Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Первый метод — это элегантный метод анализа, называемый конформпым отображением; он основан на теории функций комплексного переменного. К сожалению, его можно применять только к двумерной системе. Существуют системы, в которых сг зависит только от х и д, например, случай, когда все поверхности проводников расположены параллельно осп а. Тогда уравнение .(апласа принимаег впд д-'ср дЧà — с з- —, =- О дхс ддс (23) с граничными условиями, задчнньмш на некоторых линиях или кривых и плоскости ху.
В практике встречается много таких систем, или подобных илц поэтому метод, помимо математического шпереса, является практически полезным, Например, точное решение для потенциала вблизи двух длинных параллельных полос легко получить методом конформ~ого отображения. Спловые линии и эквипотенциальпые поверхности изображены в поперечном сечешш па рис. 3.16. Рисунок дает нам представление о краевом эффекте поля плоских конденсаторов, длина которых велика по сравнешпо с расстоянием между пластинами. - * Поле, изображенное па рис.
3.11, б, было построено иа основании такого решения. Вы сможете пользоваться / этим методом после того, как более глубоко изучите функпии комплексного переменного. Вторым методом является числен- Рвс 3 !6 Сввавыс ввввв в ввввпаное определение приближенных реше- тсвв~ ввввыс вавсртваств двв двух й задачи об электростатическом ватас, потенциале прн заданных граничных условиях, Этот очень простой и почти универсальный метод основан на свойстве гармонических функций, с которым вы уже знакомы: значение функции в точке равно ее среднему зиачешио по окрестности этой точки.
В этом методе потенциальная функция ср представлена только значениями ряда дискретных точек, включая дискретные точки на границах. Значения функции в точках, не лежащих на границах, подбираются до тех пор, пока каждое из них 117 не будет равно среднему из соседних значений, В принципе это можно сделать, решая одновременно большое количество уравнений, равное числу внутренних точек.
Но приближенное решение можно получить гораздо проще, систематически изменяя каждое значение, чтобы приблизить его к среднему из соседних значений, и повторяя этот процесс до тех пор, пока изменения не станут пренебрежимо малыми. Этот метод ноозт название лгшггода релаксации. Единственным препятствием к применению этого метода является трудоемкость процесса вычисления, но теперь это препятствие устранено, так как расчет производится быстродействующими вьшислительнымн машинами, которые идеально подходят для этого метода. Если вам это интересно, обратитесь к задачам 3.29 и 3.30. Третьим методом приближенного решения краевой задачи является лариационный .негпод. Оп основан на принципе, который встречается во многих разделах физики, от ньютоновской динамики до оптики и квантовой механики. Б электростатике этот принцип выражается в следующей форме: иам уже известно, что полная энергия электростатзшеского поля дастся выражением ! У = — ( Езг(ш 8п,) (24) 8 (25) *) Рассуждая таким образом, мы счвтаем, что течение заряда сопровозкдается некоторым рассеянием энергии.
Это так обычна и бывает. В противном случае системз, не находящаяся вначале в состоянии равновесия, пе могла бы придти в это состояние, взбавившись от лишней энергии. Как вы дуиаете, что произошло бы в этом случаеу ))8 Если вы решили задачу 2.19, то знаете, что в этом очень простом случае заряд иа проводящей поверхности с постоянным потенциалом (состоящей из двух сфер, связанных проводом) распределен таким образом, чтобы энергия, запасенная во всем поле, была м и н и м а л ьной. Это общее правило.
В любой системе проводников, при различных фиксированных значениях потенциалов, заряд распределяется по каждому проводнику таким образом, чтобы значение энергии, запасенной в поле, стало минимальным. Это становится почти очевидным, если указать, что любое уменьшение полной энерпш поля связано с совершением работы перераспределения заряда э).
Плоская поверхность воды в сосуде имеет то же объяснение. Рассхготрпм теперь потенциальную функцию г((х, у, з) в некоторой области, заключающей в себе несколько граничных поверхностей с заданными потеициаламк. Точное значение функции ~р(х, й,г), т. е. решение уравнения ~-'Чз=-О, удовлетворяющее заданным потенциалам на границах, отличается от всех других функций, удовлетворяющих граничным условиям, но не удовлетворяющих уравнению Лапласа, например от ф(х, у, г), так как запасенная энергия для гр м е н ь ш е, чем для зр. Выраз~ м энергию через гр, как в уравнении (2.38): Теперь мы можем поставить граничную задачу по-новому, пе упоминая о лапласиане.
Потенциальная функция — это та функция, которая лгинимизирует интегрпл урпвнения (25) по сравнению со всеми другими функциялги, удовлетворяющими тел? же граничньгм условиям. Следовательно, возможным методом получения приближенного решения данной краевой задачи является испытание большого количества функций, имеюцгих заданные граничные значения, и последующий выбор той функции, которая обеспечивает минимальное значение (?'. Можно также взять функцию с одним или двумя переменными параметрами и использовать эти математические «кнопкпз для минимизации (/.
Этот метод особенно удобен для определения самой энергии, часто наиболее важной неизвестной величины. Поскольку энергия (у минимальна для точного значения ср, то она мало чувствительна к отклоненням от этого значения. Задача 3 32 нллгострирует простоту и точность вариационного метода.
Вариационный принцип представляет собой а л ь те р н а т и ни у ю фа р м у л и р о в к у основного закона электростатического поля, и это для нас более существенно, чем польза, которую он нриноспт при вычислениях. Известно, что формулировка физических законов в виде вариационных принципов часто весьма плодотворна. Профессор Р. П. Фейнман, известный своими блестящими работами в этой области, дал живое и элементарное изложение вариационных идей в книге «гйейнкгановские лекции по физикез (см. т, 6, гл. 19).
Задачи 3.1. Наблюдатель с прибором для п:.мсрения элсктрнческога поля Е находится на некотором расстоянии от наполнив«ного точа шаго заряда д. Незаряженная металлическая трубка небольшой длины опускается па изолированном шнуре и акр)охает точечный заряд. Как это повлияет на электрическое поле, измеряемое удаленным наблюдателем? Можете лп вы, находясь в лаборатория, внутри большого медного ящика, узнать что-.чноо о зарядах, двнжущихся снарухки? 3.2. В сфернчсскоч провадяике Г!олный заряд на самом проводнике е«г»)»х,',у, равен нулю.
Однако в центро одной 'Я««С."'(ой! полоспг расположен точечный заряд .,«)р ем а в центре другой полости — за(,,Ф~~~~ „д «г« 'Ь ряд ч«. на большом расстоянии г ат Ф~': 4~~" 'У' проводника находится третий ззряд чю Определите силу, действую- Щ)чо на каждый нз чеп«Рех объектов. А, йщ сю Чл? Какие ответы являются только приближенными и справсдливьпш для сравнительно болыпого г? (Убедитесь, что вы поянмасте все стороны этого вопроса.) 3.3. Предполоясите, что после того как было достигнуто состояние, показанное на рис.
3.1, в, тело снова сделано непроводящим, так что заряды оказались «замороженными» на своих местах. После этага положительно и отрицателыю заряженные слои, создающие первичное электрическое палс, удаляются. Как будет выглядеть остаточное электрическое поле внутри тела и вне его? знв гравитационный экран, который будет «экраиироваты поле силы тяжести, подобно тому как металтичсскнй лист «экранирует» электрическое поле, явля«топ мечтой многих неграмотных изобретателей.
Подумайте а различии между гравитационными источниками и источниками электричества. Заметьте, что 119 стенки ящика, изображенного на рис. 3.6, н е э н р а н и р у ю т поля внешних источников, а только позволя>от поверхностным зарядам создавать компенсирующее поле. Почему нельзя придумать что-нибудь похожее для поля силы тяжести? Что для этого потоебоиалось бы? 3.5. Проследим за силовой линней, выходящей из точечного заряда (поле точечного заряда над плоскостью, рис.
3.9) в горизонтальном направлении, т. е. параллельно плосиости. Где эта линия пересечет поверхность проводника? (Для решения задачи вам понадобится закон !аусга и простое ингегрированве.) 3.6. Сттел>а, настроенная с по.нощью суперлозиции из точечных и плоских проводников. Если мы решили задачу для точечного заряда л плоского проводника, томы мо>келг решить любую задачу, в которой можно применить суперпозпцню этих элемента.
Предполо>ким, например, что у иас имеется прямоп, равномер>ю заряк<енныи провод с плотностью заряда в 10" ед. СГСЭч на сан>иметр длины, натянутый парвллс.>ьно земной поверхности на высоте 5 м. с!е>гу равна вели шна поля у поверхности аечгш непосредственно пол проводом? Определите величину электриче хой силы, дейтвук>шей на единицу дшвы провода. Прид>- ыайте какие-нибудь др) п>с простые электрос>атичсские системы, которые моз но построить из н>ших элементов. 3.7. Рабол>а, за н)>аленках на удаление заряда от проводника. Замечание> Восоовьзуйтес> определением глек>пои;еского потенциала в донной точке через рабшлу, на единицу заряда, нтбходаиую длл перелмиуниз пробного заряда в зту точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
