И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Модуль вектора ЕЕ =1.4. Теорема Гаусса. Имеется аксиально-симметричное поле, напряженность которого зависит только от расстояния г до его оси какЕ = ar/г2, где а — постоянная. Найти заряд в объеме, ограниченном сферой радиусом R с центром на оси этого поля.Решение. Искомый заряд равен согласно теореме Гаусса потокувектора Е через указанную сферу, умноженному на Е0. В данномслучае для определения потока можно поступить так. Заметив, что поле Е является осесимметричным (полем заряженной равномернонити), приходим к выводу, что поток через сферу радиусом R равен потоку через боковую поверхность цилиндра того же радиуса и высотой2R, расположенного, как показано на рис. 1.22.ТогдаРис.
1.229=2где Er = a/R и S = 2nR • 2R = 4nR . И окончательно,q = 4m0aR.Электростатическое поле в вакууме411.5. Система состоит из равномерно заряженной сферы радиусом R иокружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностьюр = а/г, где а — положительная постоянная, г — расстояние отцентра сферы. Найти заряд сферы, при котором напряженность Еэлектрического поля вне сферы не будет зависеть от г. Чему равноЕ?Решение. Пусть искомый заряд сферы равен д, тогда, воспользовавшись теоремой Гаусса, запишем для сферической поверхностирадиусом г (снаружи сферы с зарядом q):а1 7а .
2 ,— + — — 4тгг dr.Проинтегрировав, преобразуем это уравнение к видуЕ • 4яг 2 = (q - 2яаД 2 )/е 0 + 4жхг2/2е0.Напряженность Е не зависит от г при условии, когда выражение вскобках равно нулю. Отсюдаq = 2жхД2 и Е = а/2Е0.1.6.
Найти напряженность Е электрического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заряженных разноименными по знаку зарядами с объемной плотностью р и - р, если расстояние между центрами шаров определяется вектором 1 (рис. 1.23).Решение. С помощью теоремы Гаусса нетрудно показать, что напряженность электрического поля внутри равномерно заряженного шараЕ = (р/3ео)г,где г — радиус-вектор относительно центра шара. Поле в областипересечения шаров можно рассматривать как суперпозицию по-Рис.
1.23Рис. 1.24Глава 142лей двух равномерно заряженных шаров. Тогда в произвольнойточке А (рис. 1.24) этой областиЕ = Е+ + Е_ = р(г+ - г_)/3ео = pl/3e 0 .Рис. 1.25Таким образом, поле в области пересечения таких шаров является однородным. Этот выводсправедлив независимо от соотношения радиусов шаров и расстояния между их центрами.Он справедлив, в частности, и тогда, когдаодин шар находится целиком внутри другого,или, другими словами, когда в шаре имеетсясферическая полость (рис.
1.25).1.7. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, найти напряженность Е поля внутри сферы, по которой распределен заряд споверхностной плотностью ст = a 0 cos3, где а 0 — постоянная, 3 —полярный угол.Решение. Рассмотрим два шара одинакового радиуса, имеющихравномерно распределенные по объему заряды с плотностями р и-р. Пусть центры шаров смещены относительно друг друга на расстояние 1 (рис. 1.26).
Тогда согласно решению предыдущей задачиполе в области пересечения этих шаров будет однородным:Е = (Р/ЗЕО) 1.Рис. 1.26(1)В нашем случае объемный заряд отличается от нуля только в поверхностном слое.При очень малом I мы придем к представлению о поверхностной плотности зарядана сфере. Толщина заряженного слоя вточках, определяемых углом 3 (рис. 1.26),равна I cos d.
Значит, на единицу площадив этом месте приходится заряд a = pfcos 3 == a 0 cos3, где ст0 = р/, и выражение (1) можно представить какЕ = - (СУО/ЗЕО) к,где к — орт оси Zf от которой отсчитывается угол 3.1.8. Потенциал. Потенциал некоторого электрического поля имеетвид ф = а(ху - г2). Найти проекцию вектора Е на направление вектора а = i + 3k в точке М(2, 1, -3).Электростатическое поле в вакууме43Решение. Сначала найдем вектор Б:Е = -Vcp = -a(yi + x) Искомая проекцияЕЕa-a(yi + xj-2zk)(i + 3k)-aQ/-6z)В точке М19-a(l + 18)1.9. Найти потенциал ф на краю тонкого диска, по одной стороне которого равномерно распределен заряд с поверхностной плотностьюа. Радиус диска равен КРешение.
По определению потенциал в случае поверхностного распределения заряда дается интегралом (1.28). Для упрощения интегрирования выберем в качестве площадкиdS часть кольца радиусом г и шириной dr(рис. 1.27). Тогда dS = 2Srdr, г = 2flcosS,dr = -2R sin$ d3. После подстановки этих выражений в интеграл (1.28) получим для ф вточке О:ЯЕрисi 270 я/2Интегрирование проводим по частям, обозначив 3 = u, sin3 d& = dv:что дает после подстановки пределов интегрирования - 1 . В результатеФ =ОН/ПЕ0.1.10. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только отрасстояния г до его центра по закону ф = аг + Ъ> где а и Ь — постоянные.
Найти распределение объемного заряда р(г) внутришара.Решение. Сначала найдем напряженность поля. Согласно (1.32)Ег= -д<р/дг =-2аг.(1)44Глава 1З а т е м воспользуемся теоремой Гаусса: 4nr2Erциал этого в ы р а ж е н и я4 я d(r2Er)= q/s0. Дифферен-= — dg = — р • 4nr2dr,где dg — заряд м е ж д у сферами, радиусы которых г и г + dr. Отсюдаr2dEr+ 2r£rdr = - p r 2 d r ,^ г +iаггSQПодставив ( 1 ) в последнее уравнение,£P. .б0получимр = - 6еоа,т. е. з а р я д внутри шара распределен равномерно.1.11. Диполь. Найти силу взаимодействия д в у х точечных д и п о л е й смоментами р х и р 2 , если векторы р х и р 2 направлены вдоль прямой, с о е д и н я ю щ е й диполи, и расстояние м е ж д у последними равно I.Р е ш е н и е . Согласно ( 1 .
3 9 )F=px \dE/dl\,где Е — напряженность поля диполя р2, определяемая первой изформул (1.38):I3Взяв производную последнего выражения по Z и подставив ее вформулу для F, получим4ЯЕ0Заметим, что диполи будут притягиваться, если РхТТр2, и отталкиваться, если^t===^^Глава 2 = = = = = = = = ^Проводник в электростатическом поле§ 2.1. Поле в веществеМикро- и макрополе.
Истинное электрическое поле в любомвеществе — его называют микрополем — меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в разных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найтинапряженность Б истинного поля в некоторой точке в данныймомент, нужно было бы сложить напряженности полей всех отдельных заряженных частиц вещества — электронов и ядер.Решение этой задачи, очевидно, является совершенно нереальным. Да и сам результат оказался бы настолько сложным, чтоего просто нельзя было бы использовать. Более того, для решения макроскопических задач такое поле и вовсе не нужно.
Длямногих целей достаточно более простое и несравненно болеегрубое описание, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем.Под электрическим полем Е в веществе — его называютмакрополем — мы будем понимать пространственно усредненное микрополе (после пространственного усреднения временноеусреднение уже не требуется). Это усреднение проводится потак называемому физически бесконечно малому объему —объему, содержащему большое число атомов, но имеющемуразмеры во много раз меньше, чем те расстояния, на которыхмакрополе меняется заметно. Усреднение по таким объемамсглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариациимикрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняетплавные изменения макрополя на макроскопических расстояниях. Итак, поле в веществе).о(2.1)46Глава 2Влияние вещества на поле.
При внесении любого вещества вэлектрическое поле в веществе происходит смещение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов), что всвою очередь приводит к частичному разделению этих зарядов.В тех или иных местах вещества появляются нескомпенсированные заряды различного знака. Это явление называют электростатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды — индуцированными зарядами.Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем образует результирующее поле. Зная внешнее полеи распределение индуцированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля уже не обращать внимание на наличие самого вещества — его роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов.Таким образом, результирующее поле при наличии вещества определяется просто как суперпозиция внешнего поля иполя индуцированных зарядов. Однако во многих случаях делоусложняется тем, что мы заранее не знаем, как распределяются в пространстве все эти заряды — задача оказывается далеконе такой простой, как могло бы показаться вначале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
