И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Условимся всегда проводить вектор п отдиэлектрика 1 к диэлектрику 2.Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхностьвыбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6):P 2n AS + PMAS=-CT'AS,где Р2п и Р1п, — проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль п и в диэлектрике1 на нормаль п' (рис. 3.3).Учитывая, что проекция вектора Р нанормаль п' равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную(общую) нормаль п, т.
е. Р1п, = - Р 1 л , перепишем предыдущее уравнение после сокращения на AS в следующем виде:Ргп ~ Рщ - -*'-(3.12)76Глава 3Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина которого зависит от а'. В частности, если среда 2 вакуум, тоР2п = 0, и условие (3.12) приобретает более простой вид:о' = Рп>(3.13)где Рп — проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика. Знак проекции Рп определяет и знакповерхностного связанного заряда а' в данном месте. Последнюю формулу можно представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой (3.5) можно записать:а' = кг0Еп,(3.14)где Еп — проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи отего поверхности) на внешнюю нормаль.
Здесь также знак Епопределяет знак <т\Замечание о поле вектора Р. Соотношения (3.6) и (3.13) нередко дают основание ошибочно думать, что поле вектора Р зависит только от связанных зарядов. На самом деле это не так.Поле вектора Р, как и Е, зависит от всех зарядов, как связанных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт,что векторы Р и Е связаны друг с другом соотношениемР = х80Е. Связанные заряды определяют не поле вектора Р, алишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность S. Более того, этот поток определяется не всеми связанными зарядами, а только теми, которые охватывает поверхность S.§ 3.4.
Вектор DТеорема Гаусса для поля вектора D. Поскольку источниками поля Е являются все электрические заряды — сторонние исвязанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так:(3.15)где q и q' — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S. Появление связанных зарядов q' усложняетдело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахожде-Электрическое поле в диэлектрике77ния поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии. Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля £ через связанные заряды q', которые в свою очередь определяются неизвестным полем Е.Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд q' через поток вектора Р по формуле (3.6).
Тогда выражение(3.15) можно преобразовать к такому виду:(3.16)Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначаютбуквой D. Итак, мы нашли вспомогательный вектор D:D = Б0Е + Р,(3.17)поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхностьравен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью:D d S = ?BHyTp.(3.18)Это и есть теорема Гаусса для поля вектора D.Заметим, что вектор D представляет собой сумму двух совершенно различных величин: Б0Е И Р.
Поэтому он действительновспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокогофизического смысла. Однако свойство поля вектора D, выражаемое уравнением (3.18), оправдывает введение этого вектора: вомногих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэлектриках*.Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного.Как видно из выражения (3.17), размерность вектора D таже, что и вектора Р. Единицей величины D служит кулон наквадратный метр (Кл/м2).Величину D часто называют электрическим смещением или электрическойиндукцией, однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектора D.78Глава 3Дифференциальная форма уравнения (3.18):(3.19)т.
е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.Это уравнение можно получить из (3.18) тем же способом, как этобыло проделано в случае поля Е (см. с. 23). Достаточно в проводимыхтам рассуждениях заменить Е на D и учесть лишь сторонние заряды.В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источники поля D (р > 0), а в тех точках, где она отрицательна, — стокиполя D (р < 0).Связь между векторами D и Е. В случае изотропных диэлектриков поляризованность Р = к Б 0 Е. Подставив это соотношениев (3.17), получим D = е о (1 4- х)Е, илиD = ЕБ0Е,(3.20)где е — диэлектрическая проницаемость вещества:8=1+х.(3.21)Диэлектрическая проницаемость 8 (как и х) является основной электрической характеристикой диэлектрика.
Для всех веществ е > 1, для вакуума 8 = 1 . Значения 8 зависят от природыдиэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до многих тысяч (у некоторых керамик). Большое значение 8 имеет вода (8 = 81).Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектрикахвектор D коллинеарен вектору Е. В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны.Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий вектора D, направление и густота которых определяютсяточно так же, как и для линий вектора Е. Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и насвязанных зарядах; мы говорим, что источниками и стокамиполя Е являются любые заряды. Источниками же и стокамиполя вектора D являются только сторонние заряды: только наних могут начинаться и заканчиваться линии вектора D.
Черезобласти поля, где находятся связанные заряды, линии вектораD проходят не прерываясь.Электрическое поле в диэлектрике79Замечание о поле вектора D. Поле вектора D зависит, вообще говоря, как от сторонних, так и от связанных зарядов (каки поле вектора Е). Об этом говорит уже соотношение D = ss 0 E.Однако в некоторых симметричных случаях поле вектора Dможно определить, используя только сторонние заряды. Именно для таких случаев вектор D является особенно полезным,резко упрощая расчет.
Вместе с тем это дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле D якобы зависит всегда толькоот сторонних зарядов, и неверно трактовать законы (3.18) и(3.19). Эти законы выражают только определенное свойствополя вектора D, само же поле этого вектора они не определяют.Проиллюстрируем вышесказанное на нескольких примерах.Пример 1.
Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом а из однородного изотропного диэлектрика проницаемости 8. Найти напряженность Е поля как функциюрасстояния г от центра данного шара.Симметрия системы позволяет для решения интересующего нас вопроса использовать теорему Гаусса для вектора D (воспользоваться аналогичной теоремойдля поля Е здесь не представляется возможным, поскольку нам неизвестен связанный заряд).
Длясферы радиусом г с центром в точке нахождения заряда q можно записать: 4nr2Dr = q. Отсюда нахоРис. 3.4дим Dr и по формуле (3.20) искомую напряженность Е:1Er(r<a) = -^-±-, 2Er(r>a) = -—±ErГрафики зависимостей D(r) и Е(г) показаны на рис. 3.4.Пример 2. Пусть система состоит из точечногозаряда q > 0 и произвольного кускаоднородного изотропного диэлектрика (рис. 3.5), где S —- некотораязамкнутая поверхность. Выясним,что произойдет с полем векторов Еи D, а также с их потоками сквозьповерхность S, если диэлектрикудалить.i\+ЯРис.
3.5Глава 380В любой точке пространства поле Е обусловлено как зарядом q, так и связанными зарядами поляризованного диэлектрика. Так как в нашем случае D = ££0Е, ТО ЭТО ОТНОСИТСЯ И К полю вектора D: оно также определяется как сторонним зарядом д, так и связанными зарядами диэлектрика.Удаление диэлектрика приведет к изменению поля Е, азначит, и поля D. Изменится и поток вектора Е сквозь поверхность S, так как внутри этой поверхности исчезнут отрицательные связанные заряды. Поток же вектора Dсквозь поверхность S остается прежним, несмотря на изменение самого поля D.Пример 3.
Рассмотрим систему, в которой нет сторонних зарядов, ноимеются только связанные заряды. Такой системой можетбыть, например, шар из электрета (см. сноску на с. 69). Нарис. 3.6, а показано поле Е такой системы. Что можно сказать о соответствующем поле вектора D?Прежде всего отсутствиесторонних зарядов означает, что нет источниковполя D: линии вектора Dнигде не начинаются и нигде не кончаются.
Но полеЛинии ЕЛинии DDесть, оно показано наб)а)рис. 3.6, б. Вне шара наРис. 3.6правления линий векторовЕ и D совпадают, внутриже шара их направления противоположны: здесь соотношение D = ее0Е уже несправедливо, и D = е0Е + Р.§ 3.5. Условия на границеРассмотрим поведение векторов Е и D сначала на границераздела двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть длябольшей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора D:dS = двнутр.Электрическое поле в диэлектрике81Условие для вектора Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
