И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 39
Текст из файла (страница 39)
&Q. В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать ток. Это приводит к появлению э.д.с. самоиндукции gs. Согласно закону Ома RI = £0 + £s, откудаНайдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т. е. источник £0) за время dt. Для этого умножимпредыдущее равенство на I dt:foldt = RI2dt - &sIdt.Учитывая смысл каждогоgs = -c№/cU, запишемслагаемогои соотношениеМы видим, что в процессе установления тока, когда поток Фменяется и с!Ф > 0 (если / > 0), работа, которую совершает источник £0, оказывается больше выделяемой в цепи джоулевойтеплоты.
Часть этой работы (дополнительная работа) совершается против э.д.с. самоиндукции. Заметим, что после того какток установится, с1Ф = 0 и вся работа источника £0 будет идтитолько на выделение джоулевой теплоты.Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против э.д.с. самоиндукции в процессе установлениятока:1(9.27)5АД°П = МФ.
'Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо ипри наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитныхсвойств окружающей среды.Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда (1Ф = L d/ и5АД°П = LIdl.(9.28)244Глава 9Проинтегрировав это уравнение, получим Алои = Ы2/2. По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии.
Мы видим, что часть работы стороннихсил (£0) идет на увеличение внутренней энергии проводников(с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть —в процессе установления тока — на что-то еще. Это «что-то»есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление исвязано с появлением тока.Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствииферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток /, обладает энергией22W =\Ы=1/Ф = — .(9.29)Эту энергию называют магнитной энергией тока или собственной энергией тока. Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник £0 так, как показано на рис. 9.7: быстро повернутьключ К из положения б в положение а.Энергия магнитного поля.
Формула (9.29) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствииферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В. Убедимся, что этотак сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффекта2ми). Подстановка в формулу (9.29) выражения L = \x\x0n V даетW =LI2/2=won2I2V/2.А так как nl - Н = Б/|лц0, тоW =-=— V= — V.22(9.30)Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V (как в нашем случае с соленоидом).В общей теории показывается, что энергию W можно выразить через векторы В и Н в любом случае (но при отсутствииЭлектромагнитная индукция245ферромагнетиков) по формулеWГвн dF." J~~2~(9.31)Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смыслэнергии, заключенной в элементе объемом dV.Отсюда, как и в случае электрического поля, мы приходим квыводу, что магнитная энергия также локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем.Из формул (9.30) и (9.31) следует, что магнитная энергияраспределена в пространстве с объемной плотностьюw=ВН(9.32)Отметим, что полученное выражение относится лишь к темсредам, для которых зависимость В от Н линейная, т.
е. ц в соотношении В = цц0Н не зависит от Н. Другими словами, выражения (9.31) и (9.32) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы*.Отметим также, что магнитная энергия — величина существенно положительная.
Это легко усмотреть из последних двухформул.Бще об обосновании формулы (9.32). Убедимся в справедливостиэтой формулы, рассуждая в «обратном» порядке, а именно покажем,что если формула (9.32) справедлива, то магнитная энергия контурас током W= Ы2/2.С этой целью рассмотрим магнитное полепроизвольного контура с током / (рис. 9.13).Представим все поле разделенным на элементарные трубки, образующие которых являются линиями вектора В. Выделим в одной из таких трубок элементарный объемdF = cU dS. В соответствии с формулой (9.32)в этом объеме локализована энергия(ВН/2) dl dS.Рис.
9.13* Это обусловлено тем, что в конечном счете выражения (9.31) и (9.32) являются следствиями формулы 5АД0П = МФ и того факта, что при отсутствии гистеД0Презиса работа 6А идет только на приращение магнитной энергии dW. Дляферромагнитной среды дело обстоит иначе: работа 5ЛДОП идет еще и на приращение внутренней энергии среды, т. е. на ее нагревание.246Глава 9Теперь найдем энергию dW в объеме всей элементарной трубки.Для этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки.Поток дФ = BdS сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки,поэтому с1Ф можно вынести за знак интеграла:где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случаепроекция Н^Н).И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок:W = \l JdO = /Ф/2 = L/2/2,где Ф — полный магнитный поток, охватываемый контуром с током,Ф = Ы.
Это и требовалось показать.Определение индуктивности из выражения энергии. Мыввели индуктивность L как коэффициент пропорциональностимежду полным магнитным потоком Ф и током I. Существует,однако, и другая возможность расчета L — из выражения энергии. В самом деле, из сопоставления формул (9.31) и (9.29) следует, что при отсутствии ферромагнетикаi=-TR-dF.(9.33)Нахождение L таким путем свободно от неопределенности,связанной с вычислением магнитного потока Ф в формуле(9.14) — см.
с. 235. К каким расхождениям иногда приводитопределение L по формуле (9.33) и из выражения потока (9.14),показано в задаче 9.9 на примере коаксиального кабеля.§ 9.6. Магнитная энергия двух контуров с токамиСобственная и взаимная энергии. Возьмем два неподвижных контура 1 и 2, расположив их достаточно близко друг кдругу (чтобы была магнитная связь между ними). Предполагается, что в каждом контуре есть свой источник постояннойэ.д.с. Замкнем в момент t = О каждый из контуров.
Как в том,так и в другом контуре начнет устанавливаться свой ток и, следовательно, появятся э.д.с. самоиндукции gs и э.д.с. взаимнойиндукции £j. Дополнительная работа, совершаемая при этомЭлектромагнитная индукция247источниками постоянной э.д.с. против $s и ф, идет, как мыуже знаем, на создание магнитной энергии.Найдем эту работу за время dt:ДОП5А= -Преобразуем эту формулу,£*i = -L12dI2/dtи т. д.:= &W.учитывая,что $sl = -Ьг dlx/dttdW = Lj/jd/i + L12/id/2 + L2/2d/2 + L21/2d/!.Имея в виду, что L 1 2 = L 21 , представим последнее уравнение ввидеdW =d(L2/|/2)откуда(9.34)Здесь первые два слагаемых называют собственной энергией тока / х и тока / 2 , последнее слагаемое — взаимной энергией обоих токов. Взаимная энергия токов — величина алгебраическая в отличие от собственных энергий токов.
Изменениенаправления одного из токов приводит к изменению знака взаимной энергии — последнего слагаемого в (9.34).Пример. Имеются два концентрических контура стоками 1г и / 2 , направления которых показаны на рис. 9.14. Взаимная энергияэтих токов (W12 = -£«12^Л) зависит от трехРис. 9.14алгебраических величин, знаки которыхопределяются выбором положительныхнаправлений обхода обоих контуров. Полезно, однако, убедиться в том, что знак величины W12 (в данном случае W12 > 0)определяется только взаимным направлением самих токов исовершенно не зависит от выбора положительных направлений обхода контуров.
Напомним, что о знаке величины L 1 2говорилось в § 9.4.248Глава 9Полевая трактовка энергии (9.34). Есть несколько важныхвопросов, которые мы сможем решить, вычислив магнитнуюэнергию двух контуров еще и иначе — с точки зрения локализации энергии в поле.Пусть В х — магнитное поле тока Iv a B 2 — поле тока / 2 . Тогда по принципу суперпозиции поле в каждой точке В = В х + В 2и согласно (9.31) энергия магнитного поля этой системы токовW= |(Б 2 /2цц 0 ) d F - Подставив сюда В2 = в\ + в\ + 2В Х В 2 , получим=(9.35)WСоответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах(9.35) и (9.34) не вызывает сомнения.Формулы (9.34) и (9.35) приводят к таким важным следствиям.1. Магнитная энергия системы двух (и более) токов — величина всегда положительная, W > 0.
Это вытекает из того факта,что W со \в2 dV, где под интегралом стоят положительные величины.2. Энергия токов — величина не аддитивная (из-за наличиявзаимной энергии).3. Последний интеграл в (9.35) пропорционален произведению токов /j/g, так как Вг со 1г и В2 со / 2 . Коэффициент жепропорциональности (т. е. оставшийся интеграл) оказываетсясимметричным относительно индексов 1 и 2, а поэтому егоможно обозначить L 1 2 или L 2 1 [в соответствии с формулой(9.34)].
Таким образом, действительно, L12 = L 2 1 .4. Из выражения (9.35) вытекает другое определение взаимной индуктивности L 1 2 . В самом деле, сопоставление выражений (9.35) и (9.34) показывает, чтоhh(9.36)Электромагнитная индукция249§ 9.7. Энергия и силы в магнитном полеНаиболее общим методом определения сил в магнитном полеявляется энергетический. В этом методе используют выражение для энергии магнитного поля.Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с токами 1Х и / 2 . Магнитная энергия такой системы можетбыть представлена в видеЖ = (/ 1 Ф 1 +/ 2 Ф 2 )/2,(9.37)где Фг и Ф 2 — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
