И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Одним и двумя фиктивными зарядамиздесь не обойтись, такихзарядов должно быть триРис. 2.8(рис. 2.8, б). Только при такой конфигурации системы из четырех зарядов можно осуществить необходимую «подгонку» — обеспечить, чтобы напроводящих полуплоскостях потенциал был равен нулю.Именно эти три фиктивных заряда и создают то же полевнутри «прямого угла», что-и заряды, индуцированные напроводящих полуплоскостях.Найдя эту конфигурацию точечных зарядов (другую задачу),можно затем просто решить ряд других вопросов, напримернайти потенциал и напряженность поля в любой точке внутри «прямого угла», силу, действующую на заряд q, и др.§ 2.6. Электроемкость. КонденсаторыЭлектроемкость уединенного проводника. Рассмотрим какой-либо уединенный проводник, т. е. проводник, удаленныйот других проводников, тел и зарядов. Опыт показывает, чтомежду зарядом q такого проводника и его потенциалом ф (потенциал на бесконечности мы условились считать равнымнулю) существует прямая пропорциональность: ф со q. Следовательно, g/ф не зависит от заряда д, для каждого уединенногопроводника это отношение имеет свое значение.
ВеличинуС=д/ф(2.10)называют электроемкостью уединенного проводника (сокращенно емкостью). Она численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Емкость зависит от размеров и формы проводника.Пример. Найдем емкость уединенного проводника, имеющего формушара радиусом К58Глава 2Для этого, как видно из формулы (2.10), надо мысленно зарядить данный проводник зарядом q и вычислить его потенциал ср. Согласно (1.23) потенциал шараПосле подстановки полученного результата в (2.10) найдемС - 4тгеоД.(2.11)За единицу емкости принимают емкость такого проводника,потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эту единицу емкости называют фарад ом (Ф).Фарад — очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал быуединенный шар радиусом 9 млн.
км, что в 1500 раз больше радиуса Земли (емкость Земли С = 0,7 мФ). На практике чащевсего приходится встречаться с емкостями в интервале от1 мкФ до 1 пФ.Конденсаторы. Бели проводник не уединен, то его емкостьбудет существенно увеличиваться при приближении к немудругих тел. Это обусловлено тем, что поле данного проводникавызывает перераспределение зарядов на окружающих телах —появление индуцированных зарядов. Пусть заряд проводникаq > 0.
Тогда отрицательные индуцированные заряды оказываются ближе к проводнику, нежели положительные. Поэтомупотенциал проводника, являющийся алгебраической суммойпотенциала собственных зарядов и зарядов, индуцированныхна других телах, уменьшится при приближении к нему другихнезаряженных тел. А значит, его емкость увеличится.Это позволило создать систему проводников, которая обладает емкостью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не зависящей от окружающих тел. Такую систему называют конденсатором. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на маломрасстоянии друг от друга.Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки располагают так относительно другдруга, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутриПроводник в электростатическом поле59конденсатора. Это означает, что линии вектора Е, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т.
е.заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю ипротивоположны по знаку (q и — q).Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора кразности потенциалов между обкладками (эту разность называют напряжением):С - q/U.(2.12)Под зарядом q конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке.Естественно, емкость конденсатора измеряют также в фарадах.Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров иформы обкладок), от зазора между ними и от заполняющейконденсатор среды.
Найдем выражения для емкости некоторыхконденсаторов, считая пока, что между обкладками находитсявакуум.Емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоитиз двух параллельных пластин, разделенных зазором ширинойЛ. Если заряд конденсатора q, то согласно (1.11) напряженностьполя между его обкладками Е = СТ/Б0, где а = q/S, S — площадькаждой пластины.
Следовательно, напряжение между обкладкамиПосле подстановки этого выражения в (2.12) получимC = z0S/h.(2.13)Этот расчет был проведен без учета искажения поля у краевпластин (без учета краевых эффектов). Емкость реального плоского конденсатора определяется полученным выражением темточнее, чем меньше зазор h по сравнению с линейными размерами пластин.60Глава 2Емкость сферического конденсатора.
Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно а и Ъ. Если заряд конденсатора д, то напряженность полямежду обкладками определяется по теореме Гаусса:Е -ХqНапряжение на конденсатореьU = JErdr=-4леДа&Отсюда легко видеть, что емкость сферического конденсатораС=4яе0-^-.(2.14)а -ЪПолезно убедиться, что в случае малого зазора между обкладками, т.
е. при условии (Ь - а) <§с а (или Ь), полученное выражение переходит в (2.13) — в выражение для емкости плоского конденсатора.Емкость цилиндрического конденсатора. Рассуждая так же,как и в случае со сферическим конденсатором, получим\пф/а)(2.15)где I — длина конденсатора; а и Ь — радиусы внутренней и наружной цилиндрических обкладок. Здесь так же, как и в предыдущем случае, при малом зазоре между обкладками полученное выражение переходит в (2.13).О влиянии среды на емкость конденсатора см. § 3.6.Задачи2.1. О нахождении потенциала. Точечный заряд q находится на расстоянии г от центра О незаряженного сферического проводящегослоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и Ь. Найти потенциал в точке О, если г < а.Проводник в электростатическом поле61Решение.
В результате электростатической индукции на внутренней поверхности слоя выступят, допустим, отрицательные заряды, а на наружной — положительные (рис. 2.9). Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал вточке О можно представить как4яе0 {гЬ1)где первый интеграл берется по всем индуцированным зарядам на внутренней поверхности слоя, а второй интеграл — по всемзарядам на внешней поверхности слоя. Изэтого выражения следует:ФРис. 2.94яе<Заметим, что так просто потенциал в полости можно найти тольков точке О, поскольку только от этой точки все индуцированныезаряды одного знака находятся на одинаковом расстоянии и ихраспределение (нам не известное) не играет роли.2.2.
Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом Rx находится заряд qv Какойзаряд q2 следует поместить на внешнюю сферу радиусом R2, чтобыпотенциал внутренней сферы стал равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал ф от расстояния г до центра системы?Изобразить примерный график этой зависимости, если q1 < 0.Решение. Запишем выражения для потенциала вне системы (фп) ив области между сферами (фх):Фп =1 ft + g 2m_1ft4яг 0 rгде ф 0 — некоторая постоянная. Еезначение легко найти из граничногоусловия: при r-R2 потенциал Фц-Фх*ОтсюдаФ0 = 92/^ 7 г е О^2-Из условия q>i(Rx) ~ 0 находим q2 ~= -qlR2/RvЗависимость ф(г) будетиметь вид (рис.
2.10):Рис. 2.1062Глава 2_Ф1 =Фп - 4 Я Е 04ЯБ02.3. Сила, действующая на поверхностный заряд. Незаряженный металлический шар радиусом R поместили во внешнее однородноеэлектрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностьюa = cy 0 cos ^» г Д е а о — положительная постоянная, 0 — полярныйугол. Найти модуль результирующей электрической силы, которая действует на заряд одного знака.Решение. Согласно (2.5) на элементарную площадку &S действуетэлектрическая силаdF = У, aE dS.(1)Из соображений симметрии ясно, что искомая результирующаясила F направлена по оси Z (рис.
2.11) и поэтому ее можно представить как сумму (интеграл) проекцийэлементарных сил (1) на ось Z:В качестве площадки dS целесообразно сразу же взять элементарный пояс, для которого dS = 2nR sin$ • Rd&. Учитывая, крометого, что Е - ст/е0, преобразуем (2) к видуdF. =sin S cos 3 d3 =Рис. 2.11-cos Od(cosd).Проинтегрировав это выражение по полусфере (т. е.
по cos 3 от 1до 0), получимF =TZG20R2/4Z0.2.4. Метод изображений. Точечный заряд q находится на расстоянии /от проводящей плоскости. Определить поверхностную плотностьзарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстоянияг от основания перпендикуляра, опущенного из заряда q на плоскость.63Проводник в электростатическом полеРешение. Согласно (2.2) поверхностная плотность зарядов на проводнике связана с электрическим полем вблизи проводника (в вакууме), как <т = Ео£Л. Следовательно, задача сводится к нахождению поля Е вблизи проводящей плоскости.
Методом изображенийполучаем, что в точке Р (рис. 2.12), д<находящейся на расстоянии г от точкиО, поле вблизи плоскости:Е = 2Е Л сова = 2ql4ле0л:Значит,а = --Рис. 2.12где знак минус показывает, что индуцированный заряд противоположен по знаку точечному заряду q,2.5. Точечный заряд q находится на расстоянии / от проводящей плоскости. Найти работу, которую совершит электрическая сила, действующая на заряд q при его медленном удалении на очень большое расстояние от плоскости.Решение.
По определению работа этой силы при элементарном перемещении djc (рис. 2.13)2ЪА = Frdx =°-dx,4пго(2хУгде выражение для силы получено спомощью метода изображений. Проинтегрировав это уравнение по х от /до оо, найдем-яFqо—Рис. 2.13Замечание. Попытка решить эту задачу другим способом — черезпотенциал — приводит к неверному результату (он вдвое отличается от полученного нами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
