И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Нетрудно сообразить, что для поля вне шара получитсятот же результат, что и в предыдущем примере [см. (1.13)].Внутри же шара выражение для поля будет другим. Сферарадиусом г < а охватывает заряд q' = q(r/a)3, ибо в нашемслучае заряды относятся как объемы, а последние каккубы радиусов. Поэтому согласно теореме Гауссаоткуда1 Я г4тге0 а '(г<а),(1.14)т. е. внутри равномерно заряженного шара напряженностьрастет линейно с расстояниемг от его центра. График зависимости £ от г показан на рис.1.10.Рис. 1.1022Глава 1Общие выводы. Полученные в этих примерах результатыможно было бы найти и непосредственно интегрированием спомощью формулы (1.5).
Однако, как можно было убедиться,использование теоремы Гаусса позволило нам решать эти задачи несравненно более простым путем.Простота, с которой были решены рассмотренные задачи,может создать иллюзорное впечатление о силе метода, основанного на применении теоремы Гаусса, и о возможности находитьс помощью этой теоремы решения многих других задач. К сожалению, это не так. Число задач, легко решаемых с помощьютеоремы Гаусса, весьма ограничено. Уже при решении задачи онахождении поля такого симметричного распределения заряда,как у равномерно заряженного диска, теорема Гаусса оказывается бессильной. В этом случае конфигурация поля достаточносложная, и замкнутой поверхности, обладающей необходимойдля простоты вычисления потока вектора Е формой, здесь нет.Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической).Симметрия, а следовательно, и конфигурация поля должныбыть такими, чтобы, во-первых, можно было найти достаточнопростую замкнутую поверхность S и, во-вторых, вычислениепотока вектора £ свести к простому умножению Е (или Еп) наплощадь поверхности S или ее часть.
Если этого нет, задачу онахождении поля приходится решать или непосредственно спомощью формулы (1.5), или с помощью других методов, с которыми мы познакомимся ниже.§ 1.4. Теорема Гаусса в дифференциальной формеЗамечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теоремув иной форме, расширяющей ее возможности как инструментаисследования и расчета.В отличие от формулы (1.7) — ее называют интегральной —мы будем искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, вкоторой устанавливается связь между объемной плотностью заряда р и изменениями напряженности Е в окрестности даннойточки пространства.Электростатическое поле в вакууме23Для этого представим сначала заряд q в объеме V, охватываемом замкнутой поверхностью S, как <7внутр = (р)^, где (р) —среднее по объему V значение объемной плотности заряда.
Затем подставим это выражение в уравнение (1.7) и разделим обечасти его на V. В результате получим(1.15)Теперь устремим объем V к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно, при этом <р> будет стремиться кзначению р в данной точке поля, а значит, отношение в левойчасти уравнения (1.15) будет стремиться к p/s0.Величину, являющуюся пределом отношения j>E dS к V приV -> О, называют дивергенцией поля Е и обозначают div E. Таким образом, по определению= lim~(j)EdS.(1.16)Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.
Из определения (1.16) следует, что дивергенцияявляется скалярной функцией координат.Чтобы получить выражение для дивергенции поля Е, надосогласно (1.16) взять бесконечно малый объем V, определитьпоток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции будет зависеть от выборасистемы координат (в разных системах координат оно оказывается разным). Например, в декартовой системе координатдх+ду+дг(1.17)Итак, мы выяснили, что при 7 - > 0 в выражении (1.15) егоправая часть стремится к р/е0, а левая — к div E. Следовательно, дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той жеточке уравнениемdivE = p/e0.(1.18)24Глава 1Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.Написание многих формул и действия с ними значительноупрощаются, если ввести векторный дифференциальный оператор V («набла»).
В декартовых координатах он имеет видV = i — + j — + k— ,дхдуdz(1.19)где i, j , k — орты осей X, Y, Z. Сам по себе вектор V смысла неимеет. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярнойили векторной функцией, на которую символически умножается. Так, например, если вектор V умножить скалярно на векторЕ, то получимуудххдуудга это есть не что иное, как div E, согласно (1.17).Таким образом, дивергенция поля Е может быть записанакак div E или V-E (в обоих случаях читается как «дивергенцияЕ»).
Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением. Тогда, например, теорема Гаусса (1.18) будет иметь вид(1.20)В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда р в той же точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля.
Например, в разных точках поля точечного зарядаполе Е отличается друг от друга. Это же относится, вообще говоря, и к пространственным производным дЕх/дх, дЕу/ду,dEJdz, Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этихпроизводных, которая определяет дивергенцию Е, оказываетсяво всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю.В тех точках поля, где дивергенция Е положительна, мыимеем источники поля (положительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна, — стоки (отрицательные заряды).Линии вектора Е выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются.Электростатическое поле в вакууме25§ 1.5.
Циркуляция вектора Е. ПотенциалТеорема о циркуляции вектора Б. Из механики известно, чтолюбое стационарное поле центральных сил является потенциальным, т. е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно такимсвойством обладает электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов. Бели в качестве пробногозаряда, переносимого из точки 1 заданного поля Б в точку 2,взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl равна Е dl, а вся работа сил поляна пути от точки 1 до точки 2 определяется как2jEdl.(1.21)1Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтомуего называют линейным.Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла (1.21) от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю.
Интеграл (1.21) по замкнутому пути называют циркуляцией вектораБ и обозначают §.Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора Б в любомэлектростатическом поле равна нулю, т. е.(1.22)Это утверждение и называют теоремой о циркуляции вектора Б.Для доказательства этой теоремы разобьем произвольныйзамкнутый путь на две части 1а2 и 2Ы (рис. 1.11).
Так как линейный интеграл (1.21) — обозначим его J —12не зависит от пути между точками 1 и 29 то(а)(Ъ)(Ъ) (Ь)J = Г . С другой стороны, ясно, что J= - | ,12121221Рис. 1.1126Глава 1(b)где J — интеграл по тому же участку Ь, но в обратном направ21лении. Поэтому(а)(Ь)(а)(Ь)12211212J.J./-J-O,что и требовалось доказать.Поле, обладающее свойством (1.22), называют потенциальным. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным.Теорема о циркуляции вектора Е позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам.
Вот двапримера.Пример 1. Линии электростатического поля Е не могут быть замкнутыми.В самом деле, если это не так и какая-то линия вектора Езамкнута, то взяв циркуляцию вектора Е вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой(1.22). Значит, действительно, в электростатическом полезамкнутых линий вектора Е не существует: линии начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (или уходят в бесконечность),Пример 2.
Возможна ли конфигурация электростатического поля какна рис. 1.12?Нет, невозможна. Это сразу станет ясно, если мы применим теорему о циркуляции вектора Е к замкнутому конту»ру, показанному на рисунке пункти~~*}ром. Стрелки на контуре показывают—+1направление обхода. При таком спе—*Тциальном выборе контура вклад в—*1циркуляцию на вертикальных участ—•*ках его равен нулю: здесь Е _L dl иРис 112Е dl = 0; остаются два одинаковых подлине горизонтальных участка. Изрисунка сразу видно, что вклады в циркуляцию на этихучастках противоположны по знаку, но не одинаковы помодулю (на верхнем участке больше, ибо линии гуще, азначит, Е больше).
Поэтому циркуляция оказывается отличной от нуля, что противоречит (1.22).Электростатическое поле в вакууме27Потенциал. До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, идругой адекватный способ описания — с помощью потенциалаФ (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуютдруг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом существенных преимуществ.Тот факт, что линейный интеграл (1.21), представляющийсобой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути междуэтими точками, позволяет утверждать, что в электрическомполе существует некоторая скалярная функция координат ф(г),убыль которой<Pl -Ф2 = JE d lу(1.23)где фх и ф2 — значения функции ф в точках 1 и 2. Так определенная величина ф(г) называется потенциалом поля.
Из сопоставления выражения (1.23) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал — этовеличина, численно равная потенциальной энергии единичногоположительного заряда в данной точке поля.Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можноусловно приписать любое значение ф0. Тогда потенциалы всехдругих точек поля определяются согласно (1.23) однозначно.Если изменить ф0 на некоторую величину Аф, то на такую жевеличину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.Таким образом, потенциал ф определяется с точностью допроизвольной аддитивной постоянной.
Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависяттолько от напряженности электрического поля. Последняя жеопределяется, как мы увидим, не самим потенциалом в даннойточке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.Единицей потенциала является вольт (В).Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.23) содержитне только определение потенциала ф, но и способ нахожденияэтой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
