И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Закон Био—СавараПринцип суперпозиции. Опыт дает, что для магнитногополя, как и длд электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитныхМагнитное поле в вакууме149полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:(6.6)Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (6.3), определяющего индукцию поля В равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (6.3) вместо q заряд pdV, где dV —элементарный объем, р — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что pv = j согласно (5.2).
Тогдаформула (6.3) приобретет следующий вид:(6.7)4яЕсли же ток / течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения AS, тоjdV=jASdl = Idl,где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока /, перепишем предыдущее равенство так:jdF=/dl.(6.8)Векторы jdF и /dl называют соответственно объемным и линейным элементами тока. Произведя в формуле (6.7) заменуобъемного элемента тока на линейный, получимJ[dl,r](6.9)4яФормулы (6.7) и (6.9) выражают закон Био-Савара.Полное поле В в соответствии с принципом суперпозицииопределяется в результате интегрирования выражений (6.7)или (6.9) по всем элементам тока:4я J г 3'4я J3г(6.10)Глава 6150Расчет по этим формулам индукции магнитного поля токапроизвольной конфигурации, вообще говоря, сложен.
Однакорасчет значительно упрощается, если распределение тока имеетопределенную симметрию. Приведем несколько простейшихпримеров на нахождение индукции магнитного поля тока.Пример 1. Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 6.3).Согласно (6.9) в произвольной точкеА векторы dB от всех элементов токаимеют одинаковое направление — заплоскость рисунка.
Поэтому сложение векторов dB можно заменитьсложением их модулей dB, причемdB,BРис. 6.3Idlcos adB = ^-'4яу*Из рисунка видно, что d/ cos aи r = b/cosa. Значитг daц 0 I cos a da~ 4яЬ'Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока,что эквивалентно интегрированию по а от -я/2 до я/2, находимв-!*.!£.(6.11)4я ЬПример 2. Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 6.4 показанвектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа.
Отвсех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообВразить, что результирующий вектор Вв точке А будет направлен вверх по осиZ. Это значит, что для нахождения модуля вектора В достаточно сложитьпроекции векторов dB на ось Z. Каждая такая проекция имеет вид4яРис.
6.4Магнитное поле в вакууме151где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором г равен я/2, поэтому синус равен единице. Интегрируяэто выражение по всем dl (это дает 2пК) и учитывая, чтоcos Р = R/r и г2 = г2 + Л2, получаем24тг (г 2 + Д 2 ) 3 / 2(6.12)Отсюда следует, что в центре витка с током (г = 0) и на расстоянии z » R модуль вектора В равен соответственно§ 6.3.
Основные законы магнитного поляМагнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумяважнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основныезаконы магнитного поля.Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощьюлиний вектора В. Их проводят обычным способом — так, чтобыкасательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфигурации данного магнитного поля исильно облегчает анализ некоторых ситуаций.А теперь обратимся к основным законам магнитного поля —теореме Гаусса и теореме о циркуляции.Теорема Гаусса для поля В.
Поток вектора В сквозь лю-бую замкнутую поверхность равен нулю:<|>BdS = 0.(6.14)Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Онавыражает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца.152Глава 6Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема,ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числулиний, входящих в этот объем.Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно.
А именно: поток век-тора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторымзамкнутым контуром, не зависит от формы поверхностиS. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора В), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.Закон (6.14) выражает также и тот факт, что в природе нетмагнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора В.
Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г равна произведению ц0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:(6.15)где / = ^ Ik, причем Ik — величины алгебраические.
Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным.Это правило иллюстрирует рис. 6.5:здесь токи 1г и / 3 положительные, ибоL>0их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правоговинта, а ток / 2 — отрицательный.Теорема о циркуляции (6.15) может быть доказана исходяиз закона Био-Савара. В общем случае произвольных токов этодоказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (6.15)как постулат, подтвержденный экспериментально.' Магнитное поле в вакууме153Еще одно замечание.
Если ток / в (6.15) распределен по объему, где расположен контур Г, то его можно представить как/=JjdS.(6.16)Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Г. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.Итак, в общем случае уравнение (6.15) можно записать так:$В dl = цо J j dS = цо J/nd5.(6.17)Тот факт, что циркуляция вектора В, вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие отэлектростатического поля). Такое поле называют вихревымили соленоидальным.Так как циркуляция вектора В пропорциональна току /, охватываемому контуром, то магнитному полю, в общем случае,нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным Е = -Уф.
Этотпотенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное IXQI. Впрочем, в той области пространства, где токовнет, магнитный потенциал ф ш вводят и достаточно эффективноиспользуют.Роль теоремы о циркуляции вектора В.
Эта теорема играетпримерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов Е и D.Мы знаем, что поле В определяется всеми токами, циркуляцияже вектора В только теми токами, которые охватывает данныйконтур. Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличииспециальной симметрии — теорема о циркуляции оказываетсявесьма эффективной, позволяя очень просто находить В.Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляциивектора В можно свести, выбрав разумно контур, к произведению В (или Bt) на длину контура или его часть. Если этого нет,расчет поля В приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, и расчет становитсязначительно сложнее.Глава 6154§ 6.4. Применения теоремы о циркуляциивектора ВРассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля В, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.Пример 1.
Магнитное поле прямого тока. Пусть постоянный ток / течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющегокруглое сечение радиусом а. Найдем индукцию В поля снаружи и внутри провода.Из симметрии задачи следует, что линии вектора В в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода. Причем модульвектора В должен быть одинаков вовсех точках на расстоянии г от осипровода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора В для круглого контура 1\ (рис.
6.6) Б*2яг = HQ/, откудаРис. 6.6следует, что вне проводаВ(цо/2я)//г (г>а).(6.18)Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара) оказывается гораздо болеесложным.Внутри провода из тех же соображений симметрии следует,что линии вектора В являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г 2 (см.рис. 6.6) В • 2пг = Цо1п где 1Г = / (г/а)2 — ток, охватываемыйданным контуром. Отсюда мы находим, что внутри проводаВ = (цо/2п)1г/а2 (г<а).(6.19)Зависимость В(г) показана графически на рис.
6.7.Если провод имеет вид трубки кругВ1лого сечения, то снаружи индукцияВ определяется формулой (6.18), авнутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать спомощью теоремы о циркуляциивектора В.Рис. 6.7Магнитное поле в вакууме155Пример 2. Магнитное поле соленоида. Пусть ток / течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится пвитков проводника. Если шаг винтовой линии достаточномал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, чтосечение проводника настолько мало, что ток в соленоидеможно считать текущим по его поверхности.Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, темменьше индукция магнитного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.Из соображений симметрии ясно, что линии вектора Ввнутри соленоида направлены вдоль его оси, причем векторВ составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.Уже то, что мы выяснили относиi*•—•тельно конфигурации магнитного •*•;••• |\полявы3 'т'поля соленоида,соленоида, подсказываетподсказывает выбрать прямоугольный контур так,как показано на рис.
6.8. Цирку- •••••••••••••••••••ляция вектора В по данному конр и с ggтуру равна В1, и контур охватывает ток nil. Согласно теореме о циркуляции Bl = \xonllt откуда следует, что внутри длинного соленоидаВ=цои/,(6.20)т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, ноэтим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведениеnl называют числом ампервитков. При п = 2000 витков/ми / = 2 А магнитное поле внутри соленоида В = 5 мТл.Пример 3.
Магнитное поле тороида. Тороидпредставляет собой провод, навитый на каркас, имеющий формутора (рис. 6.9).Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора В должны быть окружностями, центры которых расположе-О'|_О\х НС.O.V156Глава 6ны на оси ОО' тороида. Поэтому ясно, что в качествеконтура следует взять одну из таких окружностей.Если контур расположен внутри тороида, он охватываетток N1, где N — число витков в тороидальной катушке;/ — ток в проводе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
