И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть полевблизи границы раздела в диэлектрике 1равно E l f а в диэлектрике 2 — Е 2 . Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, какпоказано на рис. 3.7.Стороны контура, параллельные границе раздела, должныиметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контурадолжна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно теореме оциркуляции вектора ЕЕ2х1 + Е1Г1 = О,где проекции вектора Е взяты на направление обхода контура,указанное на рисунке стрелками.
Если на нижнем участке контура проекцию вектора Е взять не на орт т , а на общий орт т,то Е1х, = -Еи и из предыдущего уравнения следует, что(3.22)т. е. тангенциальная составляющая Е оказывается одинаковойпо обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).Условие для вектора D. Возьмемочень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела двух диэлектриков (рис. 3.8). Сечение цилиндрадолжно быть таким, чтобы в пределахкаждого его торца вектор D был одинаРис. 3.8ков. Тогда согласно теореме Гаусса длявектора DD2nAS= GAS,где а — поверхностная плотность стороннего заряда на границераздела. Взяв обе проекции вектора D на общую нормаль п (онанаправлена от диэлектрика 1 к . диэлектрику 2), получимDln.
= -Dln, и предыдущее уравнение можно привести к виду(3.23)Глава 382Из этого соотношения видно, что нормальная составляющаявектора D, вообще говоря, претерпевает скачок при переходеграницы раздела. Однако если сторонние заряды на границераздела отсутствуют (а = 0), то(3.24)В этом случае нормальные составляющие вектора D скачка неиспытывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела.Таким образом, если на границе раздела двух однородныхизотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие Ех и Dn не изменяются. Составляющие же Еп и Dx претерпевают скачок.Преломление линий Е и D.
Полученные нами условия длясоставляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, как мы сейчасувидим, что линии этих векторов испытываютна этой границе излом, преломляются (рис.3.9). Найдем соотношение между углами <хг иа2.Если сторонних зарядов на границе разделанет, то согласно (3.22) и (3.24) Е2х = Е1х, г2Е2п == 81JEln . Из рис 3.9 следует, чтоtgcc2_Е2х/Е2пЕ1х/Еы 'Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон преломления линий Е, а значит, и линий D:tgct 2_£2(3.25)Это означает, что в диэлектрике с большим значением Е ЛИНИИ Е и D будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела (на рис.
3.9 Б 2 > Е 1 ).Пример. Изобразим графически поля Е и D у границы раздела двуходнородных диэлектриков 1 и 2, считая, что Е2 > e i и чт<> с т о -Электрическое поле в диэлектрикероннего заряда на этой поверхности нет.83j1л^Так как е 2 > e l f то согласно(3.25) а 2 > аг (рис. 3.10).Далее, из равенства тангенциальной составляющей век- ' 1по'ле'Ё; ПолеБтора Е нетрудно сообразить спомощью рис. 3.9, что по моРис. 3.10дулю Е2 < Ei> т.
е. линиивектора Е в диэлектрике 1 должны быть гуще, это и показанона рис. 3.10. Из равенства же нормальных составляющихвектора D также нетрудно заключить, что по модулю D2 > Dvт. е. линии вектора D должны быть гуще в диэлетрике 2.Мы видим, что в нашем случае линии вектора Е испытываютпреломление и, кроме того, терпят разрыв (из-за наличиясвязанных зарядов), линии же вектора D испытывают толькопреломление, без разрыва (так как сторонних зарядов на границе нет).Условие на границе проводник — диэлектрик. Если среда1 — проводник, а среда 2 —- диэлектрик (см. рис. 3.8), то изформулы (3.23) следует, что(3.26)где п — внешняя по отношению к проводнику нормаль (двойкав индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в данном случае).
Убедимся в справедливости формулы (3.26). В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводникаЕ = 0, значит, и поляризованность Р = 0. А это, в свою очередь,означает согласно (3.17), что и вектор D = 0 внутри проводника,т. е. в обозначениях формулы (3.23) D x = 0 и Dln = 0. ОстаетсяD 2 n = ст.Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности а' (напомним, что для однородного диэлектрика объемная плотностьсвязанных зарядов р' = 0). Применим теперь теорему Гаусса квектору Е — аналогично тому, как это было сделано при выводе84Глава 3формулы (2.2).
Имея в виду, что на границе раздела проводникас диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды (а иа'), придем к следующему выражению: Еп=(а + a')/s0. С другойстороны, согласно (3.26) Еп = Dn/sz0 = <T/ES . ИЗ ЭТИХ двух уравнений находим: а/г = а + о', откуда0е-1а =а.(3.27)Видно, что поверхностная плотность а' связанного заряда вдиэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью астороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядовпротивоположны.§ 3.6. Поле в однородном диэлектрикеЕще в § 2.1 было отмечено, что определение результирующего поля Е в веществе сопряжено с большими трудностями, поскольку мы не знаем заранее, как распределяются индуцированные заряды в веществе.
Ясно только, что распределениеэтих зарядов зависит от природы и формы вещества, а также отконфигурации внешнего поля Е о .Поэтому в общем случае решение вопроса о результирующем поле Е в диэлектрике наталкивается на серьезные трудности: определение макрополя Е' связанных зарядов в каждомконкретном случае представляет собой, вообще говоря, сложную самостоятельную задачу — универсальной формулы длянахождения Е', к сожалению, нет.Исключение составляет случай, когда все пространство, гдеимеется поле Ео, заполнено однородным изотропным диэлектриком. Рассмотрим этот случай более подробно. Представимсебе заряженный проводник (или проводники) в вакууме —обычно сторонние заряды располагаются на проводниках. Какмы уже знаем, в состоянии равновесия поле внутри проводникаЕ = 0, это при определенном и единственном распределении поверхностного заряда а.
Пусть в окружающем проводник пространстве создано при этом поле Е о .Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. В таком диэлектрике вследствие его поля-Электрическое поле в диэлектрике85ризации появятся только поверхностные связанные зарядыа' — на границе с проводником, причем заряды а' однозначносвязаны со сторонними зарядами а на поверхности проводникасогласно (3.27).Внутри же проводника поле по-прежнему будет отсутствовать (Е = 0). Это значит, что распределение поверхностных зарядов (стороннихст+ связанных а') на границе раздела проводника и диэлектрика будет подобно прежнему распределениюсторонних зарядов (а), и конфигурация результирующего поляЕ в диэлектрике останется той же, что и при отсутствии диэлектрика.
Изменится только значение поля в каждой точке.Согласно теореме Гаусса сг 4- ст' = г0Еп, где Еп = Dn/zz0 = a/se0,поэтомуa+a'=a/8.(3.28)Но если заряды, создающие электрическое поле, всюду на границе раздела уменьшились в 8 раз, значит, и само поле Е тожестало всюду меньше поля Е о во столько же раз:Е = EQ/S.(3.29)Умножив обе части этого равенства на se0, получимD = Do,(3.30)поле вектора D в рассматриваемом случае не меняется.Формулы (3.29) и (3.30), оказывается, справедливы и в более общем случае, когда однородный диэлектрик целиком заполняет объем между эквипотенциальными поверхностямиполя Е о сторонних зарядов (или внешнего поля). И здесь внутри диэлектрика Е = E0/s и D = D o .
В указанных случаях напряженность Е' поля связанных зарядов находится в простой связис поляризованностью Р диэлектрика, а именноЕ' = -Р/8 0 .(3.31)Это соотношение легко получить из формулы Е = Е о 4- Е', еслиучесть, что Е о = БЕ и Р = Х8ОЕ.В других случаях, как уже было отмечено, дело обстоит значительно сложнее, и формулы (3.29)-(3.31) становятся не справедливыми.Глава 386Следствия. Итак, если однородный диэлектрик заполняетвсе пространство, занимаемое полем, то напряженность £ полябудет в е раз меньше напряженности Е о поля тех же стороннихзарядов, но при отсутствии диэлектрика.
Отсюда следует, чтопотенциал ф во всех точках также уменьшается в s раз:Ф =Фо/8,(3.32)где ф 0 — потенциал поля в отсутствие диэлектрика. Это же относится и к разности потенциаловU = C/o/s,(3.33)где Uo — разность потенциалов в вакууме, без диэлектрика.В простейшем случае, когда однородный диэлектрик заполняет все пространство между обкладками конденсатора, разность потенциалов U между его обкладками будет в Б раз меньше, чем при отсутствии диэлектрика (разумеется, при том жезначении заряда q на обкладках). А раз так, то емкость конденсатора (С = q/U) при заполнении его диэлектриком увеличитсяв 8 раз:С'=БС,(3.34)где С — емкость конденсатора без диэлектрика.
Следует обратить внимание на то, что эта формула справедлива при заполнении всего пространства между обкладками конденсатора ибез учета краевых эффектов.С помощью некоторых диэлектриков (керамик) удалось создать конденсаторы емкостью в несколько фарад (!).Задачи3.1. Поляризованность диэлектрика и связанный заряд. Точечный сторонний заряд q находится в центре сферического слоя неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону Б = а/г, где а — постоянная, г — расстояние от центра системы.
Найти объемнуюплотность р' связанных зарядов как функцию г внутри слоя.Решение. Воспользуемся уравнением (3.6), взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом г, центр которой совпадает сЭлектрическое поле в диэлектрике87центром системы. Тогдагде g'(r) — связанный заряд внутри этой сферы. Запишем дифференциал этого выражения:4nd(r2Pr)=-dq'.(1)Здесь dq' — связанный заряд в тонком слое между сферами радиусов г и г + dr. Имея в виду, что dq' = fAnr2dry преобразуем (1) квидуr 2 dP r + 2rPrdr - -р'готкудаRH4В нашем случаеЕЕ4ЯГ 2и выражение (2) после соответствующих преобразований будетиметь вид4тга, г2Это и есть искомый результат.3.2.
Теорема Гаусса для вектора D. Бесконечно большая пластина изоднородного диэлектрика с проницаемостью е заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью р > 0. Толщинапластины 2а. Найти:1) модуль вектора Е и потенциал (р как функции расстояния / отсередины пластины (потенциал в середине пластины положитьравным нулю); взяв координатную ось X перпендикулярно пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекцииЕх(х) вектора Е и потенциала Ф(Я);2) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.Решение. 1. Из соображений симметрии ясно, что в середине пластины Е = 0, а во всех остальных точках вектор Е перпендикулярен поверхности пластины.
Для определения Е воспользуемся те-Глава 388оремой Гаусса для вектора D (ибо нам известно распределение только сторонних зарядов). Возьмем в качестве замкнутойповерхности прямой цилиндр высотой I, один торец которого совпадает со средней плоскостью пластины.
Пусть площадь сеченияэтого цилиндра равна S, тогдаDS = pSl, D=pl, E = pZ/££0, (I < а),DS = pSa, D = pa, E = pa/£0, (I > a).Ех>Графики функций Ех(х) и у(х) показаны нарис. 3.11. Полезно убедиться, что графикЕх(х) соответствует производной -ду/дх.фмzj—-—»——-а/О2. Согласно (3.13) поверхностная плотность связанного зарядааX\ФN,г,Б-1г,& = Рп = к г0Еп=pa > 0.NЭтот результат справедлив для обеих поверхностей пластины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
