И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Таким образом, еслиРис. 3.11сторонний заряд р > 0, то на обеих поверхностях пластины выступит также положительный связанный заряд.Для определения объемной плотности связанного заряда воспользуемся уравнением (3.9), которое в нашем случае будет иметь наиболее простой вид:дРхд (г-1Лг - 1р' = - — - = - —Р* =р.дхдх{ еJЕОтсюда видно, что связанный заряд распределен по объему равномерно и имеет знак, противоположный стороннему заряду.3.3. Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны а и Ь.
Изобразить примерные графики напряженности Е и потенциала (р электрического поля как функции расстояния г от центра системы, если данному диэлектрику сообщили положительный сторонний заряд,распределенный равномерно: 1) по внутренней поверхности слоя;2) по объему слоя.Решение. 1. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D, взяв вкачестве замкнутой поверхности сферу радиусом г:4nr2D = a,Электрическое поле в диэлектрике89где q — сторонний заряд внутри этой сферы. Отсюда следует, что2D(r < а) - 0,D(r > а) = q/4nr .Искомая напряженность£(r<a) = O, E(r>a) = D/EE0.График зависимости Е(г) показан на рис. 3.12, а. На этом жерисунке изображен и графикзависимости ф от г.
График ф(г)должен иметь такой вид, чтобыпроизводная ду/дг, взятая с об-Фратным знаком, соответствовала графику функции Е(г).б)Рис. 3.12При этом должно быть учтено иусловие нормировки: ф -» О при г-> оо.Следует обратить внимание на то, что график ф(г) является непрерывным. В местах конечных разрывов функции Е{г) график ф(г)испытывает лишь изломы.2. В данном случае согласно теореме Гаусса4nr2D = 4/,где р — объемная плотность стороннего заряда. ОтсюдаE =DЕЕ0-Рг*-а*Зее 02гГрафики зависимостей Е(г) и ф(г) показаны на рис. 3.12, б.3.4. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью р > 0 по шару радиусом а из однородного диэлектрика с проницаемостью Е.
Найти: 1) модуль вектора Б как функцию расстояния г от центра шара, изобразить примерные графики функцииЕ(г) и потенциала ф(г); 2) поверхностную и объемную плотностисвязанных зарядов.Решение. 1. Для определения Е воспользуемся теоремой Гауссадля вектора D, поскольку задано распределение лишь стороннихзарядов:4тгг21> = - я г 3 р ,3D = 3E = —ЗЕЕ 0г,90Глаг>а,вЗг 2аео3ELЗБ0г2Графики функций £(г) и ф(г) показаны нарис.
3.13.2. Поверхностная плотность связанногозарядаОаЕТ3Для нахождения объемной плотностисвязанных зарядов достаточно повторитьрассуждения, которые привели нас кформуле (3.11), и мы получимРис. 3.13р' =Р.(1)£Этот результат можно получить и иначе — с помощью уравнения(3.9). А именно, так как Р — Х£ОЕ и к не зависит от координат(внутри шара), тогде e 0 V'E = р + р'.
Поэтому р' = - х (р + р'), откуда и следует (1).3.5. Емкость проводника. Найти емкость шарового проводника радиусом а, окруженного примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным радиусом Ъ и проницаемостью г. Изобразить примерные графики зависимостей поля Е(г) и потенциалаф(г), где г — расстояние от центра шара, если проводник заряженположительно.Решение.
По определению, емкость С = g/ф. Найдем потенциал фпроводника, мысленно сообщив ему заряд q:После интегрирования этого выражения получим:i-l)a/bЭлектрическое поле в диэлектрике91Графики зависимостей Е(г) и ф(г) показаны на рис. 3.14.3.6. Емкость конденсатора. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и Ь, гдеа < Ьу заполнен изотропным, но неоднородным диэлектриком, проницаемостькоторого зависит от расстояния г до центра системы как е = а/г, а — постоянная.Найти емкость такого конденсатора.Рис.
3.14Решение. Согласно определению емкости конденсатора (С = q/U)задача сводится к нахождению разности потенциалов U при заданном заряде q:и(1)где предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q > 0.Определим Е с помощью теоремы Гаусса для вектора D:ES 028 ГЯ_агПосле подстановки последнего выражения в (1) и соответствующего интегрирования найдем:а\пф/а)3.7. Теорема Гаусса и принцип суперпозиции. Имеется диэлектрический шар, который сохраняет состояние поляризации после выключения внешнего электрического поля.
Если шар поляризованоднородно, то напряженность поля внутри него Е' = -Р/Зе 0 , гдеР — поляризованность.1. Получить эту формулу, считая что так поляризованный шаресть результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов.2. Воспользовавшись этой формулой, найти напряженность Еополя в сферической полости внутри безграничного статически поляризованного (Р) диэлектрика, если вдали от полости напряженность в диэлектрике равна Е.Решение.
1. Представим такой шар в виде двух шаров одинакового радиуса, имеющих равномерно распределенные заряды с плот-Глава 392ностями р и -р. Пусть в результате малогосдвига центры шаров сместились относительно друг друга на расстояние 1 (рис. 3.15).Тогда в произвольной точке А внутри шараО £QОEQгде использовано, что напряженность полявнутри равномерно заряженного шара Е —Рис. 3.15= рг/Зе0, это непосредственно следует из теоремы Гаусса.
Остается учесть, что, согласно (3.4), pi = Р.2. Создание сферической полости в диэлектрике эквивалентноудалению шарика из поляризованного вещества. Поэтому попринципу суперпозиции поле Е внутри диэлектрика может бытьпредставлено как сумма Е = Е' + Е о . ОтсюдаЕ о = Е - Е' = Е + Р/Зе 0 .Т. е.
поле в сферической полости больше поля Е в диэлектрике навеличину Р / З Б 0 .3.8. Граничные условия. Вблизи точки А (рис. 3.16) границы разделадиэлектрик — вакуум напряженность электрического поля в вакууме равна JE 0 , приEQ чем вектор EQ составляет угол а 0 с нормалью к поверхности раздела в данной точке.Проницаемость диэлектрика е. Найти отношение Е/Ео, где Е — напряженность полявнутри диэлектрика вблизи точки А.Рис.
3.16Решение. Напряженность поля внутри диэ-лектрикаЛ = д/ Л+ JPj .IllВоспользовавшись условиями (3.22) и (3.24) на границе разделадиэлектриков, найдем:Я т = Ео sin а 0 ,Еп = 2> Л /Б6 0 = EQJZ= (Е0/Е)COS а 0 ,где ЕОп — нормальная составляющая вектора EQ В вакууме. Подставив эти выражения в (1), получимЕ = J s1i. n2 2 a0т. е. Е < Епc°s293Электрическое поле в диэлектрике3.9.
Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии I от плоской поверхности однородного диэлектрика, заполняющего все полупространство.Проницаемость диэлектрика 8. Найти:1) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстоянияг от точечного заряда q, исследоватьполученный результат; 2) суммарныйсвязанный заряд на поверхности диэлектрика.Рис. 3.17Решение. 1. Воспользуемся непрерывностью нормальной составляющей вектора D на границе диэлектрика (рис. 3.17):Г>2п = DIn»ИЛИ44TI6 0 г24ЯЕ 0где слагаемое crf/2e0 — это составляющая напряженности поля,создаваемая вблизи рассматриваемого участка плоскости, на котором поверхностная плотность заряда равна ст\ Из последнегоуравнения следует, чтоE-lql(1)е+12тгг 3Здесь учтено, что cos$ = l/r.
При I -> 0 величина а' -» 0, т. е. еслизаряд q находится на самой границе раздела, то поверхностныйзаряд на плоскости отсутствует.2. Рассмотрим тонкое кольцо на границе раздела с центром в точке О (рис. 3.17). Пусть внутренний и внешний радиусы этого кольца f и f + dr\ Поверхностный связанный заряд в пределах данного кольца dg' = а' • 2nrfdr/. Из рисунка видно, что г2 = I2 + г'2, откуда rdr =*fdf, и выражение для dq' с учетом (1) приобретает вид, ,dq' =eе - l1 , drdrrtf-g-Е+1Е+ 1"Г94Глава 3Проинтегрировав это уравнение по г от I до оо, получимЯ=-Я •6+ 13.10.
Точечный заряд q находится на плоскости, отделяющей вакуумот безграничного однородного диэлектрика с проницаемостью Б.Найти модуль векторов D и Е во всем пространстве.Решение. В данном случае из условия непрерывности нормальной составляющей вектора D следует, что Е2п = zEln. Вклад внормальную составляющую вектора Е будет давать только поверхностный заряд а' вблизи интересующей нас точки, поэтомупредыдущее равенство можно переписать так:СТ'/2Б0 = Б (-аУ2е0).Отсюда сразу видно, что а' = 0.Итак, в данном случае поверхностный связанный заряд отсутствует (кроме точек, непосредственно прилегающих к точечномустороннему заряду q).
Значит, электрическое поле в окружающем пространстве — это поле точечного заряда q + q', и Е зависит только от расстояния г до этого заряда. Но заряд q' нам неизвестен, поэтому воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D.Взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом г с центром в точке нахождения заряда q, запишем2nr2D0 + 2nr2D = g,где Don D — модули вектора D соответственно в вакууме и диэлектрике на расстоянии г от заряда д.Кроме того, из условия непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е следует, чтоD = eZ>0.Из последних двух условий находим, что2я(1 + s)r22я(1 + е)г2и напряженность электрического поля во всем пространствеЧ2я(1Видно, что при Б — 1 эти формулы переходят в известные намвыражения для D и Е точечного заряда в вакууме.Электрическое поле в диэлектрике95Полученные результаты графически представлены на рис.
3.18.Следует обратить внимание на то, что поле D в данном случаеопределяется не только сторонними зарядами (иначе оно имелобы вид поля точечного заряда).ттщжмтвПоле ЕПоле DРис. s3.18т- Глава 4=Энергия электрического поля§ 4.1. Электрическая энергия системы зарядовЭнергетический подход к взаимодействию. Такой подход квзаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим, весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме того, открывает возможность по-иному взглянуть ина само электрическое поле как физическую реальность.Прежде всего мы выясним, как можно прийти к понятию оэнергии взаимодействия системы зарядов.1. Сначала рассмотрим систему, состоящую из двух точечных зарядов 1 и 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
