И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Разделив последнее уравнение на dV dt, получим формулу, которая определяет количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единицеобъема проводящей среды, — удельную тепловую мощностьтока:(5.20)Эта формула выражает закон Джоуля—Ленца в локальнойформе: удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельномусопротивлению среды в данной точке.Уравнение (5.20) представляет собой наиболее общую формузакона Джоуля-Ленца, применимую к любым проводникамвне зависимости от их формы, однородности и от природы сил,возбуждающих электрический ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то на основании законаОма (5.10)QyA=jE = a£2.(5.21)Таким образом, последнее уравнение имеет менее общий характер, нежели (5.20).Неоднородный участок цепи.
Если участок цепи содержит источник э.д.с, то на носители тока будут действовать не толькоэлектрические силы, но и сторонние. В этом случае выделяемоев неподвижном проводнике тепло будет равно по закону сохранения энергии алгебраической сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям:тепловая мощность должна быть равна алгебраической суммемощностей электрических и сторонних сил. Проще всего в этомможно убедиться, умножив выражение (5.15) на /:RI2 = ( ф 1 -ф2) / + Щ.(5.22)Здесь слева стоит выделяющаяся на участке тепловая мощность Q; при наличии сторонних сил величина Q определяетсятой же формулой (5.19), что и для однородного участка цепи. Последнее же слагаемое справа представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке.
Заметим еще,Постоянный электрический ток135что последняя величина (Щ) является алгебраической: в отличиеот RI2 она изменяет знак при изменении направления тока /.Таким образом, уравнение (5.22) означает, что тепловаямощность, выделяемая на участке цепи между точками 2 и 2,равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощностей, т. е.
правую часть (5.22),называют мощностью тока на рассматриваемом участкецепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижного участкацепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равнамощности тока.Применив (5.22) ко всей неразветвленной цепи (тогда9i = Фг)> получимQ=£/,^(5.23)т. е. общее количество выделяемой за единицу времени во всейцепи джоулевой теплоты равно мощности только стороннихсил. Значит, теплота производится только сторонними силами.Роль же электрического поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи.Получим теперь уравнение (5.22) в локальной форме.
Дляэтого умножим обе части уравнения (5.11) на j , а также учтем,что а = 1/р и ру2 = <?уд [см. (5.20)]. Тогда удельная тепловаямощность тока в неоднородной проводящей среде(5.24)§ 5.6. Переходные процессы в цепис конденсаторомО переходных процессах. Так называют процессы при переходе от одного установившегося в цепи режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и остановимся более подробно в этом параграфе.До сих пор мы рассматривали только постоянные токи.
Оказывается, однако, что полученные законы во многих случаяхможно применять и к изменяющимся токам. Это касается всехтех случаев, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение тока будет практически136Глава 5одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи исоответствующие им поля называют квазистационарными (более точный критерий квазистационарности дан в § 11.1).Именно квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновеннымзначениям величин.А теперь обратимся к процессам разрядки и зарядки конденсатора, предполагая токи в этих процессах квазистационарными.Разрядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкости С замкнуть через сопротивление R, то черезнего потечет ток.
Пусть /, q, U — мгновенные значения тока,заряда положительной обкладки и раз>,ности потенциалов между обкладками(напряжения). Считая ток / положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной (рис.5.10), запишем / = -dq/dt. Согласно закону Ома для внешнего участка цепи,Рис. 5.10содержащего сопротивление JR:Учитывая, что / = -dq/dtщее уравнение к видуи U = q/C, преобразуем предыду-^ + ^-=0.(5.25)dt RCВ этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования мы получимl/q = qOe- \(5.26)где q0 — начальный заряд конденсатора, а т — постоянная,имеющая размерность времени:т = ДС.(5.27)Эту постоянную называют временем релаксации. Из (5.26)видно, что т есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз.Постоянный электрический ток137Продифференцировав (5.26) по времени, найдем закон изменения тока:(5.28)d*°где / 0 = до/т — сила тока в момент t = 0.На рис.
5.11 показан график зависимостиq(t) — заряда на конденсаторе от времени.График зависимости I(t) имеет такой же вид.Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь,содержащую последовательно соединенныеРис. 5.11конденсатор С, сопротивление R и источникэ.д.с. £(рис. 5.12). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ К разомкнут). В момент t = 0 ключ замкнули, и в цепи пошелток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его.Рис. 5.12Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в направлении к положительно заряженной обкладке конденсатора: / = dq/dt.
Применим законОма для неоднородного участка цепи к участку 1&R2:RI — ф^ —• ф2 "+• ftгде под R понимается полное сопротивление этого участка,включая внутреннее сопротивление источника э.д.с. Учитывая,что / = dq/dt и ф2 - фх = U = q/C, перепишем предыдущее уравнение в видеdq _$~dt"я"Разделение переменных даетRdq= dt.Проинтегрировав это уравнение с учетом начального условия (д = 0 при t = 0), получимV138Глава 5откуда9 = 9,п(1-е-'Л).(5.29)Здесь qm = $C — предельное значение заряда на конденсаторе(при t -> оо), т = RC. Закон изменения тока со временем^\(5.30)где 7 0 =Графики зависимостей q(t) и I(t) показаны на рис.
5.13.Рис. 5.13Задачи5.1. Сопротивление проводящей среды. Металлический шар радиусома окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиусом Ъ. Пространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением р.Найти сопротивление межэлектродного промежутка.Решение. Выделим мысленно тонкий сферический слой между радиусами г и г + dr. Линии тока во всех точках этого слоя идут перпендикулярно ему, поэтому такой слой можно рассматривать какцилиндрический проводник длиной dr с площадью поперечногосечения 4лг2. Воспользовавшись формулой (5.9), запишем24лг 'Проинтегрировав это выражение по г от а до Ь, получим4п{аЪ5.2.
Два металлических шарика одинакового радиуса а находятся воднородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлениемр. Найти сопротивление среды между шариками при условии, чторасстояние между шариками значительно больше их размеров.139Постоянный электрический токРешение. Мысленно зарядим шарики +q и -q. Поскольку шарикинаходятся далеко друг от друга, электрическое поле вблизи поверхности каждого из них определяется практически только зарядомсамого шарика, причем его заряд можно считать распределеннымравномерно по поверхности.
Окружив шарик с положительнымзарядом концентрической сферой, непосредственно прилегающейк его поверхности, запишем выражение для тока, протекающегочерез эту сферу:/ = 47га2;,где j — плотность тока. Воспользовавшись законом Ома (j = Е/р) иформулой E = q/4n£0a2, получим/ = д/80р.Теперь найдем разность потенциалов между шариками:U = ф+ - ф_ « 2д/4яЕ0а.Искомое сопротивлениеR=U/I = p/2na.Этот результат справедлив независимо от значения диэлектрической проницаемости среды.5.3. Два проводника произвольной формы находятся в безграничнойоднородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением ри диэлектрической проницаемостью Е.
Найти значение произведения RC для данной системы, где R — сопротивление среды междупроводниками, С — взаимная емкость проводников при наличиисреды.Решение. Зарядим мысленно проводники зарядами 4-д и -q. Таккак среда между ними слабо проводящая, то поверхности проводников являются эквипотенциальными и конфигурация поля такова же, как и при отсутствии среды.Окружим, например, положительно заряженный проводник замкнутой поверхностью S, непосредственно прилегающей к поверхности проводника, и вычислим отдельно R и С:UUj>EndS 'и140Глава 5где интегралы взяты по данной поверхности S. При вычислении Rбыл использован закон Ома j = аЕ, а при вычислении С — теоремаГаусса.Произведение полученных выраженийRC = еО£/а = еоер.5.4. Условия на границе проводника. Проводник с удельным сопротивлением р граничит с диэлектриком, проницаемость которого е.В некоторой точке А у поверхности проводника электрическая индукция равна D, причем вектор D направлен от проводника и составляет угол а с нормалью к поверхности.
Найти поверхностнуюплотность зарядов на проводнике и плотность тока вблизи точки АРешение. Поверхностная плотность зарядов на проводникеа = D n = D cos а.Плотность тока найдем по закону Ома: j = Е/р. Из уравнения непрерывности (5.5) следует, что нормальные составляющие вектора j равны, а так как в диэлектрике j n = 0 (тока нет), то и в проводнике j n = 0.
Стало быть, вектор j в проводнике касателен егоповерхности. Это же относится и к вектору Е внутри проводника.С другой стороны, из теоремы о циркуляции вектора Е следует,что тангенциальные составляющие его по разные стороны границы раздела одинаковы, а значит, Е = Ет = ф/ее 0 ) sin а, где Ех —тангенциальная составляющая поля Е в диэлектрике.Учитывая все это, получимЕ7 =D sin a—— —Р5.5. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщиной 1Х и12 с проницаемостями ех и е2 и удельными сопротивлениями рг ир 2 . Конденсатор находится под постоянным напряжением U, причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.
Найти поверхностную плотность сторонних зарядов на границе раздела диэлектрических слоев.Решение. Искомая поверхностная плотность зарядова = D2n - Dln= Е0г2Е2- EQZ^^(1)Постоянный электрический ток141Для определения Ех и Е2 воспользуемся двумя условиями: из тогофакта, что jx = ; 2 , следует Ех/рх = Е2/р2 и, кроме того, Exlx + E2l2 « U.Решив два последних уравнения, найдем Ех и Е2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
