И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Действительно, для вычисления ф нужно взять один интеграл, а для вычисления Е — три (ведь это вектор). Кроме того,обычно интегралы для определения ф проще, чем для Ех, Еу, Е2.Сразу же заметим, что это не касается сравнительно небольшого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этихслучаях нахождение поля Е непосредственно или с помощьютеоремы Гаусса часто оказывается значительно проще.§ 1.7. Электрический дипольПоле диполя. Электрический диполь — это система из двуходинаковых по модулю разноименных точечных зарядов +q и-q, находящихся на некотором расстоянии I друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точечным, т. е.
считают расстояния г от диполя до интересующихнас точек поля значительно больше I.Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картинаполя в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна ита же и вектор Е лежит в этой плоскости.Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно (1.25) потенциал поля диполя в точке Р(рис.
1.14, а) определяется какг_Так как г » I, то, как видно из рис. 1.14, a, r_- r+ = I cos & иг+г_= г2, где г — расстояние от точки Р до диполя (он точеч2—3947Глава 1б)ЕРис. 1.14ный!). С учетом этогоФ=1р cos Эо(1.34)ггде р = ql — электрический момент диполя. Этой величинесопоставляют вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному:p = gl,(1.35)где q > 0 и 1 — вектор, направленный в ту же сторону, что и р.Из формулы (1.34) видно, что поле диполя зависит от егоэлектрического момента р.
Как мы увидим далее, и поведениедиполя во внешнем поле также зависит от р. Следовательно, рявляется важной характеристикой диполя.Следует также обратить внимание на то, что потенциал полядиполя убывает с расстоянием г быстрее, чем потенциал поляточечного заряда (1/г 2 вместо 1/г).Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой(1.32), вычислив с помощью нее проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления — вдоль ортов е г и e s(рис.
1.14, б):j?=гдфх _дг'S4яе 01- •. (1.36)3гОтсюда модуль вектора Е4ЯЕ2—3 Vl + 3 c o s S .0г(1.37)Электростатическое поле в вакууме35В частности, при S = 0 и S = тг/2 мы получим выражения длянапряженности поля соответственно на оси диполя (22ц) и перпендикулярно ейЕ„ =•(1.38)_з 'т. е. при одном и том же г напряженность £ н вдвое больше Е±.а)1 , „vб)Е.Рис. 1.15Сила, действующая на диполь. Поместим диполь во внешнеенеоднородное электрическое поле.
Пусть Е+ и Е_ — напряженности внешнего поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды диполя. Тогда результирующаясила F, действующая на диполь, равна (рис. 1.15, а):F== q(E+ - Е_).Разность Е+ - Е_ — это приращение АЕ вектора Е на отрезке,равном длине диполя /, в направлении вектора 1. Вследствиемалости этого отрезка можно записатьIdlПосле подстановки этого выражения в формулу для F получим, что сила, действующая на диполь:(1.39)где р = ql — электрический момент диполя. Входящую в этовыражение производную принято называть производной векто-36Глава 1pa по направлению.
Знак частной производной подчеркивает,что эта производная берется по определенному направлению —направлению, совпадающему с вектором 1 или р.Простота формулы (1.39), к сожалению, обманчива: производная дЕ/dl является довольно сложной математической операцией. Мы не будем останавливаться на этом более подробно,а обратим внимание на существо полученного результата.Прежде всего отметим, что в однородном поле дЕ/dl = 0, поэтому и F = 0. Значит, сила действует на диполь, вообще говоря,только в неоднородном поле. Далее, направление вектора F вобщем случае не совпадает ни с вектором Е, ни с вектором р.Вектор F совпадает по направлению лишь с элементарным приращением вектора Е, взятым в направлении вектора 1 или р(рис.
1.15, б).На рис. 1.16 показаны направления силы F, действующейна диполь в поле положительного точечногоF Рзаряда q, при трех разных расположениях диq.поля. Убедиться самостоятельно, что это действительно так.Если нас интересует проекция силы F нанекоторое направление X, то достаточно записать равенство (1.39) в проекциях на это направление, и мы получимРис.
1.16хdi(1.40)где дЕх/д1 — производная соответствующей проекции вектораЕ опять же по направлению вектора 1 или р.Пусть диполь с моментом р расположен вдоль оси симметрии некоторого неоднородного поля Е. Возьмем положительное направление оси X, например, как- показано на рис. 1.17. Так как в направлении вектора р приращение проекцииЕх будет отрицательным, то Fx< О, а значит, вектор F направлен влево — в сторону, где напряженность поля больше.Рис. 1.17Если же вектор р на этом рисунке повер-Электростатическое поле в вакууме37нуть на 90° так, чтобы центр диполя совпадал с осью симметрии поля, то нетрудно сообразить, что в таком положении проекция Fx= 0.Момент сил, действующих на диполь. Рассмотрим, как ведет себя электрический диполь р вовнешнем электрическом поле Е.Как видно из рис.
1.18, силы, действующие на положительный и от- F./sinceрицательный заряды диполя, образуют паруF+ = дЕи F_ = — gE,Рис. 1.18плечо которой равно I since, т. е. зависит от ориентации диполя относительно поля Е. Модуль каждой из этих сил равен qE, и на диполь будет действовать механический момент N, определяемый, как мы знаем, произведением qE на плечо пары, т. е.N - qE -I sinoc = рЕ since,где р = ql — электрический момент диполя.Полученную формулу можно представить в векторном видекакi|N = [рЕ] .(1.41)Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы егоэлектрический момент р установился по направлению внешнего поля Е. Такое положение диполя является устойчивым.В неоднородном электрическом поле диполь будет вести себяследующим образом: под действием момента сил (1.41) дипольбудет стремиться установиться по полю (рТТЕ), а под действиемрезультирующей силы (1.39) — переместиться в направлении,где Е по модулю больше.
Оба движения будут совершаться одновременно.Энергия диполя в поле. Мы знаем, что энергия точечного заряда q во внешнем поле равна W = дер, где ф — потенциал поля вточке нахождения заряда q. Диполь — это система из двух зарядов, поэтому его энергия во внешнем полеW=?_(р_ = q38Глава 1где ф + иф_ — потенциал внешнего поля в точках расположениязарядов +q и -д.
С точностью до величины второго порядка малостиФ+ - Ф -=-zrl>olгде ду/dl — производная потенциала по направлению вектора 1.Согласно (1.32) ду/dl - -Et поэтому ф + - ф_ = -Etl = -El и(1-42)Из этой формулы следует, что минимальную энергию(^шш ~ ~РЕ) Диполь имеет в положении рТТЕ (положениеустойчивого равновесия). При отклонении из этого положениявозникает момент внешних сил, возвращающий диполь к положению равновесия.Задачи1.1. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью <т > 0.
Найти напряженность Е электрического поля на осиэтого диска в точке, из которой диск виден под телесным углом Q.Решение. Из соображений симметрии ясно, что вектор Е на осидиска должен совпадать с направлением этой оси (рис. 1.19). Поэтому достаточно найти составляющую dE2 вточке А от элемента заряда на площади dS изатем проинтегрировать полученное выражение по всей поверхности диска. Нетрудно сообразить (рис. 1.19), что1 adS4яе0 г"• cos 3.(1)В данном случае dS cosS/r2 = dQ — телесныйугол, под которым площадка dS видна из точки А, и выражение (1) можно переписать так:dE =Рис. 1.19Отсюда искомая величинаЕ =-CTQ.14ЯЕ0Электростатическое поле в вакууме39Заметим, что на больших расстояниях от диска Q = S/r, где S —площадь диска, и Е= q/4:neor* — как поле точечного заряда q — oS.В непосредственной же близости от точки О телесный угол Q = 2яи Е = а/2е0.1.2.
Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с линейнойплотностью X = X,0cos ф, где Х$— положительная постоянная, ф —азимутальный угол. Найти напряженность Е электрическогополя в центре кольца.Решение. Заданное распределение заряда показано на рис. 1.20. Из симметрииэтого распределения ясно, что вектор Ев точке О направлен вправо и модульэтого вектора равен сумме проекций нанаправление Е векторов dE — от элементарных зарядов dq. Проекция вектора dE на вектор Е естьdE cos ф =1dqРис. 1.20(1)R2где dq = XRdy = XQR cosy dф. Проинтегрировав (1) по ф от 0 до 2тг,найдем модуль вектора Е:2яЕ=J соэ 2 ф dф =4е 0 ДЗаметим, что этот интеграл проще всего вычислить, зная, что<соз2ф) = г/2. Тогда2лО1.3.
Полубесконечная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд X на единицу длины.Найти модуль и направление напряженностиполя в точке, которая отстоит от нити на расстоянии г и находится на перпендикуляре книти, проходящем через ее конец.Решение. Задача сводится к нахождению Ехи Ег — проекций вектора Е (рис. 1.21, гдепредполагается X > 0). Начнем с Ех.
Элементзаряда на участке dx нити дает следующий40Глава 1вклад в Ех:1Xdx-sin a.4яе 0(1)Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования.В нашем случае dx — г da/cos a, г = i//cosa. Тогдаsin a da.dEr =Проинтегрировав это выражение по а от 0 до л/2, найдемЕх = Х/4пг0г.Для нахождения проекции Ег достаточно обратить внимание нато, что dEr отличается от dEx просто заменой sin a в (1) на cos a.ТогдаdEr = X cos a da/4tte0rиЕх = Х/4пг0г.Мы получили интересный результат: Ех = Ег независимо от г, т. е.вектор Е ориентирован под углом 45° к нити.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
