И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этот метод является наиболее общим. Он позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил, автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические) и поэтому приводитк правильному результату.Покажем, в чем суть энергетического метода расчета сил.Наиболее просто обстоит дело в случае, когда заряженные проводники отключены от источников напряжения. В этом случаезаряды на проводниках остаются постоянными, и мы можемутверждать, что работа А всех внутренних сил системы примедленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии W системы (или ее поля).
Здесь предполагается, что при указанных перемещениях не происходит преобразования электрическойэнергии в другие формы, или, точнее, считается, что такие преобразования пренебрежимо малы. Таким образом, для бесконечно малых перемещений можно записать5A=-dW\q,(4.15)где символ q подчеркивает, что убыль энергии системы должнабыть вычислена при постоянных зарядах на проводниках.Уравнение (4.15) является исходным для определения сил,действующих на проводники и диэлектрики в электрическомполе. Делается это, например, так.
Пусть нас интересует сила,Энергия электрического поля109действующая на данное тело (проводник или диэлектрик). Совершим бесконечно малое поступательное перемещение dx этого тела в интересующем нас направлении X. Тогда работа искомой силы F на перемещении Ах есть dA = Fxdx> где Fх — проекция силы F на положительное направление оси X. Послеподстановки последнего выражения для dA в (4.15) и деленияна dx получимFx=-dW/dx\q.(4.16)Следует обратить внимание вот на что. Сила, как известно,зависит только от положения тел и распределения зарядов вданный момент. Она не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический процесс ц том случае, если системапридет в движение под действием сил.
А это значит, что длявычисления Fх по формуле (4.16) нет надобности подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды проводниковоставались бы постоянными (q = const). Надо просто найти приращение dW при условии, что q = const, а это — чисто математическая операция.Заметим, что если перемещения проводить при постоянномпотенциале на проводниках, то соответствующий расчет приводит к другой формуле для силы: Fx = +dW/dx\y. Однако — и этоважно — результат расчета Fx по этой формуле или по (4.16)оказывается одинаковым, как и должно быть. Поэтому мыограничимся в дальнейшем использованием только формулы(4.16) и будем применять ее для любых условий, включая и такие, где при малых перемещениях q* const.
Нас это не должносмущать: производную dW/dx мы в подобных случаях будемвычислять при q = const.Пример. Найдем силу, действующую на одну из обкладок плоскогоконденсатора в жидком диэлектрике, если расстояние междуобкладками Л, емкость конденсатора в этих условиях С и нанем поддерживается напряжение U.В данном случае при мысленном раздвижении обкладок постоянным оказывается напряжение U, а заряд q конденсатораменяется (это видно из соотношения С = q/U). Несмотря наэто, расчет силы мы будем проводить в предположении, чтоq — const, т. е.
по формуле (4.16). Здесь наиболее подходящимНОГлава 4выражением для энергии конденсатора является следующее:Wx,2С2ee 0 Sгде s — проницаемость диэлектрика, S — площадь каждойобкладки, х — расстояние между ними (х = Л).-ЯFx + dxхВыберем далее положительное направление оси X, как показано на рис. 4.4.Согласно (4.16) сила, действующая наверхнюю обкладку конденсатора:ewОдх22ee 0 S(1)Рис. 4.4Здесь знак минус указывает на то, чтовектор F направлен в отрицательную сторону оси X, т. е.
силаимеет характер притяжения. Учитывая, что q = oS = DS == EEQES И Е = U/h, преобразуем (1) к видуFx=-CU2/2h.Силы в жидком диэлектрике. Из формулы (1) предыдущегопримера видно, что сила взаимодействия обкладок плоскогоконденсатора в жидком диэлектрике в Б раз меньше, чем в вакууме (где Б = 1). Этот результат, как показывает опыт, можнообобщить: при заполнении всего пространства, где есть электрическое поле, жидким или газообразным диэлектриком силывзаимодействия между заряженными проводниками (при неизменных зарядах на них) уменьшаются в Б раз:F = Fo/s.(4.17)Отсюда следует, что два точечных заряда qx и д 2 , находящиеся на расстоянии г друг от друга внутри безграничного жидкого или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой(4.18)ОБГт. е.
тоже в Б раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выражает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэлектрике.Энергия электрического поля111Следует обратить особое внимание на то, что в последнем законе под точечными подразумеваются сторонние заряды, сосредоточенные на макроскопическихтелах, размеры которыхмалы по сравнению с расстоянием между ними. Таким образом, закон (4.18) в отличие от закона Кулона в вакууме имеетвесьма ограниченную область применения: диэлектрик долженбыть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообразным, а взаимодействующие тела — точечными в макроскопическом смысле.Интересно, что в однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, какнапряженность Е, так и сила F, действующая на точечный заряд q, в Е раз меньше Е о и F o при отсутствии диэлектрика.
А этозначит, что сила F, действующая на точечный заряд qy определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме:F = gE,(4.19)где Е — напряженность поля в диэлектрике в том месте, кудапомещают сторонний заряд q. Только в этом случае по силе Fформула (4.19) позволяет определить поле Е в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд — он сосредоточен на каком-то небольшом теле — будет действовать другое поле — не то, что в самом диэлектрике. И тем не менее, формула (4.19) дает, как это ни удивительно, верный результат.Поверхностная плотность силы. Речь пойдет о силе, действующей на единицу поверхности заряженного проводника вжидком или газообразном диэлектрике.
Рассмотрим с этой целью плоский конденсатор в жидком диэлектрике. Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения — чтобы заряд конденсатора и поле Е внутри него не менялись прираздвигании обкладок.Вернемся к рис. 4.4. Энергия конденсатора — это энергияполя внутри него. В соответствии с (4.9) она равна W = (ED/2)Sx,где S — площадь каждой обкладки, х — расстояние между ними(Sx — объем, занимаемый полем). Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку,Fx = - dW/dx | = -EDS/2,112Глава 4откуда поверхностная плотность силыED2(4.20)Мы получили интересный и важный результат, имеющийобщий характер (в жидком или газообразном диэлектрике).Оказывается, поверхностная плотность силы, действующей напроводник, равна объемной плотности электрической энергиивблизи поверхности.
Направлена эта сила всегда по нормали кповерхности, причем наружу проводника (стремясь его растянуть) независимо от знака поверхностного заряда.Задачи4.1. Энергия взаимодействия. Точечный заряд q находится на расстоянии I от безграничной проводящей плоскости. Найти энергиювзаимодействия W этого заряда с зарядами, индуцированными наплоскости.Решение. Мысленно «заморозим» распределенный по плоскостизаряд, и в этих условиях переместим точечный заряд q в бесконечность. Заряд q при этом будет перемещаться в потенциальномполе, которое эквивалентно полю неподвижного точечного фиктивного заряда -q, расположенного на неизменном расстоянии Iпо другую сторону от плоскости. И мы сразу можем написать214.2. Собственная, взаимная и полная энергии.
Система состоит издвух концентрических металлических оболочек радиусами Rx иR2 с соответствующими зарядами qx и q2. Найти собственную энергию Wx и W2 каждой оболочки, энергию WB3 взаимодействия оболочек и полную электрическую энергию W данной системы, еслиД2 >*i-Решение. Собственная энергия каждой оболочки согласно (4.6)равна дф/2, где ф — потенциал оболочки, обусловленный толькозарядом q на ней, т. е. ф = д/4яео#, где R — радиус оболочки.
Таким образом, собственная энергия каждой оболочки4тге0Энергия электрического поля113Энергия же взаимодействия заряженных оболочек равна заряду qодной из них, умноженному на потенциал ф, который создает заряд другой оболочки в месте нахождения заряда q: WM = gcp.В нашем случае (R2 > Rx)4яе 0 R24яе 0 R2Полная электрическая энергия системыw = w, + w, + w_.( Яг , я1 , Я1Я2]2R2RRR4ЯЕ 0 [2R[2R1224.3. Два небольших металлических шарика радиусами Rx и R2 находятся в вакууме на расстоянии, значительно превышающем ихразмеры, и имеют некоторый определенный суммарный заряд.При каком отношении qi/q2 зарядов на шариках электрическаяэнергия системы будет минимальной? Какова при этом разностьпотенциалов между шариками?Решение. Электрическая энергия данной системыw = wi + w2 + w12 =1212(4neo{2R1+2R2где W1 и W2 — собственные электрические энергии шариков(дф/2); W12 — энергия их взаимодействия (g x 9 2 или g29i)» l — Р а с *стояние между шариками.
Так как q2 = q - qv где q — суммарныйзаряд системы, тоw = —4[2R2Энергия W будет минимальной при dW/dqx = 0. ОтсюдаЯг * ЯRi—xvj + Ё\>2иЯггде учтено, что Rx и Д 2 значительно меньше /. Таким образомПотенциал каждого шарика (их можно рассматривать как изолированные) ф со q/R, поэтому из предыдущего равенства следует,что фх = ф 2 , т. е. разность потенциалов при таком распределенииравна нулю.Глава 41144.4. Локализация энергии в поле. Заряд q распределен равномерно пообъему шара радиусом R.
Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти собственную электрическуюэнергию шара и отношение энергии Wv локализованной внутришара, к энергии W2 в окружающем пространстве.Решение. Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса полевнутри и вне шара:г-Я:r(r<R); £ 2 = - 2 _ i -Теперь вычислим собственную электрическую энергию шара:WW2Отсюда следует, чтоW =4яе 0W2Интересно, что отношение Wl/W2 не зависит от радиуса шара.4.5. Имеется сферическая оболочка, заряженная равномерно зарядомq. В центре ее расположен точечный заряд q0. Найти работу электрических сил этой системы при расширении оболочки — увеличении ее радиуса от Rx до R2.Решение.
Работа электрических сил равна убыли электрическойэнергии системы:A-Wx-W2.Чтобы найти разность Wx - W2 , заметим, чтопри расширении оболочки (рис. 4.5) электрическое поле, а следовательно, и локализованная в нем энергия изменились только в заштрихованном сферическом слое. Значит,E2= J—( iРис. 4.5-E 2 )4nr dr,2где Ег и Е2 — напряженность поля (в заштрихованном слое нарасстоянии г от центра системы) до и после расширения оболочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
