И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для этого достаточно провести из заряда q коническую поверхность так, чтобыона оказалась касательной к замкнутой поверхности S. Тогда интегрирование выражения (1.8) по поверхности S эквивалентно интегрированию по Q (рис. 1.5): внешняя сто0рона поверхности S будет видна из точки qп о дгломРис 15У^ > 0, а внутренняя под углом - Q(оба угла по модулю равны). В сумме получим нуль, и Ф = 0, что также совпадает с утверждением (1.7).На языке линий вектора Б это означает, что сколько линийвходит в объем, ограниченный поверхностью S, столько и выходит.Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается системой точечных зарядов qv q2 и т.

д. В этом случае согласно принципу суперпозиции Е = Ех + Е 2 + ..., где Ег — поле,создаваемое зарядом qv и т. д. Тогда поток вектора Е можно записать так:! + E 2 +...)dS=^E 1 dS + ^E 2 dS+... = O1 + Ф2 + ...Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части равен qt/z0, если заряд qi находится внутри замкнутой поверхно-Электростатическое поле в вакууме17сти S, и нулю, если снаружи поверхности S. Поэтому в правойчасти останется алгебраическая сумма только тех зарядов, которые находятся внутри поверхности S.Для завершения доказательства теоремы остается учестьслучай, когда заряды распределены непрерывно с объемнойплотностью, зависящей от координат.

В этом случае можносчитать, что каждый элементарный объем dV содержит «точечный» заряд pdK Тогда в правой части (1.7)*внутр(1.9)где интегрирование проводится только по объему, заключенному внутри замкнутой поверхности S.Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: в то время как само поле Е зависит от конфигурациивсех зарядов, поток вектора Е сквозь произвольную замкнутуюповерхность S определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S.

Это значит, что если передвинутьзаряды, то поле Е изменится всюду, в частности, и на поверхности S; изменится, вообще говоря, и поток вектора Е через S.Однако если передвижка зарядов произошла без пересеченияповерхности S, поток вектора Е через эту поверхность останется прежним, хотя, повторяем, само поле Е может измениться,причем весьма существенно. Удивительное свойство электрического поля!§ 1.3.

Применения теоремы ГауссаПоскольку поле Е зависит от конфигурации всех зарядов,теорема Гаусса, вообще говоря, не дает возможности найти этополе. Однако в ряде случаев теорема Гаусса оказывается весьмаэффективным аналитическим инструментом: она позволяет получить ответы на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить и само поле Е, причем чрезвычайно простым путем. Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем некоторые общие выводы о том, в какихслучаях применение теоремы Гаусса оказывается наиболее целесообразным.18Глава 1Пример 1. О невозможности устойчивого равновесия заряда в электрическом поле. Пусть в вакууме имеется система неподвижных точечных зарядов, находящихся в равновесии.Рассмотрим один из этих зарядов — заряд д.

Может ли состояние его равновесия быть устойчивым?Чтобы ответить на этот вопрос, окружим заряд q небольшой замкнутой поверхностью S (рис. 1.6). Допустим, дляопределенности, что q > 0. Тогда длятого чтобы равновесие заряда q былоустойчивым, необходимо, чтобы во всехточках поверхности S поле Е, образованное всеми остальными зарядамисистемы, было направлено к заряду q:только в этом случае при любом маломРис.

1.6смещении заряда q из положения равновесия на него будет действовать возвращающая сила, иположение равновесия действительно будет устойчивым.Но такая конфигурация поля Б вокруг заряда q противоречит теореме Гаусса: поток вектора Е сквозь поверхность Sотрицателен, согласно же теореме Гаусса он должен бытьравным нулю, поскольку этот поток создается зарядами,расположенными вне поверхности S. А равенство потокавектора Е нулю означает, что в каких-то точках поверхности S вектор Е направлен внутрь, а в каких-то обязательнонаружу.

Отсюда и следует, что устойчивое равновесие заряда в любом электростатическом поле невозможно.Пример 2. Поле равномерно заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда равна а. Из симметрии задачи очевидно, что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскости. Кроме того,ясно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такаяконфигурация поля подсказывает,что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр, расположенный, как на рис.Рис.

1.71.7, где предполагается а >О.Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равеннулю, и поэтому полный поток через всю поверхность ци-Электростатическое поле в вакууме19линдра будет 2EAS, где AS — площадь каждого торца.Внутри цилиндра заключен заряд GAS. Согласно теоремеГаусса 2EAS =» GAS/CQ, откуда Е = а/2Б0. Точнее это выражение следует записать так:Еп = а/2е 0 ,(110)где Еп — проекция вектора Е на нормаль п к заряженнойплоскости, причем вектор п направлен от этой плоскости.Еслист> 0, то и Еп > 0, значит, вектор Е направлен от заряженной плоскости, как на рис.

1.7; если же а < 0, тоЕп < 0, значит, вектор Е направлен к заряженной плоскости. Тот факт, что Е не зависит от расстояния до плоскости, означает, что соответствующее электрическое поле является однородным (как слева, так и справа от плоскости).Полученный результат справедлив только для бесконечнойплоской поверхности, ибо только в этом случае могут бытьиспользованы приведенные соображения симметрии.

Однако он приближенно справедлив и для области, прилегающей к средней части конечной равномерно заряженнойплоской поверхности, вдали от ее краев.Пример 3. Поле двух параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноименными зарядами с плотностями а и -а.Это поле можно легко найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности (рис.

1.8). Здесь верхниестрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, ^нижние — от отрицательно заряженной плоскости. Между плоскостяминапряженности складываемых полей Е имеют одинаковое направление, поэтому результат (1.10) просто удвоитсся, и результирующая напряженность'поля между плоскостямиЕ = ст/Ео,(1.11)где под а подразумевается модуль поверхностной плотности заряда.

Вне этой области, как легко видеть, поле равнонулю. Таким образом, поле в данном случае сосредоточеномежду плоскостями и является однородным в этой области.20Глава 1Полученный результат приближенно справедлив и дляпластин конечных размеров, если только расстояние между пластинами значительно меньше их линейных размеров(плоский конденсатор). Здесь заметные отклонения поля отоднородности наблюдаются только вблизи краев пластин(этим при расчетах часто пренебрегают).Пример 4.

Поле бесконечного круглого цилиндра, заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу его длиныприходится заряд X.Из соображений симметрии следует, что поле здесь имеетрадиальный характер, т. е. вектор Е в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль вектора Е зависиттолько от расстояния г до оси цилиндра.

Это подсказывает,что замкнутую поверхность здесь надо взять в форме коаксиального прямого цилиндра (рис.1.9). Тогда поток вектора Е сквозьторцы этого цилиндра равен нулю, ачерез боковую поверхность Er2nrh,где Ег — проекция вектора Е на радиус-вектор г, совпадающий по направлению с нормалью п к боковойповерхности цилиндра радиусом г ивысотой h. По теореме Гаусса дляслучая г > а имеем Er2nrh = Xh/z0,откудаРис.

1.9(г > а).(1.12)При X > 0 и Ег> 0, т. е. вектор Е направлен от заряженногоцилиндра, и наоборот.Если г < а, то замкнутая поверхность не содержит внутризарядов, поэтому в этой области Е = 0 независимо от г.Таким образом, внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет.Пример 5. Поле сферической поверхности радиусом а, заряженнойравномерно зарядом д.Это поле, очевидно, центрально-симметричное: направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, амодуль вектора Е должен зависеть только от расстояния гдо центра сферы.

Ясно, что при такой конфигурации поляв качестве замкнутой поверхности надо взять концентриче-Электростатическое доле в вакууме21скую сферу. Пусть ее радиус г> а, тогда по теореме Гауссаоткуда1?Я(г > а),(1.13)где Ег — проекция вектора Б на радиус-вектор г, совпадающий по направлению с нормалью п к поверхности в каждой ее точке.

Знак заряда q и здесь определяет знак проекции Еп а следовательно, и направление самого вектора Е:от заряженной сферы (при q > 0) или к ней (при q < 0).Если г < а, то замкнутая поверхность не содержит внутризарядов, поэтому в этой области всюду Е — 0, т. е. внутриравномерно заряженной сферической поверхности электрическое поле отсутствует. Вне этой поверхности поле убывает с расстоянием г по такому же закону, как у точечногозаряда.Пример 6. Поле равномерно заряженного шара.Пусть заряд q равномерно распределен по шару радиусом а.Поле такой системы, очевидно, также центрально-симметричное, поэтому и здесь для нахождения поля следует в качестве замкнутой поверхности взять концентрическую сферу.

Характеристики

Список файлов книги