И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Последним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения таких зарядов ограничена. Они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул. Связанные заряды мы будем отмечать штрихом (д', р', а').Итак, при поляризации диэлектрика в нем могут возникать вобщем случае и объемные и поверхностные связанные заряды.Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика,называют сторонними*. Эти заряды могут находиться каквнутри, так и вне диэлектрика.Поле в диэлектрике. Полем Е в диэлектрике мы будем называть величину, являющуюся суперпозицией поля Е о стороннихзарядов и поля Е' связанных зарядов:Е = Е 0 + Е',(3.1)* Сторонние заряды часто называют свободными, но последнее название дляряда случаев является неудачным: сторонние заряды бывают и не свободными.Электрическое поле в диэлектрике71где Ео и Е' представляют собой макрополя, т.
е. усредненные пофизически бесконечно малому объему микрополя соответственно сторонних и связанных зарядов. Ясно, что определенное таким образом поле Е в диэлектрике является также макрополем.§ 3.2. Поляризованность РОпределение. Для количественного описания поляризациидиэлектрика естественно взять дипольный момент единицыобъема. Если внешнее поле или диэлектрик (или то и другое)неоднородны, степень поляризации оказывается различной вразных точках диэлектрика.
Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, мысленно выделяют физически бесконечно малый объем AV> содержащий эту точку, затем находятвекторную сумму дипольных моментов молекул в этом объемеи составляют отношениеР= — £Р*.(3.2)Определенный таким образом вектор Р называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному моменту единицы объема вещества.Есть еще два полезных представления вектора Р.
Пусть вобъеме AV содержится AN диполей. Умножим и разделим правую часть выражения (3.2) на AN. Тогда можно записатьР - "<Р>,(3.3)где п = AN/AV — концентрация молекул (их число в единицеобъема); (р) = (Zp^/AN — средний дипольный момент одной молекулы.Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрикакак совокупности положительной и отрицательной «жидкостей». Выделим очень малый объем AV внутри диэлектрика.При возникновении поляризации входящий в этот объем положительный заряд р'+ AV сместится относительно отрицательногозаряда на величину 1, и эти заряды приобретут дипольный момент Ар = р'+ AV • 1.
Разделив обе части этого равенства на AV, получим выражение для дипольного момента единицы объема,72Глава 3т. е. вектор Р:Р=р'Д(3.4)Единицей поляризованности Р является кулон на квадратный метр (Кл/м2).Связь между Р и Е. Как показывает опыт, для обширногокласса диэлектриков и широкого круга явлений поляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, тоР=хе 0 Е,(3.5)где х — безразмерная величина, называемая диэлектрическойвосприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е,она характеризует свойства самого диэлектрика.
Всегда х > 0.В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будемиметь в виду только изотропные диэлектрики, для которыхсправедливо соотношение (3.5).Существуют, однако, и диэлектрики, для которых (3.5) неприменимо. Это некоторые ионные кристаллы и электреты (см.сноску на с. 69), а также сегнетоэлектрики.
У сегнетоэлектриков связь между Р и Е нелинейная и зависит, кроме того, отпредыстории диэлектрика, т. е. от предшествующих значенийЕ (это явление называют гистерезисом).§ 3.3. Свойства поля вектора РТеорема Гаусса для поля вектора Р. Как мы сейчас покажем, поле вектора Р обладает следующим замечательным иважным свойством. Оказывается, поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратнымзнаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме,охватываемом поверхностью S, т.
е.= -?внутр •(3.6)Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р.Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а, где диэлектрик заштрихован). При включении внешнего электриче-Электрическое поле в диэлектрикеского поля диэлектрик поляризуется — положительныезаряды сместятся относительно отрицательных. Найдемзаряд, который проходит через элемент dS замкнутойповерхности S наружу (рис.л_^v73о о" И С . О.А3.2, б).Пусть 1+ и 1_ — векторы, характеризующие смещения положительного и отрицательного связанных зарядов в результатеполяризации.
Тогда ясно, что через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд p'+J+d*Scosot,заключенный во «внутренней» части косого цилиндра(рис. 3.2, б). Кроме того, через элемент dS войдет внутрь поверхности S отрицательный заряд pW.dScosot, заключенный во«внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что переносотрицательного заряда в некотором направлении эквивалентенпереносу положительного заряда в противоположном направлении. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, какdq' =p + Z + dScosa + |p'_|Z_diScosa.Поскольку |р'_| = р+,dq' =p'+(Z+ + L)dScosa = p'+*dScosa,(3.7)где I = l+ + /_ — расстояние, на которое сместились относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации.Далее, согласно (3.4) р'+l = Р и dq' = PdScosa, илиdg f =P n dS = PdS.(3.8)Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверхности S, мы найдем весь заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого поверхностью S, он равен $PdS.В результате внутри поверхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q'.
Ясно, что вышедший заряд долженбыть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6).74Глава 3Дифференциальная форма уравнения (3.6). В дифференциальнойформе уравнение (3.6) — теорема Гаусса для поля вектора Р — имеетследующий вид:(3.9)т. е. дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемнойплотности избыточного связанного заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.6) точно таким же путем, как и аналогичноеуравнение для вектора Е (см.
с. 23). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на Р и р на р'.Когда в диэлектрике р' = 0? Как мы сейчас покажем, объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении двухусловий:1) диэлектрик должен быть однородным;2) внутри него не должно быть сторонних зарядов (р = 0).Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6)следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменивР на ХЕ 0 Е согласно (3.5), вынести к из-под знака интеграла и записатьк (peo2£cLS = Оставшийся интеграл есть не что иное, как алгебраическаясумма всех зарядов — сторонних и связанных — внутри рассматриваемой замкнутой поверхности S, т. е. q + q\ Поэтомуx(g + q') = -q\ откудаg'=_2L-g.1+x(ЗЛО)Это соотношение между избыточным связанным зарядом q'и сторонним зарядом q справедливо для любого объема внутридиэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого,когда q' - dq' = p'dF и q - dq = pdF. Тогда (3.10) после сокращения на dF примет видрр^1+к(3.11)Значит, в однородном диэлектрике р' = 0, если р = 0.Электрическое поле в диэлектрике75Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик какой угодноформы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные жеизбыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.Граничные условия для вектора Р.
Рассмотрим поведениевектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанныйзаряд.Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностнойплотностью а' связанных зарядов на границе раздела диэлектриков.
Для этого воспользуемся свойством (3.6) поля вектораР. Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположим по разные стороныграницы раздела (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а площадь AS каждого торца настолькомалой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Рбыл бы одинаков (это же касается и поверхностной плотностист' связанного заряда). Пусть п — общая нормаль к границе раздела в данном месте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
