И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если источник разомкнут, то / = 0 и £ = ф2 - фх, т. е.э.д.с. источника можно определить как разность потенциаловна его клеммах в разомкнутом состоянии.Разность потенциалов на клеммах данного источника э.д.с,замкнутого на внешнее сопротивление, всегда меньше его э.д.сОна зависит от внешней нагрузки.Пример. Внешнее сопротивление цепи в rj раз больше внутреннего сопротивления источника.
Найдем отношение разности потенциалов на клеммах источника к его э.д.с.Пусть Rt — внутреннее сопротивление источника, a Ra —внешнее сопротивление цепи. Согласно уравнению (5.15)Ф2 - Ф1 = &-RiI, согласно же (5.16) {Rt 4- Ra)I = £. Из этих двухуравнений получимФз ~ Фх _ -RJ _ -Ri_Ra_ лОтсюда видно, что чем больше х\, тем больше приближаетсяразность потенциалов на клеммах источника к его э.д.с, инаоборот.В заключение полезно привести наглядную картину, позволяющую лучше уяснить, что происходит в замкнутой цепи постоянного тока. На рис 5.3 показано распределение потенциала ф вдоль замкнутойцепи, содержащей источник э.д.с на участке АВ. Потенциал ф для наглядности отложен вдоль образующих цилиндрической по^—верхности, которая опирается на контур сАтоком.
Точки А и В соответствуют положиРис. 5.3тельной и отрицательной клеммам источника Из рисунка видно, что процесс протекания тока можно представить себе так: положительные заряды-носители «соскальзывают» по наклонному «желобу» от точ-Постоянный электрический ток129ки фЛ к точке ф в — по внешнему участку цепи, внутри же источника «подняться» от точки ф в к точке фА им помогают сторонние силы, обозначенные стрелкой.§ 5.4. Разветвленные цепи.
Правила КирхгофаРасчет разветвленных цепей, например нахождение токовв отдельных ее ветвях, значительно упрощается, если пользоваться двумя правилами Кирхгофа.Первое правило Кирхгофа — оно относится к узлам цепи,т. е. к точкам ее разветвления: алгебраическая сумма токов,сходящихся в узле, равна нулю:(5.17)При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков, например: первые — положительными, вторые — отрицательными(или наоборот — это не существенно).
Применительно к рис. 5.4 уравнение (5.17) запишется так:Рис. 5.4-UУравнение (5.17) является следствием условия стационарности(5.5); если бы это было не так, в узле изменялся бы заряд итоки не были бы стационарными.Второе правило Кирхгофа — оно относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме э.д.с, действующих в этомконтуре:^IkRk=££*.(5.18)Для доказательства этого правила достаточно рассмотретьслучай, когда выделенный контур состоит из трех участков(рис. 5.5).
Зададим направление обхода, например, по часовойстрелке, как показано на рисунке. Затем применим к каждому5—3947Глава 5из трех участков закон Ома (5.15):1гКг =q>2-q>3 + £i>I2R2 = Фз ~" Ф1 + $2>I3R3 = Ф1 - Ф2 + изРис. 5.5Сложив эти равенства, приходим послесокращения всех потенциалов к формуле (5.18), т. е. ко второму правилу Кирхгофа.Таким образом, уравнение (5.18) является следствием законаОма для неоднородных участков цепи.Составление системы уравнений. Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную системуалгебраических уравнений, из которой могут быть найдены,например, все неизвестные токи.Уравнений (5.17) и (5.18) надо составлять столько, чтобы ихчисло было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других:1) если в разветвленной цепи имеется N узлов, то независимыеуравнения типа (5.17) можно составить лишь для N- 1 узлов;уравнение для последнего узла будет следствием предыдущих;2) если в разветвленной цепи можно выделить несколькозамкнутых контуров, то независимые уравнения типа (5.18)можно составить только для тех контуров, которые не получаются в результате наложения уже рассмотренных.
Например,для цепи (рис. 5.6) такие уравнения для контуров 124 и 234 будут независимыми. Уравнение же для контура 1234 являетсяследствием двух предыдущих. Можно, , ..составить независимые уравнения длядвух других контуров, например дляконтуров 124 и 1234, но тогда уравнение для контура 234 будет следствиемдвух первых. Число независимыхуравнений типа (5.18) оказываетсяравным наименьшему числу разрывов,которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все контуры.Это число, кстати, равно числу областей, ограниченных про-Постоянный электрический ток131водниками, если схему удастся изобразить на плоскости без пересечений.Например, для цепи (рис.
5.7), содержащей четыре узла,надо составить три уравнения типа (5.17) и три уравнения типа(5.18), ибо минимальное число разрывов(они помечены крестиками), нарушающеевсе контуры, равно трем (трем равно и число областей). Если неизвестными являютсятоки, то их число равно шести — по числуотдельных участков между узлами, что соответствует числу независимых уравнений.Рис. 5.7При составлении уравнений типа (5.17) и(5.18) необходимо поступать так. 1. Обозначить стрелками предположительные направлениятоков, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить.Если в результате вычисления окажется, что такой-то ток положителен, то это значит, что его направление выбрано правильно.
Если же ток окажется отрицательным, то его истинноенаправление противоположно направлению стрелки.2. Выбрав произвольно замкнутый контур, все его участкиследует обойти в одном направлении, например по часовойстрелке. Если предположительное направление некотороготока совпадает с выбранным направлением обхода, то соответствующее слагаемое IR в уравнении (5.18) надо брать со знакомплюс, если же эти направления противоположны, то со знакомминус. Аналогично следует поступать и с £: если какая-то э.д.с.£ повышает потенциал в направлении обхода, ее надо брать сознаком плюс, в противном случае — со знаком минус.Пример.
Найдем силу тока и его направлениечерез сопротивление R в схеме (рис.5.8). Все сопротивления и э.д.с. предполагаются известными.Здесь три участка, следовательно, тринеизвестных тока /, /х и /2. Обозначимстрелками (не задумываясь) их предположительные направления (у правого узла).Рис.
5.8132Глава 5Цепь содержит N = 2 узла. Значит, независимых уравненийтипа (5.17) только одно:/ + 1г + / 2 - 0.Теперь составим уравнения типа (5.18) — их должно бытьдва (по числу областей). Возьмем контур, содержащий R и Rvи контур с R и R2. Выбрав направление обхода каждого контура по часовой стрелке, запишем-IR + / Л - -ft,-IR + I2R2 - -fe.Полезно убедиться, что соответствующее уравнение для контура, содержащего Rx и R2, является следствием этих двух.Решив систему написанных трех уравнений, получимRR2Если после подстановки числовых значений окажется, чтоI > О, то это значит, что в действительности ток течет так,как мы предположили на рис.
5.8, если же / < 0, то в противоположном направлении.§ 5.5. Закон Джоуля—ЛенцаС прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников). Наша задача — найти количество теплоты,выделяющееся за единицу времени на определенном участкецепи. Здесь возможны два случая, которые мы и рассмотримпоследовательно, — однородный и неоднородный участкицепи. В основу решения этого вопроса мы возьмем закон сохранения энергии и закон Ома.Однородный участок цепи.
Пусть интересующий нас участок заключен между сечениями 1 и 2 проводника (рис. 5.9).Найдем работу, которую совершают силы поля над носителямитока на участке 12 за время dt.Если сила тока в проводнике равна/, то за время dt через каждое сечениепроводника пройдет заряд dg = / dt. Вчастности, такой заряд dg войдетвнутрь участка через сечение 1 и такой же заряд выйдет из этого участкаПостоянный электрический ток133через сечение 2. Так как распределение зарядов в проводникеостается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда dq от сечения 1 к сечению 2, имеющих потенциалы ф1 и ф2.Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля8А = dq((px - ф2) = Дф1 - ф2)<1*.Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой работе энергия должна выделяться в иной форме.
Бели проводник неподвижен и в нем не происходят химические превращения, то эта энергия должна выделяться в форме внутренней(тепловой) энергии, в результате чего проводник нагревается.Механизм этого превращения достаточно прост: носители тока(например, электроны в металлах) в результате работы силполя приобретают дополнительную кинетическую энергию изатем расходуют ее на возбуждение колебаний решетки пристолкновении с ее узлами-атомами.Итак, согласно закону сохранения энергии элементарная работа 8А = Qdt, где Q — теплота, выделяемая в единицу времени(тепловая мощность).
Из сравнения последнего равенства с предыдущим получаемQ = Дфх - ф2).А так как по закону Ома фх - ф2 = Ш, тоQ =RI2.(5.19)Эта формула выражает известный закон Джоуля—Ленца.Получим выражение этого закона в локальной форме, характеризующей выделение теплоты в различных местах проводящей среды. Для этой цели выделим в данной среде элементарный объем в виде цилиндрика с образующими, параллельными вектору j — плотности тока в данном месте. Пустьпоперечное сечение цилиндрика dS, а его длина dl. Тогда наосновании закона Джоуля-Ленца в этом объеме за время dt выделяется количество теплоты5Q = RI2dt = P^-(jdS)2 dt = pj2dVdt9dS134Глава 5где dV = &S dl — объем цилиндрика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
