И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Заряженная частица покоится между полюсами магнита, неподвижного в ИГ-системе отсчета. Перейдем в 2Г-систему, КВкоторая движется вправоW///A(рис. 8.2) с нерелятивистской•яскоростью v 0 — относительноJJT-системы. 1. Можем ли мыутверждать, что в ИГ'-системеШшшшзаряженная частица движетр и с # g.2ся в магнитном поле? 2. Найдем силу, действующую на эту частицу в /Г-системе.1. Да, частица движется в магнитном поле. Но, заметим, вмагнитном поле, а не относительно магнитного поля.
Имеетсмысл говорить о движении частицы относительно системыотсчета, магнита и других тел, но только не относительномагнитного поля. Последнее просто не имеет физическогосмысла. Все это касается не только магнитного, но и электрического поля.2. Чтобы найти силу, надо учесть, что в 1Г-системе появитсяи электрическое поле Е' = [v 0 B], оно направлено на нас (рис.8.2). В jfiT'-системе заряд будет двигаться влево со скоростью-v0, причем это движение будет происходить в скрещенныхэлектрическом и магнитном полях. Пусть для определенности заряд частицы q > О, тогда сила Лоренца в JT-системеF = qK + g[-v 0 B] = g([v0B] - [v0B]) = О,что, впрочем, можно было и сразу сказать исходя из фактаинвариантности силы при нерелятивистских преобразованиях из одной системы отсчета в другую.212Глава 8§ 8.3.
Следствия из законовпреобразования полейНекоторые простые следствия. Из формул преобразования(8.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезныесоотношения.1. Если в JT-системе имеется только электрическое поле Е (амагнитное В = 0), то между полями Е' и В' в /^'-системе существует такая связьВ' = -[voE']/c2.(8.5)Действительно, если В = 0, то Е'± = Е ± /д/1 - р и BJ =0, В'± == -[v 0 E]/c 2 ^/l - p 2 =-[v 0 E']/c 2 , где учтено, что в векторномпроизведении можно писать как Е, так и Е±(это же относится ик штрихованным величинам).
Приняв во внимание, чтоВ'=В[ ( +В' ± = В' ± , приходим к формуле (8.5).2. Если в JJL-системе имеется только магнитное поле В (аэлектрическое Е = 0), то в If'-системеЕ' = [v 0 B'].В самом деле, если Е = 0, то В'± =В ± /д/1-р= [У 0 В]/Д/1(8.6)2и Е[, =0, Е'± =2~ р . Заменив в последнем векторном произведенииВ на В х и затем В'х на В\ приходим к формуле (8.6).Из формул (8.5) и (8.6) вытекает следующий важный вывод:если в К-системе имеется лишь одно из полей (Е или В), то вК'-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (Е' J_ В'). Заметим, что обратное утверждениесправедливо не всегда, а лишь при определенных дополнительных ограничениях, накладываемых на модули векторов Е и В.И последнее замечание.
Ввиду того что в уравнения (8.5) и(8.6) входят только величины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером можетслужить поле равномерно движущегося точечного заряда.Поле свободно движущегося релятивистского заряда. Формулы преобразования полей представляют большой интереспрежде всего в том отношении, что выражают собой удивитель-Относительность электрического и магнитного полей213ные свойства электромагнитного поля.
Но, кроме того, ониважны и в чисто практическом отношении, позволяя иногдапроще решать некоторые вопросы.Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда можетбыть решена путем преобразования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системеотсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу 8.10), что линии Е полясвободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 8.3, где v — скорость заряда.
Изображенная здесь картина соответствует мгновенной «фотографии» конфигурации электрического поля. Вектор Е в произвольной точке Рсистемы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора г, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку Р.Модуль вектора Е определяется формулой1С*—4ТТБ0q2r1-P2(l-p2sin2$)3/2°Jгде Р = v/c; S — угол между радиусом-вектором г и векторомv — скоростью заряда.Электрическое поле «сплющивается» в направлении движения заряда (см. рис. 8.3), причем в тем большей степени, чемближе скорость заряда v к скорости с. Следует также иметь ввиду, что поле, показанное на этом рисунке, «перемещается»вместе с зарядом, вследствие чего поле Е в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменяется со временем.Зная поле Е, можно найти и поле В в этой же системе отсчета:4[]^ ^ Г Г w()с24тс rs ( l - p 2 s i n 2 3 ) 3 / 2Эта формула является следствием соотношения (8.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на -v.При v <§: с (р <к 1) выражения (8.7) и (8.8) переходят соответственно в (1.2) и (6.3).214Глава 8§ 8.4.
Инварианты электромагнитного поляПоскольку векторы Е и В, характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос обинвариантах, т. е. не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля.Можно показать, что существуют два таких инварианта,представляющие собой комбинации векторов Б и В, это1ЕВ = inv,11 Е2 - с2В2 = inv.1(8.9)Инвариантность этих величин (относительно преобразованийЛоренца) является следствием формул преобразования полей(8.1) или (8.2). Более подробно этот вопрос рассмотрен в задаче 8.9.Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания. Приведем наиболее важные изних.1. Из инвариантности ЕВ сразу следует, что в случае, когда вкакой-либо системе отсчета Е _1_ В, т.
е. ЕВ = 0, то и во всех других инерциальных системах отсчета E'UB'.22 22. Из инвариантности Е - с В следует, что в случае, когда22 2Е = сВ (т. е. Е - с В = 0), то и в любой другой инерциальнойсистеме отсчета Е' = сВ\3. Если в какой-либо системе отсчета угол между векторамиЕ и В острый (или тупой), — это значит, что ЕВ больше (либоменьше) нуля, — то угол между векторами Е' и В' также будетострым (или тупым) во всякой другой системе отсчета.4. Если в какой-либо системе отсчета Е > сВ (или Е < сВ) —22 2это значит, что Е - с В больше (либо меньше) нуля, — то влюбой другой системе отсчета будет также Е' > сВг (илиЕ' < сВ1).5.
Если оба инварианта равны нулю, то во всех системах отсчета Е ± В и Е = с В. Именно это и наблюдается, как мы увидим, в электромагнитной волне.6. Если равен нулю только инвариант ЕВ, то можно найтитакую систему отсчета, в которой или Е' = 0, или В' = 0; какоеименно, определяется знаком другого инварианта. СправедливоОтносительность электрического и магнитного полей215и обратное утверждение: если в какой-либо системе отсчетаЕ = 0 или В = 0, то во всякой другой системе отсчета Е' _1_ В'.(Этот вывод был уже в § 8.3.)И последнее. Нужно помнить, что поля Е и В, вообще говоря, зависят и от координат, и от времени. Поэтому каждый изинвариантов (8.9) относится к одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца.Задачи8.1.
Частный случай преобразования полей. Нерелятивистский точечный заряд q движется с постоянной скоростью v. Найти с помощью формул преобразования полей магнитное поле В этого зарядав точке, положение которой относительно заряда определяется радиусом-вектором г.Решение. Перейдем в if-систему отсчета, связанную с зарядом. Вэтой системе имеется только кулоновское поле напряженностью1Е'4 г,4яеоГгде учтено, что в !Г-системе радиус-вектор г' = г (нерелятивистский случай). Теперь перейдем обратно, из 1Г-системы в ИГ-систе7му, которая движется относительно .К -системы со скоростью -v.Для этого воспользуемся формулой для поля В из (8.4), в которойроль штрихованных величин будут играть нештрихованные (и наК'\-vnРис.
8.4оборот), а скорость v 0 надо заменить на -v 0 (рис. 8.4). В нашемслучае v 0 = v, поэтому В = В' + [vE']/c2. Учитывая, что в 2Г-системе В' = 0 и что с2 = 1/еоцо, находимв=1*о471216Глава 8Мы получили формулу (6.3), которая ранее была постулированакак результат обобщения опытных фактов.8.2. Большая пластинка из однородного диэлектрика с проницаемоА£стью е движется с постоянной нерелятивистIской скоростью v в однородном магнитномполе В, как показано на рис.
8.5. Найти поляризованность Р диэлектрика и поверхностнуюплотность а' связанных зарядов.Рис. 8 5Решение. В системе отсчета, связанной с пластинкой, будет наблюдаться кроме магнитногополя и электрическое, обозначим его Е о , согласно формулам преобразования полей (8.4)EJ,=[vB].Поляризованность диэлектрикаР = х8 0 Е' = е 0 — [ v B ] ,где учтено, что внутри диэлектрика согласно (3.29) Е' = Eg/е. Поверхностная плотность связанных зарядовпричем на той поверхности пластинки, которая обращена к нам(см. рис.
8.5), а' > 0, на противоположной а' < 0.8.3. Имеется незаряженный длинный прямой провод с током /. Найтизаряд на единицу длины этого провода в системе отсчета, движущейся поступательно с нерелятивистской скоростью v0 вдоль проводника в направлении тока /.Решение. В движущейся системе отсчета согласно формулам преобразования (8.4) появится электрическое поле Е' = [v 0 B], илиК= -1>0Ц0'/2лг.(1)Здесь выражение для В получено с помощью теоремы о циркуляции.С другой стороны, по теореме Гаусса (в движущейся системе отсчета)Е'г = Г / 2 Я Е 0 Г ,(2)где V — заряд на единицу длины провода.
Из сравнения (1) и (2)находимОтносительность электрического и магнитного полей217где с 2 = 1/ЕОЦО« Происхождение этого заряда связано с различнымлоренцевым сокращением, которое испытывают «цепочки» положительных и отрицательных зарядов (ведь их скорости разные!).8.4. В If-системе отсчета имеется узкий пучок протонов, движущихсяс релятивистской скоростью и. На некотором расстоянии от пучканапряженность электрического поля равна Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
