И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Длинный соленоид заполнен неоднородным изотропным парамагнетиком, восприимчивость которого зависит только от расстоянияг до оси соленоида как % = аг2, где а — постоянная. На оси соленоида магнитная индукция равна Во. Найти зависимость от расстояния г: 1) намагниченности, J(r); 2) плотности тока намагничивания, /(г).200Глава 7Решение. 1. Намагниченность J = %Н. В нашем случае Н не зависит от г (это непосредственно следует из циркуляции вектора Н поконтуру, показанному на рис.
7.21 слева). Поэтому Н = HQ — наоси соленоида, и мы получаемJ = аг2Н0 = аг^Во/цо2. Из теоремы о циркуляции намагниченности J по бесконечно узкому контуру, показанному на рис. 7.21 справа,следуетBoJl-{Jz+ dJ)l =j'nldr,где I — высота контура, dr — его ширина. Отсюдаdrdrг.Знак минус показывает, что вектор j ' направленпротив вектора нормали п, образующего с направлением обхода контура правовинтовую систему. Другими словами, вектор j f направлен в месте расположения правого (на рисунке) контура на нас, т. е.
объемные токи намагничивания образуют с вектором В о левовинтовую систему.Рис. 7.217.6. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца равен d. Ширина зазора Ьу магнитная индукция поля в зазоре В. Пренебрегая рассеянием поля на краях зазора,найти модули векторов Н и J внутри вещества.ВРешение. Воспользовавшись теоремой оциркуляции вектора Н по пунктирнойокружности диаметром d (рис. 7.22) иучитывая, что токов проводимости нет, запишемРис. 7.22(nd - Ъ)НХ + ЪВ/ц0 = О,где Нт — проекция вектора Н на направление обхода контура (оновзято совпадающим с направлением вектора В в зазоре). ОтсюдаЪВlio(nd-b)ЬВ(1)Магнитное поле в веществе201Знак минус показывает, что направление вектора Н внутри вещества магнита противоположно вектору В в той же точке.
Заметим,что при Ь -> 0 и Н -> 0.Модуль намагниченности J найдем по формуле (7.11), используярезультат (1):_JB/H0^ В^1-b/nd ~ ц 0 "B/|i0ЯСоотношение между векторами В/ц0, Н и Jв любой точке вещества магнита показаноРис. 7.23на рис. 7.23.7.7. На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром d имеется обмотка с общим числом витков N. В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной Ь (см. рис.
7.22). При токе / через обмотку магнитная индукция в прорези равна В. Пренебрегаярассеянием поля на краях прорези, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.Решение. Согласно теореме о циркуляции вектора Н по окружности диаметром d (см. рис. 7.22) имеем(nd - Ъ)Н + ЬН0 = N1,где Н и Но — модули вектора Н соответственно в железе и прорези. Кроме того, отсутствие рассеяния поля на краях прорези означает, чтоИз этих двух уравнений с учетом того, что Влучими Ь < d, по-ndB\x0NI -ЪВ '7.8.
Сила, действующая на магнетик. В установке (рис. 7.24) с помощью весов измеряют силу, с которой небольшой парамагнитный шарик объемом V притягивается к полюсу магнита М. Магнитная индукция наоси полюсного наконечника зависит от вы2соты х как В = B0exp(-ajc ), где Во и а —постоянные. Найти: 1) на какой высоте хтнадо поместить шарик, чтобы сила притяжения была максимальной; 2) магнитнуюМРис. 7.24202Глава 7восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения равна Fm.Решение.
1. Пусть для определенности вектор В на оси направленвверх, туда же направим и ось X. Тогда согласно (6.34) Fx == ртдВ/дх, где учтено, что магнитный момент р т направлен тудаже, куда и вектор В (для парамагнетика), поэтому дп заменено надх.Далее, так какр т = JV = xHV и дВ/дх = -2аВ0х ехр(-ах2), тоFx - -Ах ехр(-2а*2),где A(1)%Вычислив производную dFx/dx и приравняв ее к нулю, получимследующее уравнение для определения хт: 1 - 4ах2 = 0, откудахт = I/Via.(2)2. После подстановки (2) в (1) найдемгде учтено, что для парамагнетика ц » 1.7.9.
Длинный тонкий цилиндрический стержень из парамагнетика смагнитной восприимчивостью х иплощадью поперечного сечения S рас,положен вдоль оси катушки с током.•ни=Один конец стержня находится в центре катушки, где магнитное поле равно Б, а другой конец — в области, гдемагнитное поле практически отсутстРис.
7.25вует. С какой силой катушка действует на стержень?Решение. Выделим мысленно элемент стержня длиной dx (рис.7.25). На него действует силаПусть вектор В на оси катушки направлен вправо (на рисунке),в сторону положительных х. Тогда Вх = В, дп = дх, и так какdpm = JSdxМагнитное поле в веществе203dFx=XHSdx—дх=^-BdB.ц|д0Проинтегрировав это выражение, получимЗнак минус показывает, что вектор F направлен влево, т. е. стержень притягивается к катушке с током.7.10. Небольшой шарик объемом Уиз парамагнетика с магнитной восприимчивостью х переместили вдоль оси катушки с током източки, где магнитная индукция равна В, в область, где полепрактически отсутствует. Какую при этом совершили работупротив магнитных сил?Решение.
Направим ось X вдоль оси катушки. Тогда элементарная работа против магнитных сил при перемещении шарика наdx будет иметь вид8A = -Fxdx=-pm^dx,on(1)где Fx — проекция на ось X магнитной силы (6.34), а знак минусозначает, что работа производится против этой силы.Пусть вектор В на оси направлен в сторону положительных х,тогда Вх = В и дп = дх (в противном случае Вх — -В, дп = -дх,т. е. производная дВх/дп не зависит от того, куда направлен вектор В). Учитывая, что рт =JV = %HV, перепишем уравнение (1) ввидеЯЛyV5А = -xNV — dx = -^дхПроинтегрировав это выражение от Б до 0, получим°cvV °cWovB2вСледует обратить внимание на тот факт, что полученный результат — работа А — не зависит от характера зависимости В{х).— = Глава 8=Относительность электрическогои магнитного полей§ 8.1.
Электромагнитное поле.Инвариантность зарядаДо сих пор мы рассматривали электрическое и магнитноеполя раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что обаполя являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электрическое имагнитное поля являются в некотором смысле различнымикомпонентами единого физического объекта, который мы на-зываем электромагнитным полем.Деление же электромагнитного поля на электрическое имагнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления.
При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Приведем некоторые примеры.Заряд движется в инерциальной lf-системе отсчета с постоянной скоростью v. В этой системе отсчета мы будем наблюдатькак электрическое, так и магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во времени. Если же перейти в инерциальную iif'-систему, перемещающуюся вместе с зарядом, то вней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле.Два одинаковых заряда движутся в if-системе отсчета навстречу друг другу с одинаковой скоростью и. В этой системеотсчета мы будем наблюдать и электрическое, и магнитноеполя, оба переменные. Найти такую /Г'-систему, где наблюдалось бы только одно из полей, в данном случае нельзя.Относительность электрического и магнитного полей205В Jf-системе отсчета существует постоянное неоднородноемагнитное поле (например, поле неподвижного постоянногомагнита).
Тогда в If'-системе, движущейся относительно К-системы, мы будем наблюдать переменное магнитное поле, и какувидим далее, электрическое поле. .Таким образом, становится ясным, что соотношения междуэлектрическим и магнитным полями оказываются разными вразличных системах отсчета.Прежде чем обратиться к основному содержанию этой главы — законам преобразования полей при переходе от одной системы отсчета к другой, выясним следующий важный для дальнейшего вопрос: как ведут себя при таких переходах самэлектрический заряд q и теорема Гаусса для вектора Е.Инвариантность заряда.
В настоящее время имеются исчерпывающие доказательства того, что полный заряд изолированнойсистемы не меняется при изменении движения носителей заряда.В качестве доказательства можно сослаться на нейтральность газа, состоящего из молекул водорода. В этих молекулахэлектроны движутся со значительно большими скоростями, нежели протоны. Поэтому если бы заряд зависел от скорости, тозаряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы —газ оказался бы заряженным. Наблюдения же никакого зарядане обнаружили (с точностью до 10~20 !).Или, например, нагрев куска вещества.
Поскольку массаэлектрона значительно меньше массы ядер, скорость электронов при нагреве должна увеличиваться больше, чем у ядер. Иесли бы заряд зависел от скорости, то при нагреве веществостановилось бы заряженным. Ничего подобного никогда не наблюдалось.Далее, если бы заряд электрона зависел от скорости, то входе химических реакций суммарный заряд вещества изменялся бы, поскольку средние скорости электронов в веществе зависят от его химического состава. Расчет показывает, что даженебольшая зависимость заряда от скорости приводила бы дажев простейших химических реакциях к огромным электрическим полям. Но и здесь ничего похожего не наблюдалось.И наконец, расчет и работа всех современных ускорителейзаряженных частиц основаны на предположении, что заряд ча-206Глава 8стиц не меняется при изменении их скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
