И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 19
Текст из файла (страница 19)
С помощью теоремы Гаусса находимЯ+Яо4ТТ8 ОЯо_4ЯЕ,2о гЭнергия электрического поля115В результате интегрирования получим4тте0{RxЗамечание. Если эту работу искать через потенциал как А =- ф2), где ф — потенциал, создаваемый зарядом q0 в месте нахождения заряда q, ответ будет другим — неверным. Связано это стем, что при таком подходе не учитывается та дополнительная работа, которую совершают электрические силы при измененииконфигурации заряда q на расширяющейся оболочке.4.6. Точечный заряд q находится в центресферического незаряженного проводящего слоя, внутренний и наружныйрадиусы которого равны соответственно а и Ъ.
Какую работу произведутэлектрические силы в данной системе,если заряд q переместить из его первоначального положения через малое отверстие (рис. 4.6) на очень большоерасстояние от сферического слоя?с*Решение. Будем исходить из того, что работа электрических силравна убыли электрической энергии системы. Последняя же, какизвестно, локализована в самом поле. Поэтому вопрос сводится,по существу, к выяснению, как изменится само поле в результатеэтого процесса.Нетрудно сообразить, что поле вокруг заряда q изменится тольков сферическом слое с внутренним и наружным радиусами а и Ь. Всамом деле, в начальном положении заряда поля здесь не было, ав конечном положении поле в этом слое есть (ведь сам сферический проводящий слой будет находиться далеко от заряда q). Следовательно, искомая работагде Wcn — энергия, локализованная в сферическом слое.
Имея в22виду, что Е = д/4яе0г и dV = 4rcr dr, получим после интегрированияаЪ116Глава 44.7. Работа при раздвижении пластин конденсатора. Имеется плоскийвоздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S. Какую работу А' против электрических сил надо совершить,чтобы увеличить расстояние между обкладками от хг до х2, еслипри этом поддерживать неизменным: 1) заряд конденсатора, равный q; 2) напряжение на конденсаторе, равное U1 Чему равно приращение электрической энергии конденсатора в обоих случаях?Решение.
1. Искомая работа2А' = qE1(x2 - хг) = - 2 — (x2 - хх),Z6где Ех — напряженность поля, создаваемого одной обкладкой(Е = a/2s 0 ). Именно в этом поле перемещается заряд, находящийся на другой обкладке. Данная работа целиком идет на приращение электрической энергии: AW = А'.2. В этом случае сила, действующая на каждую обкладку конденсатора, будет зависеть от расстояния между ними. Запишем элементарную работу силы, действующей на обкладку при ее перемещении на dx относительно другой обкладки:-л,„ .z0SU2 dx&A'= qEldx = -±-,^хгде учтено, что q = CU, Ег = U/2x и С = £0S/x. После интегрирования получим2[х,х2)Приращение электрической энергии конденсатораЗаметим, что ЛЖ= -А.Таким образом, раздвигая обкладки, мы совершим положительную работу (против электрических сил), энергия же конденсаторапри этом уменьшается. Чтобы понять, в чем тут дело, надо обратиться к источнику, поддерживающему неизменной разность потенциалов на конденсаторе.
Этот источник тоже совершает работуА ист , причем согласно закону сохранения энергии А ист -f A = AW,откуда видно, что Д, с т = AW - А' = -2А' < 0.117Энергия электрического поля4.8. Силы, действующие между проводниками в диэлектрике. Плоский конденсатор опустили в горизонтальном положении в жидкий диэлектрик с проницаемостью е, который заполнил зазормежду пластинами. Ширина зазора Л. Затем конденсатор подключили к постоянному напряжению U. Найти силу /\ действующуюна единицу поверхности пластины со стороны диэлектрика.Решение. Результирующая сила /, которая действует на единицуплощади каждой из пластин, может быть представлена как/-/о " Л(1)где / 0 — электрическая сила, действующая на единицу площадисо стороны другой пластины (она представляет собой не что иное,как силу на единицу площади при отсутствии диэлектрика). В нашем случае(2)где Е — напряженность поля в месте нахождения одной из пластин, создаваемая зарядами другой пластины. Имея в виду, чтоа — D = ггои/Н, получим после подстановки (2) в (1):f ~ /о(1 ~ V Е ) "• e ( s ~ l)zoU2/2h2.Например, при U = 500 В, h - 1,0 мм и е - 81 (вода) f = 7 кПа(0,07 атм).4.9.
Сила, действующая на диэлектрик. В цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой однородного диэлектрика с проницаемостью 8, который заполняет практически все пространствомежду обкладками. Средний радиус обкладок R, зазор между ними d, причем d <a R. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U. Найти силу, втягивающую диэлектрик вконденсатор.Решение. Воспользовавшись формулой W = q2/2C для энергииконденсатора, найдем согласно (4.16), что искомая силаdwg2 дс/дх2 Сдхи2 ее22 дх'{'Емкость данного конденсатора при условии d <зс R определяетсяформулой для плоского конденсатора, поэтому если диэлектриквдвинут на глубину JC, а длина конденсатора I, тоddd118Глава 4После подстановки (2) в (1) получимрх = ЕО(Б -l)nRU2/d.4.10. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин, имеющихформу полукруга радиусом R, и расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью е.Пластина может свободно поворачиватьс явокруг оси О (рис.
4.7), ее толщина Л,что практически равно расстоянию между неподвижными пластинами. Междурис 4 упластинами конденсатора поддерживается постоянное напряжение U. Найти момент сил N относительно оси О, действующий на подвижнуюпластину в положении, показанном на рисунке.Решение. Работа, которую совершает момент сил N при поворотепластины на элементарный угол da, равна убыли электрическойэнергии системы при q = const [см.
(4.16)]:N2 da = -&W\ ,где W = q2/2C. Поэтому2~dwда2ВС/даС.2(1)В данном случае С = Сх + Се, где Сх и СЕ — емкости частей конденсатора без диэлектрика и с диэлектриком. Площадь сектора суглом а определяется как S = ai?2/2, поэтомуС = zoaR2/2h •+ еео(тг - a)R2/2h.Отсюда — = - ^ — ( 1 - s ) . Подставим это выражение в формулуда2Л(1) и учтем, что С = q/U, тогда22 2Л4ЛОтрицательное значение N2 показывает, что момент этих силдействует по часовой стрелке (против положительного направления отсчета угла а; см. рис. 4.7). Этот момент стремится втянутьдиэлектрик внутрь конденсатора.Заметим, что N2 не зависит от угла а. Однако в положении равновесия, когда a = 0, момент N2 = 0.
Это расхождение связано стем, что при малых углах а нельзя пренебрегать краевыми эффектами, как мы делали при решении этой задачи.= Глава 5=Постоянный электрический ток§ 5.1. Плотность тока. Уравнение непрерывностиЭлектрический ток. В этой главе мы ограничимся рассмотрением тока проводимости в проводящей среде, главным образомв металлах.
Электрический ток, как известно, представляет собой перенос заряда через ту или иную поверхность S (например, через сечение проводника).Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны(в металлах), либо ионы (в электролитах), либо другие частицы. При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотическое движение и через любую воображаемую поверхность S проходит в обе стороны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так что ток черезповерхность S равен нулю. При включении же электрическогополя на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью и и черезповерхность S появится ток.
Таким образом, электрическийток — это, по существу, упорядоченный перенос электрическихзарядов.Количественной мерой электрического тока служит силатока /, т. е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность S в единицу времени:/ = dq/dt.Единицей силы тока является ампер (А).Плотность тока. Электрический ток может быть распределенпо поверхности, через которую он протекает, неравномерно.Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока j .
Модуль этого вектора численно равен отношению силы тока d/ через элементарную площадку, располо-120Глава 5женную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей, к ее площади dS±: j = dI/dS±. За направлениевектора j принимают направление вектора скорости и упорядоченного движения положительных носителей (или направление, противоположное направлению вектора скорости упорядоченного движения отрицательных носителей). Если носителями являются как положительные, так и отрицательныезаряды, то плотность тока определяется формулойj = p + u + + p_u_,(5.1)где р + и р .
— объемные плотности положительного и отрицательного зарядов-носителей; и + и и_ — скорости их упорядоченного движения. В проводниках же, где носителями являютсятолько электроны (р_< 0 и и+ = 0), плотность токаj = p_u_.(5.2)Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора j), которые проводят так же, как и линии вектора Е.Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующейнас поверхности S, можно найти и силу тока через эту поверхность как поток вектора j :/ = JjdS.(5.3)Сила тока / является величиной скалярной и алгебраической. Ее знак, как видно из формулы (5.3), определяется, кроме всего прочего, выбором направления нормали в каждой точке поверхности S, т.
е. выбором направления векторов dS. Приизменении направления всех векторов dS на противоположноевеличина I меняет знак.Уравнение непрерывности. Представим себе в некоторойпроводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S.Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы dS принято брать наружу, поэтому интегралyjdS дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу време-Постоянный электрический ток121ни внутри объема V:(5.4)Это соотношение называют уравнением непрерывности.Оно является, по существу, выражением закона сохраненияэлектрического заряда.В случае стационарного (постоянного) тока распределениезарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т.
е. вправой части (5.4) dq/dt = 0. Следовательно, для постоянноготока<fjdS=O,(5.5)иначе говоря, линии вектора j в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае постоянного тока поле вектора j не имеет источников.Дифференциальная форма уравнения непрерывности. Преобразуем последние два уравнения к дифференциальной форме.
Для этогопредставим заряд q как jpdV и правую часть (5.4) какЗдесь взят знак частной производной р по времени, поскольку р можетзависеть не только от времени, но и от координат. Итак,Дальнейшее следует проделать так же, как это было сделано для потока вектора Е в § 1.4. В результате получим, что дивергенция вектора jв некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени втой же точке:' V • j = - dp/dt.'(5.6)Отсюда вытекает условие стационарности (когда dp/dt = 0):Vj= 0.(5.7)Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора j не имеет источников.122Глава 5§ 5.2. Закон Ома для однородного проводникаЗакон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока,протекающего по однородному проводнику, пропорциональнаразности потенциалов на его концах (напряжению U):I=U/R,(5.8)где R — электрическое сопротивление проводника.Единицей сопротивления служит ом (Ом).Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника,от его материала и температуры, а также — это следует помнить — от конфигурации (распределения) тока по проводнику.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
