И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Подстановка в формулуW = CU2/2 выражения С = zs0S/h даетw(22h2А поскольку U/h = Е и Sh = V (объем между обкладками конденсатора), тоW = (гг0Е2/2)У = (ED/2)V.(4.8)Полученная формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V.В общей теории доказывается, что в случае неоднородногополя энергия W для изотропных диэлектриков определяетсяформулой(4.9)Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смыслэнергии, заключенной в объеме dV. Это подводит нас к весьмаважной и плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле. Данное предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей.
Толькотам встречаются явления, которые можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле. Именно переменныеполя могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в видеэлектромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию — уже это заставляетпризнать, что носителем энергии является само поле.Энергия электрического поля103Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностьюЕР2w=(4.10)Заметим, что эта формула справедлива только в случаеизотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение D = 8Б0Е.
Для анизотропных диэлектриков дело обстоитсложнее.Еще об обосновании формулы (4.9). Энергия уединенного заряженного проводника, как известно, есть W = <?Ф/2. Покажем, что это так,исходя из идеи о локализации энергии вd/^поле.Рассмотрим произвольный положитель^7У//77>^ /СгdSно заряженный проводник. Выделим мысленно бесконечно малого сечения трубку,ограниченную линиями вектора Е (рис.4.2), и в ней возьмем элементарный объемdV= dSdl. В этом объеме заключена энергияРис.
4.2Теперь найдем энергию, локализованную во всей выделенной намитрубке. Для этого проинтегрируем последнее выражение, учитывая,что произведение D dS одинаково во всех сечениях трубки, и поэтомуего можно вынести за знак интеграла:dW =?DdSф,где А — начало трубки.Остается сделать последний шаг — проинтегрировать полученноевыражение по всем трубкам, и мы найдем энергию, локализованнуюво всем поле. Принимая во внимание, что потенциал ф одинаков у торцов всех трубок (они ведь начинаются на поверхности проводника), запишемW =-£2104Глава 4где интегрирование проводится по замкнутой поверхности, совпадающей с одной из эквипотенциальных поверхностей. По теореме Гауссаэтот интеграл равен заряду q на проводнике, и мы получим окончательноW =что и требовалось доказать.Рассмотрим два примера, иллюстрирующих возможности ипреимущества, которые дает использование идеи о локализации энергии в поле.Пример 1.
Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика с проницаемостью Е. Внутренний инаружный радиусы слоя равны соответственно а и Ь. Найдем электрическую энергию, заключенную в данном диэлектрическом слое.Мысленно выделим в диэлектрике очень тонкий концентрический сферический слой радиусом от г до г +• dr.
Энергия, локализованная в этом слое:dW=где Е = д2/4яЕ0ЕГ2. Проинтегрировав предыдущее выражение по г от а до Ь, получим8ТГБ0Е ^ аЪПример 2. Найдем работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую пластинку изплоского заряженного конденсатора. Предполагается, чтозаряд q конденсатора остается неизменным и диэлектрикзаполняет все пространство между обкладками. Емкостьконденсатора без диэлектрика равна С.Работа против электрических сил в этой системе пойдет наприращение ее электрической энергии:где Wx — энергия поля между обкладками конденсаторапри наличии диэлектрика; W2 — то же, но при отсутствиидиэлектрика.
Имея в виду, что модуль вектора D не изме-Энергия электрического поля105нится в результате извлечения пластины, т. е. D2==запишемА = W9 -Dx = a,12EE0J2Сгде V = Sh и С = E0S/h; S и h — площадь каждой обкладки ирасстояние между ними.Работа поля при поляризации диэлектрика. Анализируяформулу (4.10) для объемной плотности энергии, мы замечаем,что при одном и том же значении Е величина w при наличиидиэлектрика оказывается в 8 раз больше, чем при отсутствиидиэлектрика. На первый взгляд это кажется странным: ведьнапряженность поля в обоих случаях мы поддерживаем однойи той же.
Как мы сейчас увидим, все дело в том, что при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную работу,связанную с поляризацией. И под энергией поля в диэлектрикеследует понимать всю энергию, которую нужно затратить навозбуждение электрического поля, а она складывается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы,которая совершается при поляризации диэлектрика.Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величину Б 0 Е + Р, тогдаг0Е2ЕР/А 1 1 Чw=—— +.(4.11)22Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поляЕ в вакууме.
Остается проверить, что «дополнительная» энергия ЕР/2 связана с поляризацией диэлектрика.Подсчитаем работу, которую совершает электрическое полена поляризацию единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов р'+ и р'_ соответственно по и против поля — привозрастании напряженности от Е до Е + dE. Пренебрегая членами второго порядка малости, запишем5A=p' + Edl + +p'_Edl_,где dl + и dl_ — дополнительные смещения при увеличенииполя на dE (рис. 4.3).
Учитывая, что р'_ =-р'+, получаем5A=p' + (dl + - d l _ ) E = p ' + d l - E ,106Глава4Рис. 4.3где dl = dl + - dl_ — дополнительное смещение положительных зарядов относительно отрицательных. Согласно (3.4) p'+dl = EdP, и5A = E d P .Так как Р = к Б0(4.12)Е , ТООтсюда вся работа на поляризацию единицы объема диэлектрикаА = ЕР/2,(4.13)что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11).Таким образом, объемная плотность энергии w = ED/2 включает в себя собственную энергию поля ZQE /2 И энергию ЕР/2,связанную с поляризацией вещества.2§ 4.4. Система двух заряженных телПредставим себе систему из двух заряженных тел в вакууме.Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле Е х , адругое — поле Е 2 . Результирующее поле Е = Ег + Е 2 и квадратэтой величиныЕ=JEJ + xi*2 ~t" ^ E j E 2 •Поэтому полная энергия W данной системы согласно (4.9)равна сумме трех интегралов:W = Р^-дУ + J ^ d K + JeoE^dF,(4.14)что совпадает с формулой (4.5) и раскрывает полевой смыслвходящих в нее слагаемых.
Первые два интеграла в (4.14) представляют собой собственную энергию первого и второго заря-Энергия электрического поля107женных тел (Wx и W2), последний интеграл — энергию их взаимодействия (W12).Отметим следующие важные обстоятельства в связи с формулой (4.14).1.
Собственная энергия каждого заряженного тела — величина существенно положительная. Положительной являетсявсегда и полная энергия (4.9) — это сразу видно из того, чтопод интегралом находятся существенно положительные величины. Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.2. При всех возможных перемещениях заряженных тел, неизменяющих конфигурации зарядов на каждом теле, собственная энергия тел остается постоянной, и поэтому ее можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергииW. В этих случаях изменения W определяются всецело толькоизменениями взаимной энергии W 1 2 .
В частности, именно такведет себя энергия системы двух точечных зарядов при изменении расстояния между ними.3. В отличие от вектора Е энергия электрического поля —величина не аддитивная, т. е. энергия поля Б, являющегосясуммой полей Ег и Е 2 , вообще говоря, не равна сумме энергийобоих полей из-за взаимной энергии W12. В частности, при возрастании всюду Еъп раз энергия поля увеличивается в п2 раз.§ 4.5. Силы при наличии диэлектрикаЭлектрострикция. Опыт показывает, что на диэлектрик вэлектрическом поле действуют силы (их иногда называют пондеромоторными). Эти силы возникают и в тех случаях, когдадиэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновенияявляется в конечном счете действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поледействует сила, направленная в сторону возрастания данногополя). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика.Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется.
Это явление называют элект-108Глава 4рестрикцией. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механические напряжения.Все это приводит к тому, что на проводник» находящийся вполяризованном диэлектрике, действует не только электрическая сила, зависящая от зарядов на проводнике, но и дополнительная механическая сила со стороны диэлектрика. В общемслучае влияние диэлектрика на результирующую силу, испытываемую проводником, не может быть учтено никакими простыми соотношениями, и задача вычисления сил с одновременным исследованием механизма их возникновения, как правило, оказывается весьма сложной. Однако во многих случаяхэти силы можно вычислить достаточно просто без детальногоанализа их происхождения — с помощью закона сохраненияэнергии.Энергетический метод определения сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
