И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(Нооб этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)Задачи6.1. Непосредственный расчет индукции В. Ток/ течет по тонкому проводнику, изогнутому, как показано на рис. 6.16. Найти магнитную индукцию В в точке О. Необходимые данные указаны на рисунке.Решение. Искомая величина В = В_ + В^ ,где В_ — магнитное поле от прямолинейного участка контура; В^ — от его криволинейной части. Согласно закону Био—Савара (см. пример 1 на с. 150)- I I—• 4ftacosa 0В результате2naРис.
6.16tga 0 ,ц 0 /(2тг-2а о )а=^^—4я2яааВ = (я - a 0 + tg ао)цо^/2яа.Полезно убедиться, что при а 0 -> 0 мы приходим к известному выражению (6.13).Глава 61686.2. Тонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из большого числа N плотно расположенных витков, покоторым течет постоянный ток /. Радиусывнутреннего и внешнего витков равны а и Ъ(рис.
6.17). Найти: 1) магнитную индукцию Вв центре спирали — точке О; 2) магнитныймомент спирали при данном токе.Решение. 1. Вклад в магнитную индукцию отодного витка радиуса г равен согласно (6.13)Рис. 6.17(1)а от всех витковВ= JBldN,(2)где dN — число витков в интервале (г, г + dr),(3)Ъ-аПосле подстановки (1) и (3) в (2) и последующего интегрированияпо г от а до Ь получим2ф-а)а2. Магнитный момент одного витка радиуса г ecTbpml= /яг2, а всехвитков рт = fpmldN, где dN определяется формулой (3). Интегрирование даетВ=nIN Ъ*-а3nIN .
2,(а + аЪ3 V2,).Ь-а36.3. Ток / течет по длинному прямому проводнику, имеющему формужелоба с поперечным сечением в виде тонкого полукольца радиусом R (рис. 6.18). Найти магнитную индукцию В на оси О.Рис. 6.18Решение. Прежде всего выясним, куда направлен вектор В вточке О. Для этого мысленноразобьем весь проводник на элементарные нити с током d/.Тогда ясно, что любые две симметричные нити дадут в суммеМагнитное поле в вакууме169вектор dB, направленный вправо (рис. 6.19). Значит, туда жебудет направлен и вектор В.Поэтому для нахождения поляВ в точке О достаточно найтисумму проекций элементарныхвекторов dB от каждой нититока на направление вектора В:Рис.
6.19В = JdEsincp.(DdB =(2)Согласно (6.11)где d/ = (J/rc)d(p (см. рис. 6.19). Цосле подстановки (2) в (1) получимВ=М22тт Д6.4. Теорема о циркуляции В и принцип суперпозиции. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеетсякруглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна осипровода и смещена относительно последней на расстояние 1. Попроводу течет постоянный ток плотности j . Найти магнитную индукцию В внутри полости.Решение. Искомую величину можно представить согласно принципу суперпозиции какВ - В о - В\(1)где В о — магнитная индукция в том случае, если бы проводникбыл сплошным (без полости), а В' — магнитная индукция поля втой же точке от тока, текущего по части провода, которую мыудалили, образовав полость круглого сечения.Таким образом, задача предусматривает прежде всего вычислениемагнитной индукции В внутри сплошного провода на расстоянииг от его оси.
Воспользовавшись теоремой о циркуляции, запишем2nrB = \i0nr2j, откуда В = ц0гу/2. Последнее равенство можно представить с помощью рис. 6.20 в векторной форме:В - ц о [М/2.Глава 6170ВРис. 6.20Рис. 6.21Представив теперь по этой формуле В о и В', из выражения (1) найдем их разность:Из рис. 6.21 видно, что г = 1 + г', откуда г - г' = 1 иВ - МоОЦ/2.Таким образом, в нашем случае магнитное поле В в полости является однородным, и если ток течет к нам (рис. 6.21), то поле В направлено в плоскости этого рисунка вверх.6.5. Принцип суперпозиции.
Имеется длинный соленоид с током /.Площадь поперечного сечения соленоида S> число витков на единицу длины п. Найти магнитный поток сквозь торец этого соленоида.Решение. Пусть поток вектора В сквозь торец соленоида равен Ф.Если приставить к данному соленоиду еще такой же, то поток через соприкасающиеся торцы будет Ф + Ф = Ф о , где Ф о — потоксквозь поперечное сечение соленоида вдали от его торца. ТогдаФ = Фо/2 = nonIS/2.Попутно следует обратить внимание на следующие особенностиполя В у торца длинного соленоида.1. Линии вектора В расположены так, как показано на рис.
6.22.Это нетрудно понять с помощью принципа суперпозиции: если приставитьсправа еще такой же соленоид, поле Ввне образованного таким образом составного соленоида должно обратитьсяв нуль, а это возможно только при указанной на рисунке конфигурации поля.Рис. 6.22Магнитное поле в вакууме1712. Из того же принципа суперпозиции следует, что нормальная составляющая Вп будет одинакова по площади торца, ибо при образовании составного соленоида Вп + Вп = Во , где Во — поле внутрисоленоида вдали от его торцов.
В центре торца В = Вп, и мы получаем, что В = £ 0 / 2 .6.6. Поле соленоида. Намоткой длинногосоленоида с радиусом сечения а служит тонкая лента-проводник шириной hy намотанная в один слой практически вплотную. Вдоль ленты течет постоянный ток /. Найтимагнитное поле В внутри и вне соленоида как функцию расстояния г отего оси.\уa)^Решение.
Вектор линейной плотности тока i можно представить ввиде суммы двух составляющих:смысл векторов i± и i|( ясен из рис. 6.23, б. В нашем случае модулиэтих векторов можно найти с помощью рис. 6.23, а по формулам:i± = i cos a- (Л/2тш)2- sin 2 а =1ц = isinot = I/2na.Магнитная индукция В внутри соленоида определяется согласно(6.20) величиной il9 а вне соленоида — величиной L:Bt =(г < а),= цо//2яг(г > а),где при вычислении Ва вне соленоида была использована теоремао циркуляции: 2пгВа = цо2яШц.Таким образом, представив- ток в соленоиде в виде суперпозиции«поперечной» и «продольной» составляющих, мы пришли к выводу, что внутри такого соленоида существует только продольнаясоставляющая поля В, а вне соленоида — только поперечная (какот прямого тока).Кроме того, если уменьшить ширину ленты, оставляя неизменнойплотность тока, то при Л -> 0 сила тока / -> 0, но I/h = const.
Вэтом случае остается только поле внутри соленоида — соленоидстановится «идеальным».172Глава 66.7. Взаимодействие параллельных проводников. Два длинных провода с пренебрежимо малым сопротивлением замкнуты с одногоконца на сопротивление R, а с другого конца подключены к источнику постоянного напряжения. Радиус сечения каждого провода в г) = 20 раз меньше расстояния между осями проводов. Прикаком значении сопротивления R результирующая сила взаимодействия проводов обратится в нуль?Решение. На каждом из проводов (протекает по ним ток или нет)имеются избыточные поверхност».ные заряды (рис.
6.24). ПоэтомуF\\R к Р о м е магнитной силы FM необхо-I^пгдимо учесть и электрическую F9.Пусть на единицу длины проводамприходится избыточный заряд X.Рис. 6.24Тогда электрическая сила, действующая на единицу длины провода состороны другого провода, может быть найдена с помощью теоремы Гаусса:4яе I0„_1 2Х2Х2Лгде / — расстояние между осями проводов. Магнитную же силу,действующую также на единицу длины провода, можно найти спомощью теоремы о циркуляции вектора В:^м ™ (цо/4я)2/2//,где / — сила тока в проводе.Заметим, что обе силы — электрическая и магнитная — направлены в противоположные стороны.
Электрическая сила обусловливает притяжение проводов, магнитная — их отталкивание.Найдем отношение этих сил:•Рм/^э = е о Ио/ 2 Л 2 -(1)Между величинами / и X существует определенная связь (см. задачу 2.8):X = ЦС/ =U,(2)1пг|где U = RI. Поэтому из соотношения (2) следует, чтоI/X = lnn/яеоД.(З)Магнитное поле в вакууме173После подстановки (3) в (1) получимFM _ ц 0 In 2 лn2R2(4)Результирующая сила взаимодействия обращается в нуль, когдапоследнее отношение равно единице.
Это будет при R = Д 0 , гдеЕсли R < RQ, T O F M > F9 — провода отталкиваются, если же R > RQ,то Fu < F9 — провода притягиваются. Это можно наблюдать наопыте.Таким образом, утверждение, что провода, по которым текут токипротивоположного направления, отталкиваются, справедливо тогда, когда электрической частью взаимодействия можно пренебречь, т. е. при достаточно малом сопротивлении R в схеме (6.24).Кроме того, измерив силу взаимодействия между проводами с током (а сила всегда измеряется как результирующая), мы не можем, вообще говоря, определить силу тока /.
Это необходимоиметь в виду во избежание недоразумений.6.8. Момент сил Ампера. В поле длинногопрямого провода с током / 0 находитсяконтур с током / (рис. 6.25). Плоскостьконтура перпендикулярна прямому проводу. Найти момент сил Ампера, действующий на этот контур. Необходимые размеры системы указаны на рисунке.Решение. Силы Ампера, действующие накриволинейные участки контура, равнынулю. Силы же, действующие напрямолинейные участки, создаютпару сил. Момент этой пары силнам и надо вычислить.Выделим два малых элемента контура (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
