Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Потенциал проводника является определенной величиной, но в системе имеется точечный заряд, в котором значение потенциала приближается к бесконечности. Точечный заряд можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника с полным зарядом Я. Теорема единственности справедлива также и для «смешанных» граничных условий: потенциалы заданы на одних поверхностях, а полный заряд — на других. И если наше «вспомогательное» решение удовлетворяет этим условиям, то, следовательно, оно должно быть правильным решением. рпс З.р Не "ылнко сплы ыз лнян«поля, созд.
нас«ото зарядом, распололсенным няд плоскостью. илло:зсенноссн поля у псасртностп, пслуяземан нз урзанення Пх опред пнет позерлностнуы плотность заряда о. На рис. 3.9 показано окончательное решение для поля над плоскостью с наведенной плотностью поверхностного заряда. Мы можем вычислцть величину и направление поля в любой точке, возвращаясь к задаче с двумя зарядами (рпс. 3.8, а) и применяя закон Кулона. Рассмотрим точку на нашей плоскости, расположенную на расстоянии рот начала координат. Квадрат расстояния от этой точки до 1',1 равен гз+йз, а г-компонента поля в этой точке равна — (;1 соз6' (гз,'-6«).
««Мнимый заряда — Я, расположенный под плоскостью, вносит равную г-компоненту. Следовательно, электрическое поле в данном случае дается выражением Š—:зм оз 8 —, ~1), и 2с)1з (7) 1за СОЗ,« 1з« Отсюда можно получить поверхностну1о плотность заряда о: Ел — Ял (8) 4 Зп(п з Усс) Полный поверхностный заряд должен быль равен — (1. Для проверки можно провести интегрирование по поверхности и посмотреть, будет ли результат равен — ().
г08 Др." Й с та и тел Ы!о, о ЦОЛ1нон; ПОВЕРХПОСтНЬШ ЗаРЯД.= 1 П 2»ИГПГ= б х = — а ~ „""';,.= — а. (0) 11И вЂ”,-те)а " Метод решения, использованный здесь, называют по традиции дцаподол изобратденип. Фп1сдпвный отрицательный заряд, расположенный па расстоянии й под плоскосдью проводника, к которому сходятся силовые линии поля, можно считать с»зеркальным изображенпемв точечного заряда Д, подобным действительному изображению за зеркалом. Элс1»1рическая сила, действующая на заряд 1,1, благодаря притяжению поверхностного заряда, равна силе, которую вызвал бы мнимый заряд — 11. Обраднте внимание на то, чтодействительным источником этой силы является поверхностный заряд. л l «-рб,—.т= ! ! р»ы. 3 1р а» поосреч»ые ра»ре ы квннотеннна..нных наверхн тед двтх равных н ра»ва.
н»» н-, ч» т» кч .~х аар д, в, б11!ьс т» кне нокера»»остп сделаны н» ыеталл ь Проводннк|» точно »акое ~ е ф рчы, рсс о»славные вл токая ые расс»оно»»н нрн ваданных харадах О н — Е, сом,лн бы то~но таьне ые лола во ввеынвх точках. Аналогия с зеркалом, однако, не очень поавильна и малополезна. Вернее рассматривать этот метод в качестве примера более общего метода, который хюжно назвать крещением по граничным условиям».
Чтобы показать, что мы понимаем под этим, рассмотрим некоторые из эквипотенциальных поверхностей в поле двух равных и разноименных зарядов, изображенных на рис. 3.10, а. Плоскость будет одной из этих поверхностей. Остальные поверхности являются замкнутыми, причем не точно сферическими,— однако, если понадобится, мы можем установить форму и положение любой из них с помощью элементарных вычислений. Если бы мы могли взять любые д в е из этих поверхностей, изготовить металлические оболочки точно такой формы и расположить пх так, как были расположены эквипотенциальные поверхности относительно друг друга (рис.
3.10, б), то мы получили бы точное решение для электростатического поля двух таких заряженных проводников! Опо было бы соответствующей частью поля двух зарядов. К сожаленшо, такой метод решения, связанный с необходимостью нахождения точной формы электродов, трудно осуществим. Однако даже приближенное решение, полученное с помощью сферических электродов, иногда может оказаться полезным.
Можно было бы, имея в виду более полезные примеры, продолжить изучение эквипотенциальных поверхностей для других простых систем. Пожалуй, этот метод следовало бы назвать «поиском новой задачи, дающей интересующее нас решение». Хороший пример полезности такого метода приведен в задаче 3.22. Положение было хорошо описано Максвеллом: «Итак, оказывается, что так называемая обратная задача нахождения формы проводников прн заданном выражении для потенциала решается более просто, чем прямая задача определения потенциала при заданной форме проводников» в), 3.5. Конденсаторы и емкость а =- — == чуг 4л 4лз (10) Если мы пренебрежем искажением поля Е и соответствующим изме- нением о у краев пластин, то для полного заряда на одной нз пластин ьюжно написать следую!цее выражение: Я =- А !' ~«(пренебрегая краевыми эффектами).
(11) 4пз *) з а гп ез С ! е г и Ма хе« е!1, Тгеа1ве опЕ!ес1г!сцу апс! Маяпе1нгп, чо!. 1, сиар. т'11 (Зб ег)., Ох!огй Рпгкегз!1у Ргем, 1891; гергпй еб., Рогат, Л)еъ Уог!г, 1954). Кагкдый студент-физик должен иногда заглядывать в эту книгу. 'г!ап1а тема хорошо изложена в гл. 7. В конце т. ! вы найдете несколько прекрасных схем электрических полей и, кроме вышеприведенной цитаты, краткое обьясненне причины, по которой Л1аггсаелл приводит эти рисунки. Можно думать, что оп был восхищен нх построением и элегантностью. 119 Две одинаковые плоские проводящие пластины расположены параллельно друг другу на расстоянии э (рис.
3.11, а). Площадь каждой пластины равна А, причем на одной пластине расположен заряд 1,г, а на другой — ц. Значения потенциала каждой пз пластин равны гр, и гр,. На рис. 3.П, б изображено поперечное сечение силовых линий поля этой системы. На некотором расстоянии от краев, между пластинами, поле почти однородно. Если считать его однородным, то его величина равна (гр,— гр,)1э, Соответствующая плотность поверхностного заряда на внутренней поверхности одной нз пластин равна Уравнение (11) становится все более точным по мере уменьшения отношения расстояния между пластинами з к продольным размерам пластин.
Конечно, если бы мы выполнили точное решение этой электростатической задачи с учетом краевых эффектов для пластин определенной формы, то уравнение (11) пришлось бы заменить другим. Чтобы показать, насколько хорошим приближением является уравнение (11), на рис. 3.12 приведены значения поправочного коэффициента (, на который заряд !З, определенный из уравнения (1!), отличается от точного результата в случае двух проводящих дисков, расположенных на различных расстояниях. Полный заряд всегда несколько больше заряда, определяемого из уравсрл .
пения (11). Это легко объяснить, лд,, если обратиться к рис. 3.! 1, б, ~:=:==-=, ==.==-:=-:=В~ где видно, что у краев (н даже .р на внешних поверхностях около ет краев), очевидно, имеет место дополнительная концентрация заряда. Нас интересуют сейчас не подобные поправки, а общие зпз свойства системы из двух проводников. Наша пара пластин гг является примером обычного элемента электрических цепей, 4 а именно конденсатора. Кон- р . х1п ! и и соввевсззор. щ попере п1ое е ение, вв которав показаны сввопросто два проводника, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга и обладающих различными потенциалами и разноименными зарядами.
Нас интересует соотношение между зарядами 1~ на одной из пластин и разностью потенциалов между ними. В частном случае системы, для которой справедливо уравнение (1!), это соотношение имеет вид; 91(с!з,— ер,) =А/4пз. Даже в том случае, если это выражение является приближенным, ясно, что точное выражение для отношения заряда к разности потенциалов будет зависеть только от размеров и геометрического расположения пластин.
Иными словами, для фиксированной пары проводников отношение заряда к разности потенциалов будет величиной постоянной. Мы называем эту постоянную емкостью конденсатора и обычно обозначаем ее через С. с С(ср М' (12) Следовательно, емкость конденсатора, состоящего из плоских пла- стин, без учета краевых эффектов равна А (с.вй С вЂ” — ' 4яв !сзе! ' (13) В системе единиц СГСЭ, которой ыы пользуемся, заряд измеряется в единицах СГСЭв, а потенциал в единицах СГСЭ,, следовательно, емкость имеет размерность длины, и единицу емкости можно просто называть сантиметром. Две пластины, площадью 100 сма каждая, расположенные на расстоянии 1 млг друг от друга, образ)ют конденсатор с емкостью в (100)4л 0,1) см, или 79,5 см.
В практической системе единиц электрический заряд выражается в кулонах (к), или в ампер-секундах (а.сок), а единицей потенциала является вольт. За единицу емкости в этой системе можно принять емкость ..Й.с-'-'-% конденсатора, на одной из пластин р) которого находгггся заряд 1 к прп разности потенциалов ! в. Эта едпнппа называется фарадои. Чтобы связать фарари...„„и„п„и„,„пю„ду с единицей емкости в системе СГ..Э, -и С, зпачеапя е пасти лоидеисаторг т, Е. С Саитиыет!Ю(1, ВСПОМПП(1, ЧТО ! С из пар,глпсльаык кртгоаыч пластик'са зиалсипем, ~г(едслазыаае- ед СГ!'Э, з ! к:и 3 ° 10з ед С1'СЭ згым ураанеииеи 011, для раз- 300 ' ' р' " ' ' Ч' ляч,ых отпогпгиая рас тпяпии мел ду пластиками к ик радиусу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
