И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для этого достаточно вычислить интеграл JEdl28Глава 1по любому пути между двумя точками и представить затем полученный результат в виде убыли некоторой функции, котораяи есть ф(г). Можно поступить и проще. Воспользуемся тем, чтоформула (1.23) справедлива не только для конечных перемещений, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формулеэлементарная убыль потенциала на этом перемещении есть-d<p=Edl.(1.24)Другими словами, если известно поле Е (г), то для нахождения ф надо представить Е dl (путем соответствующих преобразований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть ф.Найдем таким способом потенциал поля неподвижного точечного заряда:Edl = — — ^ e r d l = - ^ - ^ - = - d - i - i + const4яе 0 г4ЯЕ 0 г^4яе 0 ггде учтено, что erdl = 1 • (dl) r , ибо проекция вектора dl на вектор е г , а значит, и на г равна приращению модуля вектора г,т.
е. dr. Величина, стоящая в круглых скобках под знаком дифференциала, и есть ф(г). Так как присутствующая здесь аддитивная константа никакой физической роли не играет, ее обычно опускают, стремясь выражение для ф сделать проще. Такимобразом, потенциал поля точечного зарядаФ=4яе 0 г(1.25)Отсутствие в этом выражении аддитивной константы означает, что мы условно полагаем потенциал на бесконечности(г -> оо) равным нулю.Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит изнеподвижных точечных зарядов qv q2,... Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е = Ег + Е 2 ++ ..., где Ег — напряженность поля заряда qx и т. д. Тогда можно записать, используя формулу (1.24):Е dl = (E!+E 2 +...)dl = E!dl+E 2 dl+...
= - dф 1 - dф2 - . . . = - dф,29Электростатическое поле в вакуумегде ф = ^ (pt , т. е. принцип суперпозиции оказывается справедливым и для потенциала. Таким образом, потенциал системынеподвижных точечных зарядов(1.26)4TIS 0где rt — расстояние от точечного заряда qt до интересующей насточки поля. Здесь также произвольная постоянная опущена.Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальнаясистема зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю.Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарныйобъем dV содержит « точечный» заряд р 6V, где р — объемнаяплотность заряда в месте нахождения объема dV.
С учетом этого формуле (1.26) можно придать иной вид:1fpdF=~A471Бп J Г'(1.27)где интегрирование проводится или по всему пространству, илипо той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности 5, тоФ —-1fadSI4ттбп Jr>(1.28)где a — поверхностная плотность заряда; dS — элемент поверхности S. Аналогичное выражение будет и в том случае, когдазаряды распределены линейно.Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное), мы можем в принципе найти потенциал поля любой системы.§ 1.6. Связь между потенциалом и вектором ЕЭлектрическое поле, как известно, полностью описываетсявекторной функцией Е(г).
Зная ее, мы можем найти силу, дей-30Глава 1ствующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и др. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал ср(г) данного электрического поля,можно достаточно просто восстановить и само поле Е(г).
Рассмотрим этот вопрос более подробно.Связь между <р и Е можно установить с помощью уравнения(1.24). Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогдаdl = i dx, где i — орт оси X, dx — приращение координаты JC,Б dl = Е i dx = Ех dx,где Ех — проекция вектора Е на орт i (а не на перемещение dl).Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), получим(1.29)Ех=-ду/дх9где символ частной производной подчеркивает, что функциюФ (*> У* г) надо дифференцировать только по х, считая у иг приэтом постоянными.Рассуждая аналогично, можно получить соответствующиевыражения для проекций Еу и Ег.
А определив Ех, Еу, Ег> легконайти и сам вектор Е:хдудгВеличина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала q> (grad q> или Уф). Мы будем пользоватьсявторым, более удобным обозначением и рассматривать формально Уф как произведение символического вектора V на ф. Тогда уравнение (1.30) можно представить в более компактнойформе:Е = - Уф,(1.31)т. е. напряженность Б поля равна со знаком минус градиентупотенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можновосстановить поле Е, зная функцию ф(г).Электростатическое поле в вакууме31Пример. Найти напряженность Е поля, потенциал которого имеет вид:1) ф(*> У) = ~ а*У> <*> — постоянная, 2) ф(г) = - ar, a — постоянный вектор, г — радиус-вектор интересующей нас точкиполя.1.
Воспользовавшись формулой (1.30), получим Е = а(у\ + xj).2. Представим сначала функцию ф как ф — -ахх - ауу - a2z,где ах> ау, а2 — постоянные. После этого с помощью формулы(1.30) найдем Е = ах\ + ау) + а2к = а. Видно, что поле Е является в данном случае однородным.Получим еще одну полезную формулу. В соотношении (1.24)запишем правую часть как Е dl = Etdl, где dl = |dl| — элементарный путь; Et — проекция вектора Е на перемещение dl. Отсюда(1.32)т.
е. проекция вектора Е на направление перемещения dl равнасо знаком минус производной потенциала по данному направлению (это подчеркнуто символом частной производной).Эквипотенциальные поверхности. Введем понятие эквипотенциальной поверхности — поверхности, во всех точках которой потенциал ф имеет одно и то же значение.
Убедимся втом, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала ф. В самом деле, из формулы (1.32) следует, что проекциявектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит,что вектор Е нормален к данной поверхности.
Далее, возьмемперемещение dl по нормали к поверхности в сторону уменьшения ф, тогда дф < 0 и согласно (1.32) Ег > 0, т. е. вектор Е направлен в сторону уменьшения ф, или в сторону, противоположную вектору Уф.Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразнопроводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседнихповерхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхностирасположены гуще («круче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше.32Глава 1Далее, ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этимповерхностям.На рис. 1.13 показана двухмерная картина электрическогополя: пунктиром — эквипотенциали, сплошными линиями —линии вектора Е. Такое изображениепридает большую наглядность.
Сразу жевидно, в какую сторону направлен векторЕ, где напряженность больше, где меньше, где больше крутизна потенциальногорельефа. С помощью таких картин можно получить и качественные ответы наРис. 1.13ряд вопросов: куда начнет двигаться заряд при помещении его в ту или инуюточку, где больше градиент потенциала (по модулю), в какойточке поля на заряд будет действовать большая сила и др.О преимуществах потенциала. Ранее было отмечено, чтоэлектростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией Е (г). Какая же польза от введенияпотенциала? Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал — понятие действительно весьма полезное, и не случайно, что этим понятиемшироко пользуются не только в физике, но и в технике.1.
Зная потенциал ф(г), можно предельно просто вычислитьработу сил поля при перемещении точечного заряда q' из точки1 в точку 2:Ai2= д'(ф1- Фг),(1.33)где фх и ф 2 — потенциалы в точках 1 и 2. Значит, искомая работа равна убыли потенциальной энергии заряда q' в поле при перемещении его из точки 1 в точку 2. Расчет работы сил поля поформуле (1.33) оказывается не только проще, но в некоторыхслучаях и единственно возможным.Пример. Заряд q распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найтиработу сил поля при перемещении точечного заряда q' из центра кольца на бесконечность.Так как неизвестно, как распределен заряд q по кольцу, тоничего нельзя сказать о напряженности Е поля этого заряда.Электростатическое поле в вакууме33А это значит, что непосредственно вычислить работу как интеграл Jg'E dl здесь непросто.
С помощью же потенциала этазадача решается элементарно. В самом деле, так как все элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии а отцентра кольца, то потенциал в этой точке ф0 = q/4nz0a. А потенциал на бесконечности ф = 0. Следовательно, работа А =2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е электрического поля легче сначала подсчитатьпотенциал ф и затем взять градиент от него, нежели вычислять Енепосредственно. Это весьма существенное преимущество потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
