И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомнений. В более общем случае объемного распределения тока уженельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или расположение подводящих к интересующему нас проводнику проводов, или конфигурация тока.В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивлениеД=Р-^,(5.9)где I — длина проводника; S — площадь его поперечного сечения; р — удельное электрическое сопротивление. Последнеезависит от материала проводника и его температуры. Выражают р в ом-метрах (Ом-м).Значения удельного электрического сопротивления для наиболее хороших проводников (медь, алюминий) составляют при8комнатной температуре несколько единиц на 10~ Ом-м.Закон Ома в локальной форме.
Найдем связь между плотностью тока j и полем Е в одной и той же точке проводящей среды. Ограничимся случаем изотропного проводника, в которомнаправления векторов j и Е совпадают.Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору j , а значит, и вектору Е. Еслипоперечное сечение цилиндра dS, а его длина dZ, то на основании (5.8) и (5.9) можно записать для такого элементарного ци-Постоянный электрический ток123линдраpdl/dSи после соответствующих сокращений получим, уже в векторном виде,(5.10)где а = 1/р — удельная электропроводимость среды. Единицу, обратную ому, называют Сименсом (См), поэтому единицейа является сименс на метр (См/м).Таким образом, соотношение (5.10) устанавливает связьмежду величинами, относящимися к одной и той же точке проводящей среды.
Именно поэтому и говорят, что соотношение(5.10) выражает локальный закон Ома.Способы вычисления сопротивления R. Существует несколько таких способов, и все они, в конечном счете, основаны наиспользовании соотношений (5.8) - (5.10). Целесообразностьприменения того или иного способа в каждом случае зависит отконкретной постановки задачи и от характера ее симметрии.Как это практически делается, показано на примерах задач5.1-5.3 и 5.6.О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный,то избыточный заряд внутри однородного проводника всюдуравен нулю.
В самом деле, для постоянного тока справедливоуравнение (5.5). Перепишем его с учетом закона (5.10) в виде(j)aEdS=O,где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности Sвнутри проводника. Для однородного проводника величину aможно вынести из-под интеграла:Оставшийся интеграл согласно теореме Гаусса пропорционален алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхности S, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой124Глава 5поверхности. Но из последнего равенства сразу видно, что этотинтеграл равен нулю (ибо сг Ф 0), а значит, равен нулю и избыточный заряд.
В силу произвольности поверхности S мы заключаем, что избыточный заряд в этих условиях всюду внутри проводника равен нулю.Избыточный заряд может появиться только на поверхностиоднородного проводника, в местах соприкосновения с другимипроводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.Электрическое поле проводника с током. Итак, при протекании тока на поверхности проводника (область неоднородности)выступает избыточный заряд, а это означает согласно (2.2), чтоснаружи проводника имеется нормальнаяЕп[2\Есоставляющая вектора Е.
Далее, из непрерывности тангенциальной составляющейвектора Е мы приходим к выводу о наличии и тангенциальной составляющей этоговектора вблизи поверхности проводника.Таким образом, вектор Е вблизи поверхности проводника составляет (при наличиитока) с нормалью к ней некоторый не равный нулю угол а (рис. 5.1).И еще. Если токи стационарны, то распределение электрических зарядов в проводящей среде (вообще говоря, неоднородной) не меняется во времени, хотя и происходит движение зарядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывнопоступают новые.
Эти движущиеся заряды создают такое жекулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигурации. Стало быть, электрическое поле стационарных токов —поле потенциальное.Вместе с тем электрическое поле в случае стационарных токов существенно отличается от электростатического — кулоновского поля неподвижных зарядов. Последнее внутри проводников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическоеполе у стационарных токов есть также кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в движении.
Поэтомуполе Е у стационарных токов существует и внутри проводниковс током.Постоянный электрический ток125§ 5.3. Обобщенный закон ОмаСторонние силы. Если бы все действующие на носители токасилы сводились к силам электростатического поля, то под действием этих сил положительные носители перемещались бы измест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители двигались бы в обратном направлении. Это вело бы к выравниванию потенциалов, и в результате все соединенные между собой проводники приобрели быодинаковый потенциал — ток прекратится.
Иными словами,при наличии лишь кулоновских сил стационарное поле должно быть полем статическим.Чтобы этого не произошло, в цепи постоянного тока нарядус участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала ф, должны иметься участки, накоторых перенос положительных носителей происходит в сторону возрастания ф, т. е против сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен лишь с помощью силне электростатического происхождения.
Это так называемыесторонние силы.Таким образом, для поддержания постоянного тока необходимы сторонние силы, действующие либо на отдельных участках цепи, либо во всей цепи. Физическая природа стороннихсил может быть весьма различной. Они могут быть обусловлены, например, химической и физической неоднородностьюпроводника — таковы силы, возникающие при соприкосновении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др.Обобщенный закон Ома. Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятия поля сторонних сил и его напряженности Е*. Этот вектор численно равен сторонней силе,действующей на единичный положительный заряд.Теперь обратимся к плотности тока.
Если под действиемэлектрического поля Е в проводнике возникает ток плотностиj = аЕ, то очевидно, что под совместным действием поля Е иполя сторонних сил Е* плотность тока(5.11)126Глава 5Это уравнение обобщает закон (5.10) на случай неоднородных участков проводящей среды. Оно выражает обобщенныйзакон Ома в локальной форме.Закон Ома для неоднородного участка цепи. Неоднороднымназывают участок цепи, на котором действуют сторонние силы.Рассмотрим частный, но практически важный случай, когдаэлектрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случаенаправление тока будет совпадать с направлением оси проводаи плотность тока у может считаться одинаковой во всех точкахсечения провода.
Пусть площадь сечения провода равна <S, причем S может быть и не одинаковой по длине провода.Разделим уравнение (5.11) на а, полученное выражение умножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направлению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положительное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 досечения 2:2.,,22= jEdl+ jE*dl.(5.12)Преобразуем подынтегральное выражение у первого интеграла: заменим а на 1/р и j dl на jt dl, где jt — проекция вектора jна направление вектора dl. Далее учтем, что jt — величина алгебраическая; она зависит от того, как направлен вектор j поотношению к dl: если j TT dl, то jt >0, если же j i t dl, то jt < 0.И последнее, заменим jt на I/S, где / — сила тока, величинатоже алгебраическая (как и jt).
Поскольку для постоянноготока / одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можновынести за знак интеграла. В результате получимВыражение pdl/S определяет не что иное, как сопротивление участка цепи длиной dl, а интеграл от этого выражения —полное сопротивление R участка цепи между сечениями 1 и 2.Теперь обратимся к правой части (5.12). Первый интегралздесь — это разность потенциалов срх - ср2, а второй интегралпредставляет собой электродвижущую силу (э.д.с.) £, действу-Постоянный электрический ток127ющую на данном участке цепи:212=jE*dZ.(5.14)1Эта величина, как и сила тока /, является алгебраической:если э.д.с. способствует движению положительных носителейтока в выбранном направлении, то £ 12 > 0, если же препятствует, то £12 < 0.После всех указанных преобразований уравнение (5.12) будет иметь следующий вид:RI = ф 2 - ф 2(5.15)где, напомним, положительным считается направление от точки 2 к точке 2.Это уравнение выражает закон Ома для неоднородного участка цепи, в отличие от уравнения (5.11), представляющеготот же закон в локальной форме.Пример.
Рассмотрим участок цепи, показанный на рис. 5.2. Сопротивление отлично от нуля только наотрезке R. На нижней части рисунка представлен ход потенциала ф вдоль данного участка. Выясним, что здесь происходит.Из того факта, что потенциал наотрезке R уменьшается слева направо, следует, что / > 0, т. е.ток течет в положительном нарисправлении (от 1 к 2), В данномслучае уг < ф2, но ток течет от точки 1 к точке 2 — в сторонубольшего значения потенциала. Это возможно лишь потому,что на данном участке имеется э.д.с. & действующая в положительном направлении (от 1 к 2).Вернемся к (5.15).
Из этого уравнения следует, что для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают, ф2 = ф2 и оно приобретаетболее простой вид:Ш =&(5.16)128Глава 5где R представляет собой уже полное сопротивление замкнутойцепи, а £ — алгебраическую сумму отдельных э.д.с. в даннойцепи.Далее представим себе участок цепи, содержащий сам источник э.д.с, — между его клеммами 1 и 2. Тогда в уравнении(5.15) для выбранного нами участка R — это внутреннее сопротивление источника, а фх - ф2 — разность потенциалов на егоклеммах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
