И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 28
Текст из файла (страница 28)
6.26). Из рисунка видно,что момент соответствующей импары силdN = 2xtgq>dF,(D174Глава 6где элементарная сила Ампера(2)dF=IdlB.Зависимость магнитной индукции В от расстояния г до прямогопровода находим с помощью теоремы о циркуляции:В - цо//2яг.(3)Теперь подставим (3) в (2), затем (2) в (1) и, учитывая, что d/ = drи х = г совф, проинтегрируем полученное выражение по г от а доЬ.
В результате найдемN = (цо/п)Ио(Ь - a) sin(p,причем вектор N направлен влево (см. рис. 6.26).6.9. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент р т , находится на оси кругового витка радиусом R, по которому течет ток /. НайтиIртсилу F, действующую на катушку,*если ее расстояние от центра виткаравно I, а вектор р т ориентирован,как показано на рис.
6.27.Рис. 6.27Решение.Искомаясиласогласно(6.33) определяется так:(1)г=Ртдв/дп,где В — магнитная индукция поля, создаваемого витком в местенахождения катушки. Выберем ось Z в направлении вектора р т ,тогда проекция (1) на эту ось будет иметь видFz = Pm.dBz/dz =pmdB/dz,где учтено, что при заданном направлении тока в витке Вг = В.Магнитная индукция В определяется формулой (6.12), откуда8Вdz3\L0R2Il22 2(l + R2f/2'Вследствие того что дВ/дг < 0, проекция силы F2 < 0, т. е. векторF направлен в сторону витка с током /. В векторном виде полученный результат можно представить так:F-».2 2(/2Магнитное поле в вакууме175Заметим, что если бы вектор р т (а значит, и ось Z) был направленв противоположную сторону, то Вг = -В и dBJdz > 0, а следовательно, F2 > О и вектор F был бы направлен вправо, т. е.
опятьпротив вектора р т . Таким образом, полученное выражение для Fсправедливо для обеих ориентации вектора р т .6.10. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиусом Rтечет ток /. Какое давление испытывают стенки цилиндра?Решение. Рассмотрим поверхностный элемент тока i &S, где i —линейная плотность тока, &S — элемент поверхности. Найдемсвязь между поверхностным и объемным элементами тока:jdV-jbh-Sbdl-idS.Смысл входящих сюда величин пояснен на рис.6.28. В векторном видеj dV - i dS.(1)Сила Ампера, действующая на поверхностныйэлемент тока, в этом случае определяется формулой, полученной из (6.28) путем замены (1):dF = [iB']dS,ььdSРис. 6.28(2)где В' — магнитная индукция поля в месте нахождения данногоэлемента тока от всех других элементов тока, исключая данный.Чтобы найти В', поступим аналогичноgтому, как это было сделано для электри^LS^S^** 1ческой силы (§ 2.3).
Пусть Bt — магнит^^ная индукция поля, создаваемого самим ^^^ Btповерхностным элементом тока в точРис. 6.29ках, очень близких к его поверхности(рис. 6.29, где предполагается, что ток течет от нас). Согласно(6.22) ВГ = iV/2.Далее, воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и соображениями симметрии, легко установить, что магнитная индукция поля снаружи цилиндра у его поверхностиВ -(3)а внутри цилиндра поле отсутствует.Последнее означает, что поле Вг от всех остальных элементовтока в двух очень близких к поверхности цилиндра точках 1 и 2(см.
рис. 6.29) должно быть одинаково и удовлетворять следую-176Глава 6щим условиям внутри и вне поверхности цилиндра:и B = B' + Bt = 2B\B'=BtОтсюда следует, чтоВ' = В/2.(4)Подставив этот результат в (2), получим следующее выражениедля искомого давления:р.<*.,*« «**.*!-.dSц02ц 0Учитывая (3), найдем окончательно222р = ц о / /8я Д .Из формулы (2) видно, что цилиндр испытывает боковое сжатие.======== Глава 7 =======Магнитное поле в веществе§ 7.1. Намагничение вещества.
Намагниченность JПоле в магнетике. Бели в магнитное поле, образованное токами в проводах, ввести то или иное вещество, поле изменится.Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля намагничиваться — приобретать магнитный момент. Намагниченное вещество создает свое магнитное поле В', которое вместе с первичным полем В о , обусловленным токами проводимости,образует результирующее полеВ = В 0 + В'.(7.1)Здесь под В' и В о имеются в виду поля, усредненные по физически бесконечно малому объему.Поле В', как и поле В о токов проводимости, не имеет источников (магнитных зарядов), поэтому для результирующегополя В при наличии магнетика справедлива теорема Гаусса:dS - 0.(7.2)Это означает, что линии вектора В и при наличии веществаостаются всюду непрерывными.Механизм намагничения.
В настоящее время установлено,что молекулы многих веществ обладают собственным магнитным моментом, обусловленным внутренним движением зарядов. Каждому магнитному моменту соответствует элементарный круговой ток, создающий в окружающем пространствемагнитное поле. При отсутствии внешнего магнитного полямагнитные моменты молекул ориентированы беспорядочно, поэтому обусловленное ими результирующее магнитное поле рав-178Глава 7но нулю.
Равен нулю и суммарный магнитный момент вещества. Последнее относится и к тем веществам, молекулы которыхпри отсутствии внешнего поля не имеют магнитных моментов.Если же вещество поместить во внешнее магнитное поле, топод действием этого поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении,и вещество намагничивается — его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля.
При этом магнитные поляотдельных молекул уже не компенсируют друг друга, в результате возникает поле Вг.Иначе происходит намагничивание веществ, молекулы которых при отсутствии внешнего поля не имеют магнитного момента. Внесение таких веществ во внешнее поле индуцирует элементарные круговые токи в молекулах, и молекулы, а вместе сними и все вещество приобретают магнитный момент, что такжеприводит к возникновению поля В'. Большинство веществ привнесении в магнитное поле намагничиваются слабо.
Сильнымимагнитными свойствами обладают только ферромагнитные вещества: железо, никель, кобальт, многие их сплавы и др.Намагниченность. Степень намагничения магнетика характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величинуназывают намагниченностью и обозначают J. По определениюгде AV — физически бесконечно малый объем в окрестностиданной точки, р т — магнитный момент отдельной молекулы.Суммирование проводится по всем молекулам в объеме AV.Аналогично тому, как это было сделано для поляризованности Р [см. (3.3)], намагниченность можно представить какJ = n(pm>,(7.4)где п — концентрация молекул; (р т ) — средний магнитный момент одной молекулы.
Из последней формулы видно, что вектор J сонаправлен именно со средним вектором (рт>, поэтому вдальнейшем достаточно знать поведение вектора (р т ) и представлять себе все молекулы в пределах объема AV имеющимиодинаковый магнитный момент (рт>. Это будет значительно об-Магнитное поле в веществе179легчать понимание вопросов, связанных с явлением намагничивания. Например, увеличение намагниченности J веществаозначает соответствующее увеличение вектора (рт>: если J = О,то и (рт> = 0.Если во всех точках вещества вектор J одинаков, говорят,что вещество намагничено однородно.Токи намагничивания /'. Намагничивание вещества, какуже было сказано, обусловлено преимущественной ориентацией или индуцированием магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении.
Это же можно сказать и об элементарных круговых токах, связанных с каждой молекулой, ихназывают молекулярными токами. Такое поведение молекулярных токов приводит, как мы сейчас увидим, к появлениюмакроскопических токов /', называемых токами намагничивания. Обычные токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением в веществе носителей тока, их называют токамипроводимости I.Чтобы понять, как возникают токи намагничивания, представим себе сначала цилиндр из однородного магнетика, намагниченность J которого однородна и направленавдоль оси.
Молекулярные токи в намагниченном магнетике ориентированы, как показано на рис. 7.1. У соседних молекул молекулярные токи в местах их соприкосновениятекут в противоположных направлениях имакроскопически взаимно компенсируютРис. 7.1друг друга. Некомпенсированными остаютсятолько те молекулярные токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра. Эти токи и образуютмакроскопический поверхностный ток намагничивания /',циркулирующий по боковой поверхности цилиндра.
Ток Г возбуждает такое же макроскопическое магнитное поле, что и молекулярные токи вместе взятые.Теперь представим себе другой случай: намагниченный магнетик является неоднородным. Пусть, например, молекулярные токи расположены так, как на рис. 7.2, где толщина линийсоответствует силе молекулярных токов.
Эта картина означает,180Глава 7что вектор J направлен за плоскость рисунка ирастет по модулю при увеличении координатых. Здесь видно, что компенсации молекулярных токов внутри неоднородного магнетикауже нет, и в результате возникает макроскопический объемный ток намагничивания /\ текущий в положительном направлении оси У.Соответственно говорят о линейной if и объемРис. 7.2ной j ' плотностях тока, V (А/м) и /' (А/м2,).О расчете поля В в магнетике. Можно утверждать, чтовклад от намагниченного магнетика в поле В равен вкладу, который был создан тем же распределением токов /' в вакууме.Иначе говоря, установив распределение токов намагничиванияГ, можно с помощью закона Био-Савара найти соответствующее им поле В' и по формуле (7.1) — результирующее поле В.Однако неприятность состоит в том, что распределение токовJ' зависит не только от конфигурации и свойств магнетика, нои от самого искомого поля В. Поэтому задача о нахожденииполя В в магнетике в общем случае непосредственно решенабыть не может.
Остается попытаться найти иной путь подходак решению этого вопроса. И первым шагом на этом пути является установление важной связи между током намагничивания/' и определенным свойством поля вектора J , а именно его циркуляцией.§ 7.2. Циркуляция вектора JОказывается — в этом мы сейчас убедимся, — для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания Г, охватываемых контуром Г:Jdl = /',(7.5)где /' = f j ' dS, причем интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на контур Г.Для доказательства этой теоремы вычислим алгебраическуюсумму молекулярных токов, охватываемых контуром Г. Натянем на контур Г произвольную поверхность S (рис. 7.3). Из это-Магнитное поле в веществе181го рисунка видно, что одни молекулярные токи пересекают поверхностьS дважды — раз в одном направлении,второй раз в другом.
Поэтому такиетоки не вносят никакого вклада в результирующий ток намагничиваниячерез поверхность S.Но те молекулярные токи, которые обвиваются вокруг контура Г, пересекают поверхность S только один раз. Такие молекулярные токи и создают макроскопический ток намагничивания /', пронизывающий поверхность S. Пусть каждый молекулярный ток равен / м и площадь, охватываемая им,Тогда,как видно из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
