Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 26
Текст из файла (страница 26)
! 3 10з сд.СГС91 Попраак з, учитыа погпак крвеагзгс ! Ж вЂ” . мрфслт, мажет выть иллючека а ф ! в (1,300) ед,СГСВ(. аыражсиие для зарзгда ел. СГСВ)в ==9.10" — ....— '--.= 9 10" гм. 'й.С! СЗ, для лругоаыч пластик гозйзфгзппепт 1' лсдуязпгггм овг' зоп заип- Плоский конденсатор емкостью в саг от ьгпошспия чп одну фараду имел бы гигантские размеры. Площадь каждой пластины бала я ~ ' '~ ' ' ' ~ " бы равна 100 кмз з) при расстоянии между ними, равном ! мм. Поскольку ! (ЛВВ(,(аг (,ОЗЧ(,ш (,е З ПРИМЕНЕНИЕ ПРаКтИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ ВЫЗЫ- вает появление неудобных чисел для величины емкостей, обычно пользуются мпкрофпрададщ (мкф) и микромикрофарадами (лгклгкф). Последгия единица, равная 10-ш ф, называется также пикофарадой (сокращенно пф).
Обратите внимание на то, что эта единица приблизительно равна единице емкости в системе СГСЭ, т. е. сантимсгру. Любую пару проводников, независимо от их формы п расположения, можно считать конде'нсапгоро и. Но плоский конденсатор применяется наиболее часто и для него очень легко вычислить приближенную величину емкости. На рпс. 3.13 покрзаны два проводника, о;пщ из которых расположен внутри др) гого. Это устройство также мож- *) Конечно, существуют способы создания более компактного конденсатора с большой емкостью! В любом магазине электрических товаров л(сжпо купить емко(ль в одну мнкрофараду и с легкостью унести ее домой.
В биологическом веществе стенка клетки образует электрически нзолнру(ащнй слой, отДСЛЯющпй вну тренность клегки от окрумсающей ее жидкости. Эта ыечбранн ведет себя в электрическом опгошенни подобно емкости в ! жлсб на ! сиз площади ыембраиы. Ка(сое «расстояние между пластинамиз подразумевается нрп этом? (В действительности емкость зависит также от диэлею(рической постоянной, т.
е. от з.(екгр(шеской поляризуемости среды между пластинамн. Этот вопрос мы рассмогрил( в гл. 9.) ))2 но назвать конденсатором. Практически внутренний проводник должен быть как-то закреплен, но эта сторона вопроса нас не вол- нует. Для переноса электрических зарядов к проводникам (или от проводников) естественно нужны провода, которые сами являются проводящими телами. Так как провод, идущий от внутреннего тела, иод номером ~г 1 непременно пересечет пространство между проводниками, то в этом простран1 стве возникнет некоторое возмущение дар электрического поля.
Чтобы уменьцшть кг это явление, мы можем предположить, что 1 ! провода чрезвычайно тонки илп что пх ! убирают, пока не будут определены значе(! ш!я потенциалов. 1 ! В этой системе имеются три заряда: Д! — полный заряд па внутреннем про- ВадППКЕ; Щпттп — Заряд На ВНутрЕННЕй ПО- вер хностп наружного про води иса; 9 заряд на внешней поверхности наружного проводника. Убедимся сначала, что рпа. 3 13. кокдавоптор, в ко. торам адпн ороводнвк окруЩп" р равен — С!!.
Нам это известно, так ' ",, дру„пк как поверхность 5 (рнс. 3.13) охватывает только два этих заряда, а поток через эту поверхность равен нулю. Поток равен пулю, потому что на поверхности 5, расположенноя, как показано на рисунке, внутри проводника, электрическое поле равно нулю.
Очевидно, что величина Щ будет единственным образом опреде- лять электрическое поле в области, расположенной между двумя пРоводникамн, и Разность потенциалов Ч', — 1Р», Поэтому, если мы рассматриваем эти два тела как «пластины» конденсатора, то в определении емкости участвует только заряд Ят плп равный ему заряд 13п "Р. Емкость равна С=- —.
!г! тгв (14) Заряд ч~н""„ от которого зависит сам потенциал Ч в, в данном случае роли не играет. Действии"" нот. тельно, полное охватывание одного проводника 1.пкпн,! ! анд н тор. другим делает емкость совершенно не зависящей от наружных зарядов. В случае конденсатора с двумя несимметричными пластинами, не охватывающими одна другую (рис. 3.14), следующий вопрос поставил бы нас в затруднительное положение: какой заряд играет роль Д„с помощью которого определяется величина емкости? Ответить на него следует так: это — то количестао заряда, которое необходимо перенести с проводника 1 на проводник 2 (сохраняя, таким образом, сумму зарядов на двух проводниках постоянноп) для того, чтобы уравнять их потенциалы, пз 3.6. Потенциалы и заряды на нескольких проводниках Мы коснулись лишь части более общей проблемы, а именно соотношений между зарядами и потенциалами любого количества проводников некоторой заданной конфигурации.
Конденсатор с двумя проводниками является только примером. Как это ни удивительно, мы можем сказать кое-что полезное и в общем случае, воспользовавшись л)еорюиой единстеенности и прин)1ипол) суперпози))ии. Для большей определенности рассмотрим три отдельных проводника, окруженных проводящей оболочкой 1рис.
3.15). Потеитдиал этой оболочки можно принять равным нулю; потенциалы трех проводников для некоторого состояния системы в наших обозначениях равны т))о тре и срв. Теорема единственности при заданных йро ер, и тгв обеспечивает определение электрического поля во всей системе. Следовательно, также однозначно определены заряды на отдельных проводниках Я„Я, и 1~». Заряд на внутренней поверхности окружающей заряды оболочки всегда равен — 1)',),— ц(),—;Яв).
«Бесконечность» может играть роль этой оболочки, если представить ее беспредельно расширившейся, На рисунке она сохранена, чтобы легче было проследить за процессом переноса заряда, и на тот случай, если нам понадобится чтонибудь присоединить к ней. Среди возможных состояний этой системы имеются такие, где оба потенциала с))е и трв равны нулю.
Соединяя проводники 2 и 3 с оболочкой, обладающей нулевым потенциалом, систему можно привести в такое состояние, что показано на рис. 3.15, а. о) Рвс. 3.)В. Облцес состовнве системы моисьо рвсслгвтрпветь нвк смерпатици|о сг) трех саста. внии са — е), в каждом пв которых все проводники, кране одного, поддерживвжтсв прв нуле. вом потенциеве.
Как и прежде, мы предполагаем, что соединительные провода настолько тонки, что любым остаточным зарядом на них можно пренебречь. В действительности нас, конечно, не интересует способ приведения системы в определенное состояние. В состоянии, которое мы назовем состоянием 1, электрическое поле во всей системе и заряд на каждом проводнике однозначно определяются величиной потенциала ср,. Больше того, если потенциал )р, удвоить, то это означает удвоение величины поля всюду и, следовательно, удвоение каждого пз зарядов 1)„(~, и Яв. Таким образом, при р))в —— црв=О каждый из трех зарядов должен быть !)4 пропорционален чч. Сформируем вышесказанное математически, Состояние ! ) Я, = Сп~Р1 1~ — Смфб Оз = СзЯ~ (15) 'рг --"' Ч'з = Три константы Сто С„п С„зависят только от формы и расположе- ния проводящих тел, Точно таким же образом можно проанализировать условие, в котором ~р, и ч~, равны нулю, назвав это условие состоянием П (рис.
3.15, б). Здесь снова существует линейное соотношение между единственйым ненулевым потенциалом ~1., (в данном случае) и дру- гими зарядами. Состояние П '( ) Я,= С,,р,; Я,,= С,,ч:,,; Я.„=С,.,р,. ср, -= ср, == 0 И, наконеп, когда ч, и ~1,, равны нулю, поле п заряды пропорциональны потенциалу ~р:. Состояние !П '( Ю,-с,.„~р,; д,,— С,,~,,; а,— С,,р,. (17) р ='рз =-б Возможны также состояния, являющиеся суперпозицией трех состояний 1, П и П!. Электрическое поле в любой точке является векторной суммой электрических полей в трех рассмотренных случаях, в то время как заряд на любом из проводников будет суммой зарядов, которые оп несет в каждом из этих случаев. В этом новом состоянии равенство нулю потенциалов ~„Ч, и Ч., не является необходимым условием.
Короне, это — сазюе общее состоянпе. Соотношения, связывающие заряды и потенциалы, получаются простым сложением уравнений (15), (16) и (17): д,=-с,,р,+С,,р.,+С,,р,; 1),, = С„~р, —,— С...~р, +С,,~~,,; Оз==СзЛ, +СзЛ,-гСззЧэ. (18) 115 Оказывается, что электрическое поведение нашей системы характеризуется девятью постоянными: Сго С,,„..., С„„. В действительности необходимы только шесть постоянных, так как можно показать, что в любой системе С„=-Сяо С„=С„и С,~=С„. Почему это так, нам пока еще неизвестно. Доказательство, приведенное в задаче 3.27, основано на законе сохранения энергии, но предварительно мы должны ознакомиться с разделом 3.7.
Постоянные С в уравнениях (18) называются емкостными коэффициентами, Естественно, что наше доказательство справедливо для любого числа проводников. Физическая величина, определенная выше как емкость конденсатора, состоящего из двух пластин, не совпадает с коэффициентами С„(или Сгп или С„), но, конечно, связана с ними. Система уравнений (18) может быть решена относительно потенпиалов Чг прн заданных зарядах ь). Для этого пользуются эквивалентной системой линейных уравнений вида гр, = Рг, г',1, + Р, Д «+ Р,,Д,; 1 «Р« Рз«Я« Рз«гЗ« '1 1 хогг« (19) 3.7.
Энергия, запасенная в конденсаторе Рассмотрим конденсатор емкостью С, с разностью потенппалов гр„между пластинами. Заряд 11 равен Сгр,,, На одной пластине имеетСя Заряд Я, а На друГОй — гг. У В ЕЛ И Ч И И Заряд От г,г дО 11 г С(гг, ПЕРЕ- неся положительный заряд с)(г с отрипательно заряженной пластины на положительную,т, е. произведя работу против разности потенпиалов «Рыо ЗатРачеинаа Работа Равна г('ггг=-ггг«г(г')= гЗ«Л3 С.
Следовательно, для того чтобы зарядить незаряженный конденсатор некоторым конечным зарядом Я„, требуется затратить работу оа С ~ ~ «( 2С' (20) о'= а Это и есть энергия, «запасенная» в конденсаторе. Ге можно также выразить уравнением У =Сгр',з 2. (21) Емкость плоского конденсатора с площадью пластин А и зазором з равна С вЂ” А,'4пз, а электрическое поле Š†--гр, 'ш Следовательно, уравнение (2!) эквивалентно также выражению 1«Аг .„Ез В' и -: — ( — уг (Ез)з =- — Аэ = —,. обье 2 (,4па,) 8л 8л (22) Это выражение согласуется с общей формулой (2.36) для энергии, запасенной в электрическом поле *). ") Все вышесказанное относится к «воздушным конденсаторамэ, выполненным из проводников, меаету которыми находится воздух.
Как вам известно нз лабораторных работ, большинство конденсаторов, прнменяетгьш в электрических контурах, заполнено изоляторами или «днэлектряками», лгы будем изучать свойства таких конденсаторов в гл. 9. Велггчггггы Р называются попгенцпальноглги кггэг)гг(гггг)ггвгггггплггг; пх можно вычислить, зная коэффипиенты С, и наоборот. Такие уравнения можно использовать прп решении любой л пи е й но й физической системы. Онп встречаются при изучении механических конструкпий (в соединениях канатов с грузами), прн анализе электрических контуров (связывая напряжении и тоюг) и, вообще говоря, всюду, где можно применить принппп суперпозпшш. 3.8. Различные методы решения задачи с граничными условиями Было бы ошибочным создать впечатление, что не существует общих методов решения граничной задачи для уравнения Лапласа, Не имея возможности подробно рассмотреть этот вопрос, мы укажем на три полезные и интересные метода, с ьоторьмш вы встретитесь при дальнейшем изучении физики плп прикладной математики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
