И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Это связано с тем, что соотношениеА = д((р! - ф2) справедливо только для потенциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда q приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени.64Глава 22.6. Тонкое проводящее кольцо радиусом R, имеющее заряд д, расположено параллельно проводящей плоскости на расстоянии / отнее.
Найти: 1) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца; 2) потенциал электрического поля в центре кольца.Решение. Легко догадаться, что в соответствии с методом изображений фиктивный заряд -q долженyRбыть расположен на таком же кольце, но по другую сторону проводящей плоскости (рис. 2.14). Действи>=0тельно, только в этом случае потенциал на средней плоскости междуэтими кольцами равен нулю, т. е.±совпадает с потенциалом проводящей плоскости.
Теперь воспользуемся известными нам формулами.Рис. 2.141. Для нахождения а в точке О необходимо согласно (2.2) найтинапряженность Е поля в этой точке (рис. 2.14). Выражение для Еот одного кольца на оси было получено в примере 1 (см. с. 12). Внашем случае это выражение надо удвоить. В результатест =ql2. Потенциал в центре кольца равен алгебраической сумме потенциалов в этой точке, создаваемых зарядами q и -q:Ф =2.7.
Три разноименных точечных заряда расположены так, как показано на рис. 2.15, а, где ЛОБ —прямой угол, образованный двумяпроводящими полуплоскостями. Модуль каждого заряда равен |д|,расстояния между ними указаны на рисунке. Найти: 1) суммарный заряд, индуцированный на проводящих полуплоскостях; 2) силу, действующую на заряд -q.Решение.
Полуплоскости,образующие угол АО В,уходят в бесконечность,Рис. 2.15Проводник в электростатическом поле65поэтому их потенциал ф = 0. Нетрудно сообразить, что системой, укоторой эквипотенциальные поверхности с ф = 0 совпадают с проводящими полуплоскостями, является та, которая показана нарис. 2.15, б. Поэтому действие зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, эквивалентно действию фиктивного точечного заряда -д, помещенного в нижний левый угол пунктирного квадрата.1. Ответ на этот вопрос мы уже получили: -д.2. Сведя систему к четырем точечным зарядам, легко найти и искомую силу как (см. рис.
2.15, б)_ 2-72-12х"4ттб 02q2а2 *2.8. Емкость параллельных проводов. Два длинных прямых провода содинаковым радиусом сечения расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между осями проводов в т| раз большерадиуса сечения каждого провода. Найти емкость проводов наединицу их длины, при условии, что Т1 » 1.Решение.
Зарядим мысленно оба провода одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами так, чтобы на единицу длины приходился заряд к. Тогда, по определению, искомаяемкость(1)и все дальнейшее сводится к нахождениюразности потенциалов между проводами.Из рис. 2.16, на котором показаны графики зависимостей потенциалов ф+ и ф_ отположительно и отрицательно заряженных проводов, нетрудно понять, что искомая разность потенциаловU - |АФ+| + |АФ_| = 2 |Дф+| .(2)Напряженность электрического поля, соРис. 2.16здаваемого одним из проводов на расстоянии х от его оси, можно легко найти с помощью теоремы Гаусса:Е = к/2пгох.
ТогдаЬ-а|ЛФ+|=-3947Л2яе 0-Inb-a(3)Глава 266где а — радиус сечения провода; Ъ — расстояние между осямипроводов. Из (1), (2) и (3) следует, чтоздесь учтено, что Ь » а.2.9. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковом расстоянии h друг от друга, при12чем наружные пластины соединены между собойпроводником. Площадь каждой пластины S. Найтиемкость этой системы (между точками 1 и 2, рис.2.17).вРешение. Сообщим пластинам 1 и 2 соответственнозаряды q0 и -q0. Под действием возникшего междуэтими пластинами поля рассеяния (краевой эффект)Рис. 2.17произойдет перемещение заряда в замыкающем проводнике, после чего пластина А зарядится отрицательно, а пластина В — положительно. В пространстве между всемипластинами возникает электрическое поле и соответствующее распределение потенциала ф (рис. 2.18).
Заметим, что из симметриисистемы следует, что потенциалы в ее середине, а также на наружных пластинах равны нулю. По определению емкость системы в данном случае(1)С-Яо/и,()Е'€ЕЕ'У'уNИРис. 2.18вXгде U — разность потенциалов между точками 1 и 2, ее и надо найти. Из рис. 2.18видно, что разность потенциалов междусредними пластинами, т. е.
I/, вдвое больше разности потенциалов между крайнейпарой пластин (как слева, так и справа).Это же относится и к напряженностиполя:Е = 2Е'.(2)А так как Е сост,то мы можем утверждать, что в соответствии с(2) заряд q0 на пластине 1 делится на две части: до/3 — на левойстороне пластины 1 и 2qo/3 — на правой стороне. ПоэтомуU = Eh =стЛ/е0= 2qoh/3EOS,и емкость системы (между точками 1 и 2) равнаС = 3z0S/2h.Проводник в электростатическом поле672.10.
Распределение индуцированного заряда. Точечный заряд q находится между двумя большими параллельными проводящимипластинами 1 и 2, отстоящими друг от друга на расстояние /.Найти полные заряды qx и д 2 , наведенные на каждой из пластин,если пластины соединены проводом и заряд q расположен нарасстоянии 1Х от левой пластины 1 (рис. 2.19. а).Решение. Воспользуемся принципом суперпозиции.
Поместиммысленно на плоскости Р где-тоеще такой же заряд q. Ясно, чтоэто удвоит поверхностный зарядна каждой пластине. Если же наповерхности Р равномерно распределить некоторый заряд с поверхностной плотностью а, то4электрическое поле станет простым для расчета (рис. 2.19, б).1 IPPП-<лКЯ=а)CT Uб)Рис. 2.19Пластины соединены проводом,поэтому разность потенциалов между ними равна нулю. ОтсюдаEixh + E2x(l - h) - 0,где Е1х и Е2х — проекции вектора Е на ось X слева и справа отплоскости Р (рис. 2.19, б).С другой стороны, очевидно, чтоа = -(ах + а 2 ),где согласно (2.2) аг = е о £ 1 л 1 = 80£1х и а 2 = ^Егпг^ ^Ъх (знакминус, так как нормаль п 2 противоположна орту оси X).Исключив Е1х и Е2х из этих уравнений, получимАналогичный вид имеют и формулы для искомых зарядов qx иq2 через заряд д.Решение же этой задачи с помощью метода изображений весьмазатруднительно: необходим бесконечный ряд фиктивных зарядов, располагающихся по обе стороны от нашего заряда д, и нахождение поля такой системы оказывается сложной задачей.— Глава 3=Электрическое поле в диэлектрике§ 3.1.
Поляризация диэлектрикаДиэлектрики. Диэлектриками (или изоляторами) называют вещества, практически не проводящие электрического тока.Это значит, что в диэлектриках в отличие, например, от проводников нет зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния, создавая ток.При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнееэлектрическое поле обнаруживаются существенные изменениякак в поле, так и в самом диэлектрике; последнее следует хотябы из того, что на диэлектрик начинает действовать сила, увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком и др.Чтобы понять, почему это происходит, надо прежде всегоучесть, что диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул,либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки (ионные кристаллы, например, типа NaCl).
Самиже молекулы могут быть полярными и неполярными. У полярных молекул центр «тяжести» отрицательного заряда сдвинут относительно центра тяжести положительных зарядов, врезультате чего они обладают собственным дипольным моментом р. Неполярные же молекулы собственным дипольным моментом не обладают: у них центры тяжести положительного иотрицательного зарядов совпадают.Поляризация.
Под действием внешнего электрического поляпроисходит поляризация диэлектрика. Это явление заключается в следующем. Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов — положительных по полю, отрицательных против поля.Если же диэлектрик состоит из полярных молекул, то при отсутствии внешнего поля их дипольные моменты ориентирова-69Электрическое поле в диэлектрикены совершенно хаотически (из-за теплового движения).
Поддействием же внешнего поля дипольные моменты ориентируются преимущественно в направлении внешнего поля. Наконец, в диэлектрических кристаллах типа NaCl при включениивнешнего поля все положительные ионы смещаются по полю,отрицательные — против поля*.Таким образом, механизм поляризации связан с конкретным строением диэлектрика. Однако для дальнейшего существенно лишь то, что независимо от механизма поляризации вэтом процессе все положительные заряды смещаются по полю,а отрицательные — против поля. Заметим, что смещения зарядов в обычных условиях весьма малы даже по сравнению с размерами молекул, это связано с тем, что напряженность внешнего поля, действующего на диэлектрик, значительно меньше напряженности внутренних электрических полей в молекулах.Объемные и поверхностные связанные заряды.
В результате поляризации на поверхности диэлектрика, а также, вообщеговоря, и в его объеме появляются нескомпенсированные заряды. Чтобы понять, каким образом возникают эти заряды (особенно объемные), обратимся к следующей модели. Пусть имеется пластина из нейтрального неоднородного диэлектрика(рис. 3.1, а), у которого, например, плотность как-то увеличивается с ростом координаты х. Обозначим р'+ и р_' _ — модулиобъемной плотности положительного и отрицательного зарядовв веществе (эти заряды связаны с ядрами и электронами).£=0АР!|ьс(-а)р;\1\б)Рис. 3.1Существуют ионные кристаллы, поляризованные даже при отсутствии внешнего поля.
Этим же свойством обладают диэлектрики, называемые электретами (они подобны постоянным магнитам).70Глава 3При отсутствии внешнего поля в каждой точке диэлектрикар'+ = р'_ , ибо диэлектрик электрически нейтрален, но в силу неоднородности диэлектрика как р'+, так и рг_ увеличиваются сростом х (рис. 3.1, б). Из этого рисунка видно, что если внешнего поля нет, то оба распределения в точности накладываютсядруг на друга (распределение р'+(х) показано сплошной линией,а распределение р'_(х) — пунктирной).Включение внешнего поля Е приведет к смещению положительных зарядов по полю, отрицательных — против поля, и обараспределения сдвинутся относительно друг друга (рис.
3.1, в).В итоге появятся нескомпенсированные заряды на поверхностидиэлектрика и в его объеме (на нашем рисунке в объеме появился отрицательный нескомпенсированный заряд). Заметим,что изменение направления поля на обратное приведет к изменению знака всех этих зарядов. Нетрудно также видеть, что вслучае пластины из однородного диэлектрика каждое распределение р'+(*) и pL(jc) имело бы П-образную форму, и при их относительном смещении в поле Е возникли бы только поверхностные нескомпенсированные заряды.Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результатеполяризации диэлектрика, называют поляризационными илисвязанными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
