И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Согласно современным представлениямвзаимодействие между зарядами осуществляется через поле.Всякий электрический заряд q изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства — создает электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенныйв какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытываетдействие силы.10Глава 1Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q\ всегда может быть представлена какF = g'E,(1.1)где вектор Е называют напряженностьюэлектрическогополя в данной точке.
Вектор Е, как видно из (1.1), можноопределить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q' должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего насполя (вследствие возможного перераспределения создающихполе зарядов).Поле точечного заряда. Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии г от него можно представить каког(1.2)2где s 0 — электрическая постоянная; е г — орт радиуса-вектора г,проведенного из центра поля, в котором расположен заряд q, доинтересующей нас точки. Формула (1.2) записана в СИ. Здеськоэффициент91/47180=9 • 10 м/Ф,заряд q определяют в кулонах (Кл), напряженность поля Е — ввольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор Е направлен так же, как и г, или противоположно ему.По существу формула (1.2) выражает не что иное, как законКулона, но в «полевой» форме.
Весьма важно, что напряженность Е поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния г. Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от10" 1 3 см до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при большихрасстояниях.Электростатическое поле в вакууме11Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависитот того, покоится пробный заряд или движется. Это относитсяи к системе неподвижных зарядов.Принцип суперпозиции.
Другой опытный факт, кроме закона (1.2), заключается в том, что напряженность поля системыточечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов вотдельности:(1.3)где rt — расстояние между зарядом qt и интересующей нас точкой поля.Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Он выражает одно из самых замечательных свойств полей и позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов, вклад каждого из которых даетсяформулой (1.2).Распределение зарядов.
Для упрощения математическихрасчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тотфакт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны,ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом впространстве. Другими словами, удобно заменить истинноераспределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов — объемной р, поверхностной а и линейной X, По определению,dgdgdgр= — , ст = —-, А, = — ,(1.4)РdVdSdZгде dg — заряд, заключенный соответственно в объеме dV, наповерхности dS и на длине d/.12Глава 1С учетом этих распределений формула (1.3) может бытьпредставлена в другой форме.
Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить qt на dq — pdF и Е на j, тогда4яе 0где интегрирование проводится по всему пространству, в котором р отлично от нуля.Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.3), если распределение дискретно,или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительнымитрудностями (правда, не принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора Е надо вычислить сначалаего проекции Ех, Еу, Ег> а это по существу три интеграла типа(1.5).
И только в тех случаях, когда система зарядов обладаеттой или иной симметрией, задача, как правило, значительнооблегчается. Приведем два примера.Пример 1. Поле на оси тонкого равномерно заряженного кольца. Заряд q > О равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найти напряженность Е электрического поля наоси кольца как функцию расстояния г от его центра.Легко сообразить, что в данном случае вектор Е долженбыть направлен по оси кольца (рис. 1.1). Выделим на кольце около точки А элемент d/. Запишем выражение для составляющей йЕг от этого элемента в точке С:1Xdl4ЯЕ 0г2-cos а,где к = q/2na. Для всех элементовкольца г и а будут одними и темиже, поэтому интегрирование этоговыражения сводится просто к замене Xdl на q.
В результатеЕ =Рис. 1.12 3/2г)Электростатическое поле в вакууме13Видно, что при г >• а поле Е « д/4яЕ0г , т. е. на большихрасстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.Пример 2. Поле равномерно заряженной прямой нити. Тонкая прямая нить длиной 21 заряжена равномерно зарядом д. Найтинапряженность Е поля в точке, отстоящей на расстояние хот центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов.Из соображений симметрии ясно, что вектор Едолжен иметь направление, показанное на рис.1.2. Это подсказывает,как надо поступить далее:определим составляющуюdEx от элемента dl нити сзарядом dg и затем проинтегрируем по всем элементам нити.
В нашем случаеРис.1dE r = dE cos a4716 OXdl-cos a,где X = q/2l — линейная плотность заряда. Приведем этоуравнение к виду, удобному для интегрирования. Изрис. 1.2 видно, что dl cos a = г da и г = JC/COS a, поэтомуdE =XrdaX47180*- cos a da.Это выражение легко проинтегрировать:Е =X й 0X2 f cos a da =4тгеол:2 sina 0 ,где a 0 — максимальное значение угла a, sin a 0 =поэтомуЯ/21:И здесь Е « д/4пг0х2+x4я£2о xjl2+xпри JC » / , к а к поле точечного заряда.14Глава 1Геометрическое описание электрического поля. Зная векторБ в каждой точке, можно представить электрическое полеочень наглядно с помощью линий напряженности, или линийвектора Е.
Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним вкаждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густоталиний, т. е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы пропорциональна модулю вектора Е. Кроме того, этим линиямприписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е. По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического поля — о направлении и модулевектора Е в разных точках поля.Об общих свойствах поля Е.
Определенное выше поле Е обладает, как выяснилось, двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогло глубже проникнуть в суть самого понятия поля и сформулировать его законы, а также открыло возможность решить ряд вопросов весьма просто и изящно.Эти свойства — так называемые теорема Гаусса и теорема оциркуляции вектора Е — связаны с двумя важнейшими математическими характеристиками всех векторных полей: потоком и циркуляцией. Как мы увидим, пользуясь только этимидвумя понятиями, можно описать все законы не только электричества, но и магнетизма. Перейдем к последовательному рассмотрению этих свойств.§ 1.2.
Теорема ГауссаПоток вектора Е. Для большей наглядности воспользуемсягеометрической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора Е) и еще, для упрощения рассуждений,будем считать, что густота линий Е равна модулю вектора Е.Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадкуdS, нормаль п которой составляет угол а с'вектором Е, определяется согласно рис. 1.3как EcLScosa. Эта величина и есть поток&Ф вектора Е сквозь площадку &S. В болеекомпактной формеРис.
1.3d<P = £ n d S = E d S ,Электростатическое поле в вакууме15где Еп-^ проекция вектора Е на нормаль п к площадке dS,dS — вектор, модуль которого равен &S, а направление совпадает с нормалью п к площадке. Заметим, что выбор направления вектора п (а следовательно, и dS) условен, его можно былобы направить и в противоположную сторону.Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора Е сквозь нееO=jEdS.(1.6)Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случаезамкнутых поверхностей принято нормаль п брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбиратьвнешнюю нормаль, что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться.Хотя здесь речь шла о потоке вектора Е, понятие потока вравной степени относится к любому векторному полю.Теорема Гаусса.
Поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S обладает удивительным и замечательным свойством: он зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно<|)EdS= — q внутр»8о(1.7)где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.Это выражение и составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность равен алгебраическойсумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на s0.Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим поле одного точечного заряда q. Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис.
1.4) и найдем поток вектора Есквозь элемент dS:• = EdS =£dScosct = гydScosct =T-^— dQ ,(1.8)16Глава 1где dQ — телесный угол, опирающийся наэлемент поверхности dS, с вершиной в точкерасположения заряда q. Интегрированиеэтого выражения по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу, т. е. замене dQ на 4л, и мы получим Ф = g/s0, как и требует формула (1.7).Заметим, что при более сложной формеРис 1 4замкнутой поверхности углы а могут бытьбольше я/2, а значит, cos а и dQ в (1.8) принимают, вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения.Итак, dQ — величина алгебраическая: если dQ опирается навнутреннюю сторону поверхности S, то dQ > 0, если же навнешнюю сторону, то dQ < 0.Отсюда, в частности, следует: если заряд q расположен внезамкнутой поверхности S, то поток вектора Е через нее равеннулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
