И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Их подстановка в(1) приводит к следующему результату:Отсюда видно, что а = О при гхрх = 82р2.5.6. Неоднородный проводник. Длинный проводник круглого сеченияплощадью 5 сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния г до оси проводника какр = а/г2, где а — постоянная. По проводнику течет ток /. Найти:1) напряженность Е поля в проводнике; 2) сопротивление единицы длины проводника.Решение. 1. Напряженность Е поля по закону Ома связана с плотностью тока у, а у — с током /, поэтому можно записать/ = J;2rcrdr = \{E/p)2nr dr.Напряженность Е одинакова во всех точках сечения данного проводника, т.
е. не зависит от г. В этом легко убедиться, взяв прямоугольный контур внутри проводника так, чтобы одна сторона контура совпадала, например, с осью проводника, и затем применивк этому контуру теорему о циркуляции вектора Е.Таким образом, Е можно вынести из-под интеграла и мы получимв результате интегрированияЕ - 2naI/S2.2. Сопротивление единицы длины проводника можно определитьс помощью формулы R = U/I. Поделив обе части этого равенствана длину / участка проводника, к которому относятся R и U, найдем2жх/£2.5.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи. В схеме (рис.
5.14) известны э.д.с. $ и $Q источников, сопротивления R и Ro, а также емкость Сконденсатора. Внутренние сопротивления источников пренебрежимомалы. Найти заряд на обкладке 1конденсатора.Р и с 5.14142Глава 5Решение. В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи, содержащей сопротивления R и Ro, запишемгде положительное направление выбрано по часовой стрелке. Сдругой стороны, для неоднородного участка aRb цепиRI = ф а - щ + £,а для участка аСЬ? + Ф2 ~ Ф1 = Фь - Фа-Решив совместно эти три уравнения, получимФ1-Ф2 = К +(££)Заряд на обкладке 1 определяется формулой qx = С(фх - ф2). Поэтому окончательный результатВидно, что при ^ > $Q заряд qx > 0, и наоборот.5.8.
Работа источника э.д.с. Стеклянная пластина целиком заполняетзазор между обкладками плоского конденсатора, емкость которого при отсутствии пластины равна Со. Конденсатор подключен кисточнику постоянного напряжения U. Найти механическую работу, которую необходимо совершить против электрических сил,чтобы извлечь пластину из конденсатора.Решение. Согласно закону сохранения энергииА м е х + А и с т =ДЖ,(1)где А м е х — совершенная внешними силами механическая работапротив электрических сил; А и с т — работа источника в этом процессе; AW — соответствующее приращение энергии конденсатора(мы считаем, что участие других видов энергии в изменении энергии системы пренебрежимо мало).Найдем AW и A^CT.
Из формулы для энергии конденсатора (W == CU2/2 = qU/2) следует, что при U — constAW - AC U2/2 - Aq U/2.(2)Постоянный электрический ток143Так как емкость конденсатора при извлечении пластины уменьшается (АС < 0), то уменьшается и заряд конденсатора (Aq < 0).Последнее означает, что заряд прошел через источник против направления действия сторонних сил и источник совершил отрицательную работу:(3)Из сравнения формул (3) и (2) следуетА и с т - 2AW.После подстановки последнего выражения в (1) получимЛяех - -&W, или А м е х « (Б - l)C0U2/2.Таким образом, извлекая пластину из конденсатора, мы (внешниесилы) совершаем положительную работу (против электрическихсил), при этом источник э.д.с. совершает отрицательную работу иэнергия конденсатора уменьшается:Ляех > 0»^ист < О,AW<0.5.9.
Переходные процессы. Цепь состоит из источника постояннойэ.д.с. £ и последовательно подключенных к нему сопротивления Rи конденсатора С. Внутреннее сопротивjление источника пренебрежимо мало. Вмомент t = 0 емкость конденсатора быст- £_JL_ро (скачком) уменьшили в rj раз. Найтиток в цепи как функцию времени.Решение. Запишем закон Ома для неоднородного участка цепи 1&R2 (рис.
5.15):RРис. 5.15RI - q>i - Ф2 " £ - U - £Учтем, что U = q/C, где С = С/г|, тогда£(1)Продифференцируем это равенство по времени, принимая во внимание, что в нашем случае (q уменьшается) dq/dt — -/:яа/ = _л 7 >d*Сd/_jLd,.IRCИнтегрирование последнего уравнения даетГлава 5144где / 0 определяется условием (1). Действительно,Rio = r\qo/C - &причем q0 = £С — заряд конденсатора до изменения его емкости.Поэтому/о = (Л "5.10.
Конденсатору емкостью С сообщили заряд q0 и затем в моментt = 0 его замкнули на сопротивление R. Найти зависимость отвремени t количества теплоты, выделившегося на сопротивлении.Решение. Искомое количество теплотыQ=(1)откуда видно, что прежде всего надо найти зависимость I(t). Воспользуемся с этойцелью законом Ома для участка цепи 1R2(рис. 5.16):RI = фх - ф 2 - С/,Рис. 5.16илиRI = q/C.(2)Продифференцируем (2) по времени:DJtxd/Ir= — 1,dl _ dtI " RC'dt СПроинтегрировав последнее уравнение, получимiIn— =,/о RC7f(3)где / 0 определяется условием (2) при q = g0, т.
e. / 0 = qo/RC.После подстановки (З) в (1) и соответствующего интегрированияполучим= =Глава 6 ============Магнитное поле в вакууме§ 6.1. Сила Лоренца. Поле ВСила Лоренца. Опыт показывает, что сила F, действующаяна точечный заряд q, зависит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v. Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую F a(она не зависит от движения заряда) и магнитную F M (она зависит от скорости заряда). В любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда,причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; крометого, в любом месте магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец, ее модульпропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле векторомВ, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в видеF M = g[vB].(6.1)Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:F = qE + g[vB].(6.2)Ее называют силой Лоренца.
Последнее выражение являетсяуниверсальным: оно справедливо как для постоянных, так идля переменных электрических и магнитных полей, причем прилюбых значениях скорости v заряда. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета.По действию силы Лоренца на заряд можно в принципеопределить модули и направления векторов Б и В. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как опреде-146Глава 6ление электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)*.Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрическийзаряд магнитное поле не действует.
В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поледействует только на движущийся заряд.Вектор В характеризует силовое действие магнитного поляна движущийся заряд и, следовательно, является в этом отношении аналогом вектора Е, характеризующего силовое действие электрического поля.Важной особенностью магнитной силы является то, что онавсегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает. Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицывсегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.В нерелятивистском приближении сила Лоренца (6.2), как илюбая другая сила, не зависит от выбора системы отсчета(инерциальной).
Вместе с тем магнитная составляющая силыЛоренца меняется при переходе от одной системы отсчета кдругой (из-за v). Поэтому должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силыF — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависитот выбора системы отсчета.
Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимисязарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющийполе В точечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде**В=4я,3г(6.3)* Разработан ряд способов измерения поля В, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (6.2).** Формула (6.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на достаточно малых расстояниях г от заряда (малых настолько,что за время г/с скорость v заряда заметно не меняется).Магнитное поле в вакууме147где |д0 — магнитная постоянная; коэффициентцо/4я = 1(Г7 Гн/м;г — радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора г неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 6.1), поэтому вектор В вданной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, нои от времени.Рис. 6.1В соответствии с формулой (6.3) вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой ^расположены векторы v и г,причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора В образует с направлением v правовинтовую систему (рис.
6.1). Отметим, что вектор В является аксиальным (псевдовектором).Величину В называют магнитнойиндукцией.Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нерелятивистской скоростью, описывается тем ж е законом (1.2).Поэтому выражение (6.3) можно представить какB=EOMo[vE] = [vE]/c 2 ,(6.4)где с — электродинамическаяпостоянная (с = 1/^/БОЙО")» о н аравна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).Пример. Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействийдвижущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис.
6.2. Найдем отношение магнитной FM и электрической F3 сил, действующих,например, со стороны заряда 1 на заряд 2.11Согласно (6.2) FM = qvB и F3 = qE, где v — ско*рость заряда 2, а В и Е — индукция магнитрис# &ного и напряженность электрического полей,создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.148Глава 6Отношение Fu/F9 = vB/E. В нашем случае согласно (6.4)В = vE/c2, поэтомуFJF, - (v/c)K(6.5)Даже для достаточно больших скоростей, напримерv = 300 км/с, это отношение равно 10~6, т. е. магнитная частьсилы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и наэто есть две веские причины.Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц,движущихся почти со световыми скоростями, и там эта «поправка» к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (6.5) справедливо и при релятивистских скоростях).Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду, и отношение (у/с)2 « 10~24.
Ничтожная поправка к электрической силе!Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действующая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отрицательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее24чем 10~ , и «ничтожная» магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие громадного числа зарядов всоздании тока компенсирует малость этого члена.Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока.Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходятэлектрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.§ 6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
