И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найдем алгебраическую сумму элементарных работ сил Fj и F 2 , с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в некоторой JjT-системе отсчета за время dt заряды совершили перемещения dL1 и dl 2 . Тогда работа этих сил8А12 =F 1 dl 1 + F 2 d l 2 .Учитывая, что F 2 = -¥1 (по третьему закону Ньютона), перепишем предыдущее выражение:5А 1 2 = F^d^ - dl 2 ) .Величина в скобках — это перемещение заряда 1 относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда 1 в ^'-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейсявместе с ним поступательно по отношению к исходной ЛГ-системе.
Действительно, перемещение dl2 заряда 1 в lf-системе может быть представлено как перемещение dl2 2Г-системы плюсперемещение dli заряда 1 относительно этой /^-системы:dl x = d l 2 +dli- Отсюда dl 2 - d l 2 =dli иЭнергия электрического поля97Итак, оказывается, что сумма элементарных работ в произвольной ИГ-системе отсчета всегда равна элементарной работе,которую совершает сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд покоится. Иначе говоря, работадАг 2 не зависит от выбора исходной ИГ-системы отсчета.Сила Fv действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, консервативная (как сила центральная).
Поэтому работа даннойсилы на перемещении сЩ может быть представлена как убыльпотенциальной энергии заряда 1 в поле заряда 2 или как убыльпотенциальной энергии взаимодействия этой пары зарядов:8А1>2 = -dWl2,где W12 — величина, зависящая только от расстояния междуданными зарядами.2. Теперь перейдем к системе из трех точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить насистему из произвольного числа зарядов).
Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работвсех трех пар взаимодействий, т. е. 8А = $АХ 2 + ЬАг 3 + 5А2 3« Нодля каждой пары взаимодействий, как только что было показано, SA^ = -dWfo, поэтомуЬА = ~d(W12 + Wl3 + W23) = -dW,где W — энергия взаимодействия данной системы зарядов,W = W12 + W13 + W23.Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния междусоответствующими зарядами, поэтому энергия W данной системы зарядов есть функция ее конфигурации.Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, чтокаждой конфигурации произвольной системы зарядов присущесвое значение энергии W, и работа всех сил взаимодействияпри изменении этой конфигурации равна убыли W:5А = -dW.4—3947(4.1)98Глава 4Энергия взаимодействия.
Найдем выражение для энергииW. Сначала рассмотрим опять систему из трех точечных зарядов, для которой мы показали, что W = W12 + Wl3 + W2^ Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждоеслагаемое Wik в симметричном виде: Wik = (Wik + Wki)/2, поскольку Wik = Wki. ТогдаW = (Wl2 + W21 + W13 + W31 + W23 + W32)/2.Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:W = [(W12 + W18) + (W21 4- W23) + (W31Каждая сумма в круглых скобках — это энергия Wt взаимодействия i-го заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение можно переписать так:w = y2(wx +w2+ w3) = y 2 £ttvОбобщение полученного выражения на систему из произвольного числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассуждения совершенно не зависят от числа зарядов, составляющих систему.
Итак, энергия взаимодействия системы точечныхзарядовИмея в виду, что Wt = g.q^, где qt — i-й заряд системы; (^ —потенциал, создаваемый в месте нахождения i-ro заряда всемиостальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:(4.3)Пример. Четыре одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах тетраэдра с ребром а (рис.
4.1). Найдем энергию взаимодействия зарядов этой системы.Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна Wx = q /4яе0а. Всего таких взаимодействующихпар, как видно из рисунка, шесть, поэтому энергия взаимо-Энергия электрического поля99действия всех точечных зарядов данной системыW = 6WX = 6q2/4nzoa.Иной подход к решению этого вопросаоснован на использовании формулы (4.3).Потенциал ф в месте нахождения одного иззарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов, равен (р = Зд/4яе0а. Поэтому1 6q24яе0 аПолная энергия взаимодействия. Бели заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупностьэлементарных зарядов dq = pdF и Переходя от суммирования в(4.3) к интегрированию, получаем(4.4)где ф — потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV.
Аналогичное выражение можно записатьдля распределения зарядов, например, по поверхности; дляэтого достаточно в формуле (4.4) заменить р на а и dV на &S.Можно ошибочно подумать (и это часто приводит к недоразумениям), что выражение (4.4) — это только видоизмененноевыражение (4.3), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о непрерывно распределенномзаряде. В действительности это не так — оба выражения отличаются по своему содержанию. Происхождение этого различия — в разном смысле потенциала ф, входящего в оба выражения, что лучше всего пояснить на следующем примере.Пусть система состоит из двух шариков, имеющих заряды qxи д2* Расстояние между шариками значительно больше их размеров, поэтому заряды qx и q2 можно считать точечными.
Найдем энергию W данной системы с помощью обеих формул.Согласно формуле (4.3)w=+ д2фг)/2 =100Глава 4где фх — потенциал, создаваемый зарядом q2 в месте нахождения заряда д 1 ; аналогичный смысл имеет и потенциал ф2.Согласно же формуле (4.4) мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы pdF и каждый из нихумножить на потенциал ср, создаваемый не только зарядамидругого шарика, но и элементами заряда этого шарика.
Ясно,что результат будет совершенно другим, а именно:W = Wx + W2 + W12,(4.5)где Wx — энергия взаимодействия друг с другом элементов заряда первого шарика; W2 — то же, но для второго шарика;W12 — энергия взаимодействия элементов заряда первого шарика с элементами заряда второго шарика. Энергии Wx и W2называют собственными энергиями зарядов ql и q2> a W12 —энергией взаимодействия заряда qx с зарядом q2.Таким образом, мы видим, что расчет энергии W по формуле(4.3) дает только W12, а расчет по формуле (4.4) — полнуюэнергию взаимодействия: кроме W12 еще и собственные энергии Wx и W2. Игнорирование этого обстоятельства зачастую является источником грубых ошибок.К данному вопросу мы еще вернемся в § 4.4, а сейчас получим с помощью формулы (4.4) несколько важных результатов.§ 4,2.
Энергия заряженных проводникаи конденсатораЭнергия уединенного проводника. Пусть проводник имеетзаряд q и потенциал ф. Поскольку значение ф во всех точках,где имеется заряд, одинаково, ф можно вынести из-под знакаинтеграла в формуле (4.4). Тогда оставшийся интеграл есть нечто иное, как заряд q на проводнике, иС(w- 9Ф = Р2222=Я2С(4.6)Эти три выражения написаны с учетом того, что С =Энергия конденсатора. Пусть д и ( р + — заряд и потенциалположительно заряженной обкладки конденсатора. Согласноформуле (4.4) интеграл можно разбить на две части — для од-Энергия электрического поля101ной и другой обкладок. ТогдаW = (д + Ф + + g-q>_)/2.Так как q_ - -q+ , тоW = д + ( Ф + - Ф_)/2 = qU/2,где q = q+ — заряд конденсатора, U — разность потенциалов наего обкладках. Приняв во внимание, что С = q/U, получим следующие выражения для энергии конденсатора:2С(4.7)Здесь надо заметить, что эти формулы определяют полнуюэнергию взаимодействия: не только энергию взаимодействиязарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов внутри каждой обкладки.А если есть диэлектрик? Мы сейчас убедимся, что формулы(4.6) и (4.7) справедливы и при наличии диэлектрика.
С этойцелью рассмотрим процесс зарядки конденсатора как переносзаряда малыми порциями dq' с одной обкладки на другую.Элементарная работа, совершенная нами при этом противсил поля, запишется как&A=U'dq'=(q'/C)dq'fгде U' — разность потенциалов между обкладками в момент,когда переносится очередная порция заряда dq'.Проинтегрировав это выражение по q' от 0 до q, получимА = q2/2C,что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора.Значит, совершаемая нами работа против сил электрическогополя целиком идет на создание энергии W заряженного конденсатора.
Кроме того, полученное выражение для работы Асправедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик. Этим самым мы доказали справедливость формул (4.7) и при наличии диэлектрика.Все сказанное относится, очевидно, и к формулам (4.6).102Глава 4§ 4.3. Энергия электрического поляО локализации энергии. Формула (4.4) определяет электрическую энергию W любой системы через заряды и потенциалы.Но, оказывается, энергию W можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле, — черезнапряженность Б. Убедимся в этом сначала на простейшемпримере плоского конденсатора, пренебрегая искажением поляу краев пластин (краевым эффектом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
