И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 29
Текст из файла (страница 29)
7.4, элемент dlконтура Г обвивают те молеку-4лярные токи, центры которыхпопадают внутрь косого цилиндрика с объемом dF = S M cos a cU,где а — угол между элементомdl контура и направлением векРис. 7.4тора J в данном месте. Все этимолекулярные токи пересекают поверхность S один раз, и ихвклад в ток намагничивания dl' = / м п dV, где п — концентрация молекул. Подставив сюда выражение для dF, получимd/f = /MSM/i cos a dZ = Jcos a dl = Jdl;здесь учтено, что / M S M = рм — магнитный момент отдельногомолекулярного тока, а произведение IMSMn — магнитный момент единицы объема вещества.Проинтегрировав полученное выражение по всему контуруГ, получим (7.5). Теорема доказана.Остается заметить, что если магнетик неоднородный, то токнамагничивания /', вообще говоря, пронизывает всю поверхность (см. рис. 7.3), а не только у ее границы, прилегающей кконтуру Г.
Именно поэтому его и можно представить какГ = Jj'dS, где интегрирование распространяется по всей поверхности S, ограниченной контуром Г. В приведенном же доказательстве нам удалось весь ток /' как бы «согнать» к границе поверхности S — прием, единственной целью которого являетсяупростить вычисление этого тока.Глава 7182Дифференциальная форма уравнения (7.5):(7.6)VxJ=j',т. е.
ротор намагниченности J равен плотности тока намагничивания втой же точке пространства.Замечание о поле вектора J. Свойства поля вектора J , выраженные уравнениями (7.5) и (7.6), разумеется, не означают,что само поле J определяется только токами /'. Поле вектора J(оно ограничено только той областью пространства, которое заполнено магнетиком) зависит от всех токов — как от тока намагничивания /', так и от тока проводимости /. Однако в некоторых случаях с определенной симметрией дело обстоит так,как будто поле вектора J определяется только токами /'.Пример. Найдем поверхностный ток намагничивания, приходящийсяна единицу длины цилиндра из однородного магнетика, еслиего намагниченность J, причем вектор J направлен всюдувдоль оси цилиндра.Применим уравнение (7.5) к контуру, выбранному так, как показано на рис.
7.5. Циркуляция вектора J по этому контуру равна,как нетрудно сообразить, произведению Л.Ток намагничивания здесь поверхностный.Если обозначить его линейную плотностьбуквой V, то рассматриваемый контур охватывает ток намагничивания VI. Из равенстваЛ — VI получаемV = J.(7.7)Рис. 7.5Отметим попутно, что векторы Г и J взаимноперпендикулярны: i' _L J.§ 7.3. Вектор НТеорема о циркуляции вектора Н (для магнитного поля постоянных токов). В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В теперь будет определяться не только токамипроводимости, но и токами намагничивания, а именно:(7.8)Магнитное поле в веществе183где / и /' — токи проводимости и намагничивания, охватываемые заданным контуром Г.Ввиду того что определение токов J' в общем случае задачасложная, формула (7.8) становится малопригодной в практическом отношении. Оказывается, однако, можно найти некоторый вспомогательный вектор, циркуляция которого будетопределяться только токами проводимости, охватываемымиконтуром Г.
Действительно, мы уже знаем, что с током Г связана циркуляция намагниченности:/'.(7.9)Предполагая, что циркуляция векторов В и J берется по одному и тому же контуру Г, выразим/' в уравнении (7.8) по формуле (7.9), тогда:(7.10)Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой Н.Итак, мы нашли некоторый вспомогательный вектор Н:(7.11)циркуляция которого по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов проводимости /, охватываемых этимконтуром:(7.12)Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н:циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.Правило знаков для токов то же, что и в случае циркуляциивектора В (см.
с. 152).184Глава 7Заметим, что вектор Н представляет собой комбинацию двухсовершенно различных величин В/ц0 и J. Поэтому вектор Н —это действительно вспомогательный вектор, не имеющий сколько-нибудь глубокого физического смысла*. Однако важноесвойство вектора Н, выраженное в теореме о его циркуляции,оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в магнетиках.И еще, соотношения (7.11) и (7.12) справедливы для любыхмагнетиков, в том числе и анизотропных.Из формулы (7.12) видно, что модуль вектора Н имеет размерность силы тока, деленной на длину. В связи с этим единицей величины Н является ампер на метр (А/м).Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора Н:VxH-j,(7.13)т.
е. ротор вектора Н равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.Связь между векторами J и Н. Мы уже знаем, что намагниченность J зависит от магнитной индукции В в данной точкевещества. Однако J принято связывать не с В, а с вектором Н.Мы ограничимся пока рассмотрением только таких магнетиков, для которых зависимость между J и Н имеет линейныйхарактер, а именно:J=XH,(7.14)где х — магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика (безразмерность х следует из того, что согласно (7.11) размерности Н и Jодинаковы).В отличие от диэлектрической восприимчивости х, котораявсегда положительна, магнитная восприимчивость % бываеткак положительной, так и отрицательной. Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости (7.14), подразделяют напарамагнетики (х > 0) и диамагнетики (х < 0).
У парамагнетиков J ТТ Н, у диамагнетиков J 14 Н.Величину Н часто называют напряженностью магнитного поля, однако мыне будем пользоваться этим термином, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектора Н.Магнитное поле в веществе185Заметим, что кроме этих магнетиков существуют ферромагнетики, у которых зависимость J(H) имеет весьма сложный характер: она не линейная и, помимо того, наблюдается гистерезис, т. е, зависимость J от предыстории магнетика. (Более подробно о ферромагнетиках будет рассказано в § 7.6.)Связь между В и Н. Для магнетиков, которые подчиняютсязависимости (7.14), выражение (7.11) принимает вид (1 4- х)Н == В/|д0.
Отсюда(7.15)где ц — магнитная проницаемость среды,И=1+Х-(7.16)У парамагнетиков \х > 1, у диамагнетиков ц < 1, причем как утех, так и у других ц отличается от единицы весьма мало, т. е.магнитные свойства этих магнетиков выражены очень слабо.Замечание о поле вектора Н.
Обратимся к вопросу, с которым связано довольно часто встречающееся заблуждение: откаких токов зависит поле вектора Н? Поле Н зависит, вообщеговоря, от всех токов — и от токов проводимости, и от токов намагничивания (как и поле вектора В). Об этом говорит ужеформула (7.15).
Однако в некоторых случаях поле Н определяется только токами проводимости — именно для таких случаеввектор Н является весьма полезным. Вместе с тем это дает повод ошибочно думать, что поле вектора Н якобы зависит всегдатолько от токов проводимости, и неверно трактовать теорему оциркуляции вектора Н и уравнение (7.13). Указанная теоремавыражает только определенное свойство поля вектора Н, саможе поле этого вектора она не определяет.Пример. Система состоит из длинного прямого провода с током / и произвольногокуска парамагнетика (рис. 7.6). Выясним, что произойдет с полями векторов В и Н, а также с циркуляциейвектора Н по некоторому фиксированному контуру Г, если магнетикудалить.Рис.186Глава 7В каждой точке пространства поле В обусловлено как токомпроводимости /, так и токами намагничивания в парамагнетике.
А так как в нашем случае согласно (7.15) Н = В/цц0, тосказанное относится и к полю вектора Н — оно тоже зависити от тока проводимости /, и от токов намагничивания.Удаление куска парамагнетика приведет к изменению поляВ, а значит, и поля Н. Изменится и циркуляция вектора В поконтуру Г, так как поверхность, натянутую на контур Г, ужене будут пронизывать токи намагничивания, остается толькоток проводимости. Циркуляция же вектора Н по контуру Гостается прежней, несмотря на изменение самого поля Н.Когда внутри магнетика j ' = 0? Мы сейчас покажем, чтотоки намагничивания внутри магнетика будут отсутствовать,если: 1) магнетик однородный и 2) внутри него нет токов проводимости (j = 0). В этом случае при любой форме магнетика ипри любой конфигурации магнитного поля можно быть уверенным, что объемные токи намагничивания равны нулю и остаются только поверхностные токи намагничивания.Для доказательства этого воспользуемся теоремой о циркуляции вектора J по произвольному контуру Г, взятому целиком внутри магнетика.
В случае однородного магнетика можно, заменив J на хН, вынести в уравнении (7.5) % из-под интеграла и записатьГ = % <j>Hdl.Оставшийся интеграл равен согласно (7.12) алгебраическойсумме токов проводимости /, охватываемых контуром Г, поэтому для однородного магнетика/'=*/.(7.17)Это соотношение между токами / ' и 7 справедливо для любогоконтура внутри магнетика, в частности и для очень малого контура, когда /' -> dJ' = j'ndS и / -> d/ = jn dS. Тогда j'ndS = xJndS,и после сокращения на dS мы получим jfn = yjn. Последнее равенство выполняется при любой ориентации малого контура,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
