И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Эта э.д.с. стремится сохранить ток неизменным: она противодействует току, когда он увеличивается, иподдерживает ток, когда он уменьшается. В явлениях самоиндукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты индукции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точнотак же, как механическая инерция стремится сохранить скорость тела неизменной.Примеры проявления самоиндукции. Характерные проявления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыканиитока в цепи. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходят не мгновенно, а постепенно. Причем эти эффекты замедления тем значительнее,чем больше индуктивность цепи.Любой большой электромагнит обладает большой индуктивностью.
Если его обмотку отсоединить от источника, ток быстро уменьшается до нуля и в процессе уменьшения создаетогромную э.д.с. самоиндукции. Это часто приводит к образова-Глава 9236нию вольтовой дуги между контактами выключателя и является весьма опасным, причем не только для обмотки электромагнита, но и для человека, размыкающего цепь. По этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включаютлампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление обмотки. В этом случае ток в обмотке спадает медленно иопасности не представляет.Теперь рассмотрим более подробно характер исчезновения иустановления тока в цепи.Пример 1. Исчезновение тока при размыкании цепи.Пусть цепь состоит из постоянной индуктивности L, сопротивления R, амперметра А, источника э.д.с.
£ и специального ключа К (рис. 9.7, а). Первоначально ключ К находится внижнем положении (рис. 9.7, б),и в цепи течет ток / 0 = @/R (сопротивление источника э.д.с. £считаем пренебрежимо малым).В момент t = О быстро повернемключ К по часовой стрелке изнижнего положения в верхнее9.7(рис. 9.7, а). При этом произойР и сдет следующее: на очень короткое время ключ закоротил источник £ и тут же выключилего из цепи, не нарушая ее замкнутости.Ток через индуктивность L начнет убывать, а это значит,что возникнет э.д.с.
самоиндукции @s = -L dl/dt, противодействующая, по Ленцу, убыванию тока. В каждый моментток в цепи будет определяться законом Ома I = $8 /R, илиRI = -L— .dt(9.18)Разделив переменные, получимd/R— =ctt./LИнтегрирование этого уравнения по / (от / 0 до /) и по t (отО до t) дает In (I/Io) = -Rt/L, или(9.19)Электромагнитная индукция237где т — постоянная, имеющая размерность времени,т = L/R.(9.20)Ее называют постоянной времени (временем релаксации).
Эта величина характеризует скорость убывания тока: из(9.19) следует, что т есть время, втечение которого сила тока уменьшается в е раз. Чем большезначение т, тем медленнее спадает ток. На рис. 9.8 показан график зависимости I(t) — убывания силы тока со временем (криРис. 9.8вая 1).Пример 2.
Установление тока при замыкании цепи.В момент t = О быстро повернем ключ К против часовойстрелки из верхнего положения в нижнее (рис. 9.7, б).Этим самым мы подключили к индуктивности L источникft Ток в цепи начнет нарастать и опять возникает э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому нарастанию. Согласно закону Ома RI = ft +fts,илиRI = € - L ^ .(9.21)Перенесем £ в левую часть уравнения и введем новую переменную и = RI - ft dw — R d/. После этого полученное уравнение преобразуем к видуdu/u = - dt/x,где т = L/R — постоянная времени.Интегрирование по и (от - £ до RI - $) и по t (от 0 до t)дает In [{RI - £)/(-£)] - -t/i или= J0(l-e-'A ),(9.22)где / 0 = &/R представляет собой установившийся ток (приt -> оо).
Из уравнения (9.22) видно, что быстрота установления тока определяется той же постоянной т. График зависимости I(t) — возрастания силы тока со временем показанна рис. 9.8 (кривая 2).238Глава 9О сохранении магнитного потока. Пусть в произвольномвнешнем магнитном поле — постоянном или переменном —движется и деформируется контур с током. При этом в контуреиндуцируется токjRR dt 'Если сопротивление контура R=0, то должно быть иd<P/dt = 0, поскольку сила тока / не может быть бесконечно большой. Отсюда следует, что Ф = const.Таким образом, при движении сверхпроводящего контура вмагнитном поле пронизывающий его магнитный поток остается постоянным. Такое сохранение потока обеспечивают индукционные токи, которые согласно правилу Ленца препятствуютвсякому изменению магнитного потока сквозь контур.Тенденция к сохранению магнитного потока сквозь контуримеется в любом случае, но наиболее полно она проявляется вконтурах из сверхпроводников.Пример. Сверхпроводящее круглое кольцо радиусом а с индуктивностью L находится в однородном магнитном поле В.
В начальном положении плоскость кольца параллельна вектору В иток в кольце равен нулю. Кольцо повернули в положение,перпендикулярное вектору В. Найдем силу тока в кольце после поворота и магнитную индукцию в его центре.При повороте кольца магнитный поток сквозь него не меняется и остается равным нулю. Это значит, что магнитные потоки через кольцо поля индукционного тока и внешнего поляодинаковы по модулю, но противоположны по знаку.
Поэтому Ы = па В, откудаI = na2B/L.Этот ток создает в центре кольца согласно (6.13) поле Bj == пцоаВ/2Ь. Тогда результирующая магнитная индукция вэтой точкеВрез = В - В 7 = ВЦ - Ti\ioa/2L).Электромагнитная индукция239§ 9.4. Взаимная индукцияВзаимная индуктивность. Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2(рис.
9.9), расположенные достаточноблизко друг к другу. Если в контуре 1течет ток 119 он создает через контур 2полный магнитный поток Ф 2 , пропорциональный (при отсутствии ферромагнетиков) току 1г:(9.23)Ф2 =Рис. 9.9Совершенно так же, если в контуре 2 течет ток / 2 , он создаетчерез контур 1 полный магнитный поток(9.24)Фг = L 1 2 / 2 .Коэффициенты пропорциональности L 1 2 и L 2 1 называют взаимной индуктивностью контуров. Очевидно, взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку сквозь один изконтуров, создаваемому единичным током в другом контуре.Коэффициенты L 1 2 и L21 зависят от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды.
Выражаются эти коэффициенты в тех же единицах, что и индуктивность L.Теорема взаимности. Соответствующий расчет дает (и опытего подтверждает), что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты L 1 2 и L 2 1 одинаковы:=1а2\-(9.25)Это замечательное свойство взаимной индуктивности принято называть теоремой взаимности. Благодаря этой теоремеможно не делать различия между L 1 2 и L 2 1 и просто говорить овзаимной индуктивности двух контуров.Смысл равенства (9.25) в том, что в любом случае магнитный поток Фг сквозь контур 1, созданный током / в контуре 2,равен магнитному потоку Ф 2 сквозь контур 2, созданному таким же током / в контуре 1.
Это обстоятельство нередко позво-240Глава 9ляет сильно упрощать решение вопроса о нахождении, например, магнитных потоков. Вот два примера.Пример 1. В некоторой плоскости лежат два круговых витка 1 и 2,центры которых совпадают (рис. 9.10). Радиусы витков ахи а2. В витке 1 течет ток /. Найдем магнитный поток Ф 2 ,охватываемый витком 2, если ах <sc а 2 .Ясно, что непосредственно вычислить поток Ф 2 — задача весьма сложная, ибо сложной являетсяконфигурация самого поля.Рис. 9.10Использование же теоремы взаимности чрезвычайно упрощает решение поставленного,вопроса.
Действительно, пустим тот же ток I по витку 2.Тогда магнитный поток Фх, создаваемый этим током черезвиток 1, при условии ах < а2 может быть найден очень просто: достаточно умножить магнитную индукцию В в центревитка (В = цо//2а2) на площадь круга па\ и учесть, что согласно теореме взаимности Ф 2 — Фг.Пример 2. Пусть контур с током / имеет форму прямоугольника.
Какнайти магнитный поток Ф через заштрихованную полуплоскость (рис.9.11), граница которой находится назаданном расстоянии от контура?Предполагается, что эта полуплоскость и контур лежат в одной плоскости.Магнитное поле тока / здесь такжеимеет сложную конфигурацию, поэтоРис. 9.11му непосредственно вычислить интересующий нас поток Ф очень трудно.Однако решение и здесь можно весьма резко упростить,если воспользоваться теоремой взаимности.Представим себе, что ток / течет не по прямоугольномуконтуру, а вдоль границы полуплоскости, огибая ее на бесконечности.
Магнитное поле, создаваемое этим током в области прямоугольного контура, имеет простую конфигурацию — это поле прямого тока. Поэтому найти магнитныйпоток Ф' сквозь прямоугольный контур достаточно легко(путем несложного интегрирования). А по теореме взаимности искомый поток Ф = Ф\ и задача решена.Электромагнитная индукция241Однако наличие ферромагнетиков меняет дело, и теоремавзаимности перестает выполняться. Убедимся в этом на следующем конкретном примере.Пример. Длинный ферромагнитный цилиндр объемом V имеет две обмотки (одна на другой).
Одна обмотка содержит пг витков наединицу длины, другая — п2. Найдем их взаимную индуктивность, пренебрегая краевыми эффектами.Согласно (9.23) L 2 1 = Фг/А- Это значит, что мы должны создать ток / х в обмотке 2 и вычислить полный магнитный поток через все витки обмотки 2. Если в обмотке 2 содержитсяN2 витков, тоФ2 = N^S,где S — площадь сечений цилиндра. Имея в виду, чтоN2 = n2l, I — длина цилиндра, Вх = Hi\iQnlIv ЦХ — магнитнаяпроницаемость при токе 1г, запишем: Ф 2 =V = IS.
ОтсюдаАналогично находим и L 12 :Ввиду того что значения цх и ц2 в последних двух выражениях, вообще говоря, разные (в ферромагнетиках они зависят оттоков 1г и / 2 ), значения L 2 1 и Ь 1 2 не совпадают.Взаимная индукция. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока водном из контуров в другом контуре возникает э.д.с. индукции.Это явление и называют взаимнойиндукцией.Согласно закону электромагнитной индукции э.д.с, возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно:d/22дФdld/ЬL,0ТТ21Г • (122- -L12 —— ,сиагагatагЗдесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетиков поблизости нет.С учетом явления самоиндукции ток, например, в контуре 1при изменении токов в обоих контурах определяется по закону02аФ242Глава 9Ома какй1гcudl2atгде gj — сторонняя э.д.с.
в контуре 1 (помимо индукционныхэ.д.с.), Ьг — индуктивность контура 2. Аналогичное уравнениеможно записать и для определения силы тока / 2 в контуре 2.Отметим, что на явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов — устройств, служащих для преобразования токов и напряжений.Замечание о знаке L 12 . В отличие от индуктивности L, которая, как было сказано, является существенно положительнойвеличиной, взаимная индуктивность L12 — величина алгебраическая (в частности, равная нулю).
Это связано с тем обстоятельством, что, например в (9.23), величины Ф 2 и 1г относятся кразным контурам. Из рис. 9.9 сразу видно, что знак магнитного потока Ф 2 при данном направлении тока 1Х будет зависеть отвыбора нормали к поверхности, ограниченной контуром 2 (илиот выбора положительного направления обхода этого контура).Положительные направления для токов (и э.д.с.) в обоихконтурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно — правиломправого винта — связано направление нормали п к поверхности, ограниченной контуром, т. е. в конечном счете знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину L12мы должны считать положительной, когда при положительныхтоках магнитные потоки взаимной индукции через контурыоказываются также положительными, т.
е. совпадают по знакус потоками самоиндукции.Другими словами, L 1 2 > 0, если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае L12 < 0. В частных случаях можно заранеетак установить положительные направленияа)б)обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины L 1 2 (рис. 9.12).Электромагнитная индукция243§ 9.5. Энергия магнитного поляМагнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность L и сопротивление R, на источниктока с э.д.с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
