атю частеи, т. е. эне гию, кото ую можно считать запасенной в созданной-сйстеме. о — скалярная величина, являющаяся свойством системьгв тпел гм. Электрический потенциал <р дайного распределения эле!«трических зарядов является функцией положейия в простРанстве.— ОЯ-выРажветсЯ в"эр«Уедс"СТАР йлй в единицах Сб СЗ» РазтГость значений Чт в двух точках пространства равна работе на единицу заряда, требуемой для перенесения заряда из одной точки в другую.
Чтобы подчеркнуть различие между тр и У, запишем уравнение (36) через <р, а не через Е. Так как Е= — р ср, то (39) пространству 68 Существует и другой способ вычисления запасенной энергии. В гл. 1 было показано, что энергия, необходимая для того, чтобы объеди- нить несколько дискретных точечных зарядов д„..., дл дается ра- венством (1.9): (40) Запишем его следуюцпзм справок: (у 1 Х' "ъ 2,"1 41 и рассмотрим выражение в скобках. Каждый член этой суммы является вкладом одного пз зарядов в электрический по1енцнал <р в точке, где находится заряд д;, таким образом вся сумма, которую мы назовем гр,, является пстенгп алом в сь обусловленным всеми другими зарядами. !сгда Ь' можно выразить как (42) Прн наличии непрерысного расдрс е ынпя заряда р(х, р, з) вместо точечкь:х зарядов мы прс сто заменяем сумму, входящую п уравнение (42), интегралом: ! / У.= — ') р~:ас.
(43) Здесь уже не имеет зкачеппя утверждение, что потенциал гр обусловлен всеми остальными зарядгмн, так как элемент заряда, аналогичный вь равен ргл и является бесконечно малым. Итак, <р в равенстве (43) представляет собой электрический потенциал всей системы ~р(х, д, г). Равенство (43), конечно, эквивалентно равенствам (39) и (36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
