И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В самом деле, пусть кон-52Глава 2тур Г пересекает полость по одной из линий вектора Е и замыкается в веществе проводника. Ясно, что линейный интегралвектора Е вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о циркуляции быть не может.Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в нейесть какой-то электрический заряд q (может быть и не один).Представим себе также, что все внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю,значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигдеизбыточных зарядов.Так как всюду в проводнике Е = 0, то равным нулю будет ипоток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающуюполость. По теореме Гаусса это означает, что алгебраическаясумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также будетравна нулю.
Таким образом, алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости равна по модулю ипротивоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внутри этой полости.При равновесии заряды, индуцированные на поверхностиполости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсироватьснаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости.Поскольку проводящая среда внутри всюду электрическинейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле.
Поэтому, если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется равным нулю.Таким образом, поле зарядов, окруженных проводящей оболочкой, и зарядов, индуцированных на поверхности полости(на внутренней поверхности оболочки), равно нулю во всемвнешнем пространстве.Мы приходим к следующему важному выводу: замкнутаяпроводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от друга. Это надо понимать так: послелюбого перемещения зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а значит,распределение зарядов на внешней поверхности оболочки останется прежним.
То же относится и к полю внутри полости(если там есть заряды) и к распределению индуцированных наПроводник в электростатическом поле53стенках полости зарядов — они также останутся неизменнымив результате перемещения зарядов вне оболочки. Все сказанноесправедливо, разумеется, только в рамках электростатики.Пример. Точечный заряд q находится внутри электрически нейтральной оболочки, наружной поверхностью которой является сфера(рис. 2.6).
Найдем потенциал ф вточке Р вне оболочки на расстоянии г от центра О наружнойповерхности.Поле в точке Р определяется только зарядами, индуцированными на наружной поверхностиРис. 2.6оболочки — сфере, ибо, какбыло показано, поле точечного заряда q и зарядов, индуцированных на внутренней поверхности оболочки, равно всюдунулю вне полости. Далее, заряд на наружной оболочке вследствие ее симметрии распределяется равномерно, поэтомуФ =1 Я4яе 0 гЧастным случаем замкнутой проводящей оболочки являетсябезграничная проводящая плоскость. Все пространство с однойстороны такой плоскости в электрическом отношении независимо от пространства с другой стороны ее.Указанным свойством замкнутой проводящей оболочки мыбудем пользоваться в дальнейшем неоднократно.§ 2.5. Общая задача электростатики.Метод изображенийОчень часто приходится встречаться с задачами, в которыхраспределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительное расположение.
И требуется определить потенциал ф(г) в любой точке поля между проводниками. Напомним, что, зная ф(г), можно легко восстановить само поле Е(г) и по значению Е непосредственно уповерхности проводников найти распределение поверхностныхзарядов на них.54Глава 2Уравнения Пуассона и Лапласа. Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция <р — потенциал. Дляэтого подставим в левую часть (1.20) вместо Е его выражение через ср,т.
е. Е = -Уф. В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала — уравнение Пуассона:(2.8)где V 2 — оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатахон имеет виддх2ду2дг2т. е. представляет собой скалярное произведение V-V [см. (1.19)]. Еслимежду проводниками нет зарядов (р = 0), то уравнение (2.8) переходитв более простое — уравнение Лапласа:У2ф = 0.(2.9)Определение потенциала сводится к нахождению такой функции ф,которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяетуравнениям (2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения фх, ф2 и т. д.В теории доказывается, что эта задача имеет единственноерешение. Это утверждение называют теоремой единственности, С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный«рельеф», следовательно, в каждой точке поле Е, вообще говоря, неоднозначно — мы пришли к физическому абсурду.По теореме единственности можно также утверждать, чтозаряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом.
Действительно, междузарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная связь (2.2): а = £0Еп. Отсюдасразу и следует, что единственность поля Е определяет и единственность распределения заряда на поверхности проводника.55Проводник в электростатическом полеРешение уравнений (2.8) и (2.9) в общем случае — задача сложнаяи кропотливая. Аналитические решения этих уравнений полученылишь для немногих частных случаев.
Использование же теоремыединственности весьма облегчает решение ряда электростатическихзадач. Если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (илиПуассона) и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным и единственным, каким бы способом (хотя бы путем догадки) мы ни нашли его.Пример. Покажем, что поле в пустой полости проводника отсутствует.Потенциал ф в полости должен удовлетворять уравнениюЛапласа (2.9) и на стенках полости принимать какое-то значение (р0. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, можно угадать сразу: ф = ф0.
Согласно теоремеединственности других решений быть не может. ПоэтомуЕ = -Уф = 0.Метод изображений. Это искусственный метод, позволяющий в ряде случаев (к сожалению, немногих) рассчитать электрическое поле достаточно просто. Рассмотрим идею этого метода на самом простом примере, когда точечный заряд q находится около безграничной проводящей плоскости (рис. 2.7, а)._ ш"L 1 11<!>га)г— —-Я.б)Рис. 2.7в)Идея метода заключается в том, что мы должны найти другую задачу, которая решается просто и решение которой иличасть его может быть использовано.
В нашем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами q и -q, Полеэтой системы известно (его эквипотенциали и линии вектора Епоказаны на рис. 2.7, б).Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (еепотенциал ф = 0) проводящую плоскость и уберем заряд -q. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространст-56Глава 2ве останется прежним. Действительно, на проводящей плоскости и всюду в бесконечности <р = 0, точечный же заряд q можнорассматривать как предельный случай малого сферическогопроводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал —к бесконечности.
Таким образом, в верхнем полупространствеграничные условия для потенциала остались теми же, сталобыть, тем же осталось и поле в этой области (рис. 2.7, в).Заметим, что к этому выводу можно прийти, исходя и изсвойств замкнутой проводящей оболочки (см. § 2.4), посколькуоба полупространства, разделенные проводящей плоскостью, вэлектрическом отношении независимы друг от друга, удалениезаряда -q никак не скажется на поле в верхнем полупространстве, оно останется прежним.Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого полядостаточно ввести фиктивный заряд-изображение q' = -g, противоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, чтои заряд д. Фиктивный заряд q' создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды наплоскости.
Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие» всех индуцированныхзарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивногозаряда распространяется лишь на то полупространство, в котором находится действительный заряд q. В другом полупространстве поле отсутствует.Резюмируя, можно сказать, что метод изображений по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас частипространства была бы той же.
Если это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображенийоказывается весьма эффективным. Рассмотрим еще один пример.Пример. Точечный заряд q находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями (рис. 2.8, а).Найдем расположение точечных фиктивных зарядов, действие которых на заряд q будет эквивалентно действию всех индуцированных зарядов на данных полуплоскостях.Проводник в электростатическом поле57Нужно найти систему иза)б)точечных зарядов, у кото-Ярой эквипотенциальные поверхности с ф = 0 совпадали| _бы с проводящими полуплоскостями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
