И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть радиус контура г, тогда по теореме о циркуляции В • 2яг = \IQNI, откуда следует, что внутритороидаВ - (цо/2я)ЛГ//г.(6.21)Из сравнения (6.21) с (6.18) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N1, текущеговдоль оси ОО'. Устремив N и радиус тороида R к бесконечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (6.20) для магнитного поля бесконечнодлинного соленоида.Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает, поэтому для такого контура Б-2яг = 0. Это значит, что вне тороида магнитное полеотсутствует.В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линиитока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось ОО' тороида.
У реального тороида линии тока (витки) не лежат строго в этих плоскостях,поэтому имеется составляющая тока вокруг оси ОО'. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичноеполю кругового тока.Пример 4. Магнитное поле плоскости с током. Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одногонаправления. На рис. 6.10 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено крестиками).Введем понятие линейной плотности токакак вектор i, направленный вдоль линийтока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходящийся на единицу длины,Рис. 6.10которая играет роль «поперечного сечения».Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить, что результирующее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем справа отплоскости — вниз, слева — вверх (см.
рис. 6.10). Эти направления легко установить по правилу правого винта.Магнитное поле в вакууме157Для определения индукции поля В воспользуемся теоремой о циркуляции вектора В. Зная, как расположены вэтом случае линии вектора В, выберем контур в виде прямоугольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции2В1 = \л0И, где / — длина стороны контура, параллельнойплоскости с током. Из последнего равенства находим:В = pol/2.(6.22)Из полученной формулы видно, что магнитное поле как содной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара.
Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля вэтих примерах, не должна создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрическогополя, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора В, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурациитока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказываетсябеспомощной.
Здесь конфигурация магнитного поля, несмотря навроде бы хорошую симметрию, не позволяет, однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.§ 6.5. Дифференциальная форма основныхзаконов магнитного поляДивергенция поля В. Теорема Гаусса (6.14) для поля В в дифференциальной форме имеет видVB=0,(6.23)т.
е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем,что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Маг-158Глава 6нитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природенет), а электрические токи.Закон (6.23) является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме, расширяющей ее возможности какинструмента исследования и расчета.С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к площади S, ограниченной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S -> О, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором п нормали к плоскости контура, причем направление псвязано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.Предел, получаемый при указанной операции, представляет собойскалярную величину, которая ведет себя как проекция некотороговектора на направление нормали п к плоскости контура, по которомуберется циркуляция.
Этот вектор называют ротором поля В и обозначают символом rot В. Таким образом,(го1В)Л,(6.24)где справа СТОИТ проекция вектора rot В на нормаль п.Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор rot В, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля вданной точке. Направление вектора rot В определяется тем направлением нормали п к площадке S, при котором достигается максимальноезначение величины (6.24), являющееся одновременно модулем вектора rot В.В математике получают выражение для rot В в координатном представлении.
Для наших целей важно другое: оказывается, формальноrot В можно рассматривать как векторное произведение оператора Vна вектор В, т. е. как V х В. Мы будем пользоваться последним, болееудобным обозначением: оно сразу же позволяет записать векторноепроизведение V х В с помощью определителя:VxB = д/дх д/ду д/дгВхВуЕ(6.25)Магнитное поле в вакууме159где ех, еу, е2 — орты осей декартовых координат. Данное выражениесправедливо для ротора не только поля В, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля Е.Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора В.
Согласно(6.24) уравнение (6.17) можно представить в виде= Ио7п>или (V х В) л = ц ^ . Отсюда(6.26)Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора В.Видно, что ротор поля В совпадает по направлению с вектором j —плотностью тока в данной точке, а мЪдуль V х В равен Цру.В электростатическом поле циркуляция вектора Е равна нулю, поэтомуVxE=O.(6.27)Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в противном случае поле является соленоидалъным.
Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное.§ 6.6. Сила АмпераЗакон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действиемагнитной силы. Действие этой силы передается проводнику,по которому заряды движутся. В результате магнитное поледействует с определенной силой на сам проводник с током.Найдем эту силу.Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителемтока (электроны в металле, например), равна р. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный р dV. Тогда сила, действующая наэлемент d F проводника, может быть записана по формуле (6.1)в видеdF = p[uB]dF,где и — скорость упорядоченного движения зарядов.160Глава 6Так как j = pu, тоdF = [jB]dF.(6.28)Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.8)F = /dl иdF = /[dl, В],(6.29)где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.Формулы (6.28) и (6.29) выражают закон Ампера.
Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот илииной объем проводника или его линейный участок.Силы, действующие на токи в магнитном поле, называютамперовыми или силами Ампера.Пример. Сила взаимодействия параллельных токов. Найдем амперовусилу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами 1Х и /2, если расстояние между проводами равно Ъ.
Расчет силы произведемна единицу длины этой системы.Каждый элемент тока / 2 находится в магнитном поле тока Il9а именно в поле Вг = (цо/4я)2/1/& согласно (6.18). Угол междуэлементом тока / 2 и вектором В х прямой, поэтому, как следует из формулы (6.29), на единицу длины проводника с током/2 действует сила jFefl = /2.Bi, илио г г(6.30)Для силы, действующей на единицу длины проводника с током 1Х, получается, разумеется, то же выражение.И последнее.
Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаковонаправленные, притягиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитнойсиле. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников. Поэтому, еслиговорить о полной силе взаимодействия между проводами, тоМагнитное поле в вакууме161она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотношения магнитной и электрическойсоставляющих полной силы (см. задачу 6.7).Сила, действующая на контур с током. Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитномполе, определяется в соответствии с (6.29) какF=J(J>[dl,B],(6.31)где интегрирование проводится по данному контуру с током I.Бели магнитное поле однородно, то вектор В можно вынестииз-под интеграла и задача сводится к вычислению векторногоинтеграла j>dl. Этот интеграл представляет собой замкнутуюцепочку элементарных векторов dl, поэтому он равен нулю.Значит, и F = 0, т.
е. результирующая амперова сила равнанулю в однородном магнитном поле.Если же магнитное поле неоднородно, то результирующаясила (6.31), вообще говоря, отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения (6.31).Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когдаконтур с током плоский и его размеры достаточно малы. Такойконтур с током называют элементарным.Поведение элементарного контура с током удобно описыватьс помощью магнитного момента р т .
По определениюРш = ISn,(6.32)где / — ТОК; S — площадь, ограниченная конA Anтуром; п — нормаль к контуру, направлениекоторой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 6.11). В магнитном отношении элементарный контур стоком вполне характеризуется его магнитныммоментом р т .Рис. 6.11Довольно кропотливый расчет по формуле(6.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:F-p6—3947^(6.33)162Глава 6где рт — модуль магнитного момента контура; дВ/дп — производная вектора В по направлению нормали п или по направлению вектора р т . Последнее выражение аналогично (1.39) длясилы, действующей на электрический диполь в электрическомполе.Из формулы (6.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо дВ/дп = 0;2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни свектором В, ни с вектором р т ; вектор F совпадаетлишь с направлением элементарного/о#приращения вектора В, взятого в направлении вектора р т в месте расположения контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
