И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Сказанное иллюстрирует рис. 6.12, гдепоказаны три расположения контура в магFнитном поле прямого тока / 0 . Здесь же показан и вектор результирующей силы F, кото/о#рая действует на контур в каждом случаеF=0(полезно самостоятельно убедиться, что этоРис. 6.12действительно так).Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление X, то достаточно записать выражение (6.33) в проекцияхна это направление, и мы получимдп(6.34)где дВх/дп — производная соответствующей проекции вектораВ опять же по направлению нормали п к контуру (или по р т ).Пример. Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитныймомент р т , расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор р т — в направлении вектора В.
Выберем положительное направление оси X, как показано на рис. 6.13. Так как внаправлении вектора р т приращениепроекции Вх будет отрицательным,то Fx < 0. Значит, вектор F направлен влево — в сторону, где В больше.Рис. 6.13Магнитное поле в вакууме163Если же контур с током (и вектор р т ) повернуть на 90° так,чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля В, то вэтом положении Fx = 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и р т .§ 6.7. Момент сил, действующих на контурс токомРассмотрим плоский контур с током / в однородном магнитном поле В.
Выше (см. с. 161) мы выяснили, что результирующая сила (6.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно,что если результирующая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит отточки О, относительно которой определяют моменты этих сил.Раз так, можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае.По определению, результирующий момент амперовых силN = j>[r, dF] ,(6.35)где dF дается формулой (6.29). Если провести расчет по формуле (6.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтомумы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить какN = [р т В],(6.36)где р т — магнитный момент контура с током (для плоскогоконтура p m = ISn)*.Из (6.36) видно, что момент N амперовых сил, действующихна контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен как вектору р ш , так и вектору В.
Модуль вектора N равенN =ртВ sin а, где а — угол между векторами р т и В. В тех слу* Если виток не плоский, то его магнитный момент p m = /JdS, где интеграл берется по поверхности S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.164Глава 6чаях, когда ртТТ В, момент сил N = 0, и нетрудно убедиться втом, что положение контура будет устойчивым. Если pm>l<T В, тотоже N = 0, но такое положение контура является неустойчивым: малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от начального положения.Пример.
Убедимся в справедливости формулы (6.36) на простейшемслучае прямоугольного контура с током (рис. 6.14).Как видно из данного рисунка,силы, действующие на стороны а,перпендикулярны им и вектору В,поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть(или сжать) контур. Стороны Ъ перпендикулярны В, поэтому на каждую из них действует силаF = IbB.Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его векторр т оказался сонаправленным с вектором В. Стало быть, наконтур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin а на F, т. е.N = IbBa sin a.Учитывая, что аЬ — это площадь, ограниченная контуром, и1Ьа = рт, получимN=pmB sin a,что в векторной форме записывается как (6.36).В заключение необходимо отметить, что выражение (6.36)справедливо и для неоднородных магнитных полей.
Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточно малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент N можнопренебречь. Именно это относится к элементарному контуру стоком.Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарныйконтур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: онбудет поворачиваться к положению устойчивого равновесияМагнитное поле в вакууме165(при котором ртТТ В) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция В больше.§ 6.8.
Работа при перемещении контура с токомКогда контур с током находится во внешнем магнитномполе — мы будем предполагать, что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а поэтомупри перемещении контура эти силы будут совершать работу. Вэтом параграфе мы покажем, что работа, которую совершаютамперовы силы при элементарном перемещении контура с током /, определяется как5А = /<1Ф,(6.37)где (1Ф — приращение магнитного потока сквозь контур приданном перемещении.Доказательство этой формулы проведем в три этапа.1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.
6.15) сподвижной перемычкой длины I находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (6.29)действует амперова сила F = ИВ. При перемещении перемычкивправо на dx эта сила совершает положительную работу8А = Fdx = IBl dx = IB dS,(6.38)где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Дляопределения знака магнитного потока Ф условимся всегдабрать нормаль п к поверхности, ограниченной контуром, так,чтобы она образовывала с направлениемjтока в контуре правовинтовую систему |*(см.
рис. 6.15). При этом ток / будет все- |гда величиной положительной. Поток Т«же Ф может быть как положительным, |'так и отрицательным. Но в нашем слуРис> 6 1 5чае как Ф, так и (1Ф = В dS являются величинами положительными (если бы поле В было направленона нас или перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях с1Ф < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (6.38) можно представить в виде (6.37).166Глава 62. Полученный результат справедлив и для произвольногонаправления поля В. Чтобы убедиться в этом, разложим векторВ на три составляющие: В = В п + В^ 4- Вх.
Составляющая Вг —вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая Вх —вдоль перемещения — дает силу, перпендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющаяВ л — перпендикулярная плоскости, в которой перемещаетсяперемычка. Поэтому в формуле (6.38) вместо В надо брать только Вп.
Но BndS — (1Ф, и мы опять приходим к формуле (6.37).3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образомдеформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые элементы тока и рассмотрим бесконечно малыеперемещения их. В этих условиях магнитное поле, в которомперемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение dA =/сГФ для элементарной работы, где подсГФ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контурот данного элемента контура.
Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение(6.37), где <1Ф есть приращение магнитного потока сквозь веськонтур.Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного2, достаточно проинтегрировать выражение (6.37):2А = ]7с1Ф.(6.39)1Если при этом перемещении поддерживать ток / постоянным, тоА=/(Ф2 - Ф Д(6.40)где Фг и Ф 2 — магнитные потоки сквозь контур в начальном иконечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил вэтом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (6.40) дает не только величину, но и знак совершаемой работы.Магнитное поле в вакууме167Пример. Плоский контур с током / поворачивают в магнитном поле Виз положения, при котором нормаль к контуру n it В, в положение, при котором и f t В (напоминаем, что направлениенормали п связано с направлением тока правилом правоговинта). Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдемработу амперовых сил при указанном перемещении, считая,что ток / поддерживается постоянным.Согласно (6.40)A=I[BS-(-BS)] =В данном случае работа А > 0, при обратном же повороте А < 0.Следует отметить, что работа (6.40) совершается не за счетэнергии внешнего магнитного поля (оно не меняется), а засчет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
