И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Это выражение нетрудно получитьиз формулы (9.34), если представить последнее слагаемое каксумму Ll2IlI2/2+ £21^2^1/2» а зат^м учесть, чтоФг = L1I1 + L12I2,Ф 2 = L 2 / 2 + L21I^.(9.38)Согласно закону сохранения энергии работа 6А*, которую совершают источники тока, включенные в контуры 1 и 2, идет натеплоту 5Q, на приращение магнитной энергии системы dW(из-за движения контуров или изменения токов в них) и на механическую работу SAj^ (вследствие перемещения или деформации контуров):5А* = 5Q + &W + 5Амех.(9.39)Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимомала, и поэтому электрическую энергию учитывать не будем.В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока 8А*, а только та ее часть, которая совершается противэ.д.с. индукции и самоиндукции (в каждом контуре).
Эта работа (мы назвали ее дополнительной) 5АДОП = - (£ а + g^I^t- (gi2 + £s2)J2d£. Учитывая, что для каждого контура ^ + $s == - (1Ф/си, перепишем выражение для дополнительной работыв виде= 1г аФ 2 + / 2 <1Ф2.(9.40)Именно эта часть работы источников тока (работа противэ.д.с. индукции и самоиндукции), связанная с изменением по-250Глава 9токов Фг и Ф2, и идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу:1г dФ1 + / 2 сгФ2 = AW + dAMex.(9.41)Эта формула является основной для расчета механическойработы dAj^, а из нее и сил в магнитном поле.Из формулы (9.41) можно получить и более простые выражения для dAj^, если считать, что в процессе перемещенияостаются неизменными или все магнитные потоки сквозь контуры, или токи в них.
Рассмотрим это более подробно.1. Если потоки постоянны, Фк = const, где k = 1 и 2, то из(9.41) сразу следует, что(9.42)где символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии системы должно быть вычислено при постоянных потокахчерез контуры. Полученная формула аналогична соответствующей ей (4.15) для работы в электрическом поле.2. Если токи постоянны, Ik = const, то(9.43)Действительно, при Ik = const из формулы (9.37) следует, чтот. е. в этом случае приращение магнитной энергии системыравно согласно (9.40) половине дополнительной работы источников э.д.с. Другая половина этой работы идет на совершениемеханической работы. Иначе говоря, при постоянстве токовdW\j = dAj^, что и требовалось показать.Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения (9.42) и (9.43) определяют механическую работу одной итой же силы, т.
е. можно написать:Fdl = -dW| o = dW\r(9.44)Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нетнеобходимости подбирать такой режим, при котором обязатель-Электромагнитная индукция251но оставались бы постоянными или магнитные потоки, илитоки. Надо просто найти приращение dW магнитной энергии системы при условии, что либо Фк = const, либо Ik = const, а это является чисто математической операцией.Ценность полученных выражений (9.42) и (9.43) в их общности: они пригодны для системы, состоящей из любого числаконтуров — одного, двух и т.
д.Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул.Пример 1. Сила в случае одного контура с током. Имеется контур с током, у которого АВ — подвижная перемычка(рис. 9.15). Индуктивность этогоконтура зависит определенным образом от координаты х, т. е. известно Цх). Найдем силу Ампера, действующую на перемычку, двумяспособами: при / = const и при Ф = const.В нашем случае магнитную энергию системы можно представить согласно (9.29):22W = L/ /2 = Ф /2Ь,где Ф = Ы. Переместим перемычку, например, вправо наd*. Так как dA,,Fxdx, то2 дхилиdW' дх2L дх ~ 2 дхт.
е. расчет по обеим формулам согласно (9.44) дает один итот же результат.Пример 2. Взаимодействие двух катушек с токами. На немагнитный сердечник (рис. 9.16) надеты катушки 1 и 2 с токами1Х и / 2 . Пусть взаимная индуктивность катушек зависитРис.
9.16252Глава 9от расстояния х между ними по известному закону L12(x).Найдем силу взаимодействия между катушками.Магнитная энергия системы из двух катушек дается формулой (9.34). Для определения силы взаимодействия будемпользоваться выражением (9.43). Сместим катушку 2 нарасстояние dx при неизменных токах / х и / 2 . Соответствующее приращение магнитной энергии системыТак как элементарная механическая работа S A ^ = F2xdx,то согласно (9.43) получимПусть токи Ii и / 2 подмагничивают друг друга, тогдаL 1 2 > 0 и при dx > 0 приращение dL 1 2 < 0, т. е. F2x < 0. Следовательно, сила, действующая на катушку 2 со стороныкатушки 1, является силой притяжения: вектор F 2 направлен влево на рисунке.Пример 3.
Магнитное давление на обмотку соленоида. Увеличиммысленно радиус сечения соленоида на dr, сохраняя приэтом неизменным ток / через обмотку. Тогда силы Амперасовершат работу 5А мех = dW\j . В нашем случае5A M e x =pSdr,где р — искомое давление, S — боковая поверхность соленоида,Здесь учтено, что при / = const и В = const. Из равенствадвух этих выражений находимР=Магнитное давление. Полученное в последнем примере выражение для давления можно обобщить на случай, когда поразные стороны от поверхности с током (током проводимостиили током намагничивания) магнитное поле разное — В х и В 2 .В этом случае, оказывается, магнитное давлениер= ^ - - Ь ^ ,(9.45)Электромагнитная индукция253причем дело обстоит так, как если бы область с большей плотностью магнитной энергии была бы областью большего давления.Соотношение (9.45) является одним из основных в магнитогидродинамике, изучающей поведение электропроводящихжидкостей (в электротехнике и астрофизике).Задачи9.1.
Э.д.с. индукции. Провод, имеющий форму параболы у = kx2, находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном плоскостиXY. Из вершины параболы перемещают поступательно и без начальной скорости перемычкус постоянным ускорением а (рис. 9.17). Найтиэ.д.с. индукции в образовавшемся контурекак функцию координаты у.Решение. По определению £4 = - dФ/dt, Выбрав нормаль п к плоскости контура в направлении вектора В, запишем: (1Ф = В dS, где dS = 2x dy.
Теперь учтем, что х = *Jy/k, тогдаdy/dt.При движении с постоянным ускорением скорость dy/dt = y[2ay,поэтомуИз полученной формулы видно, что ^ со у. Знак минус показывает, что ft на рисунке действует против часовой стрелки.9.2. Контур движется произвольным образом. Замкнутый проводящий контур перемещают произвольным образом (при этом дажедеформируя) в постоянном неоднородном магнитном поле. Показать, что закон электромагнитной индукции (9.1) будет выполняться и в этом случае.Решение. Рассмотрим элемент контура dl, который в данный момент движется со скоростью v в магнитном поле В. Согласно формулам преобразования полей (8.4) в системе отсчета, связанной сданным элементом, будет наблюдаться электрическое полеЕ = [vB].
Заметим, что это выражение можно получить и с помощью силы Лоренца, как было сделано в основном тексте передформулой (9.4).254Глава 9Циркуляция вектора Е по всему контуру по определению естьэ.д.с. индукции:(1)Теперь найдем соответствующее приращение магнитного потокасквозь контур. С этой целью обратимся к рис. 9.18. Пусть за время dt нашконтур переместился из положения Г1в положение Г2.
Если в первом положении магнитный поток через поверхdS=[dr,dl] ность Slt натянутую на контур, былравен Ф х , то соответствующий магнитный поток во втором положении контура может быть представлен как Фх + 5Ф, т. е. как поток черезповерхность Sx + 8S. Здесь 8Ф — интересующее нас приращениемагнитного потока сквозь узкую полоску 8S, ограниченную контурами Гх и Г2.С помощью рис. 9.18 запишем= j B d S = jB[dr,dl] = -(j>[dr,B]dl.(2)Здесь: 1) направление нормали п согласовано с направлением обхода контура — вектором dl (правовинтовая система); 2) направление вектора dS — элемента площади полоски — согласовано свыбором нормалей п; 3) использована циклическая перестановкав смешанном произведении:a[bc] = b[ca] = c[ab] = - [Ъа]с.Разделив выражение (2) на dt, найдемdO/dt = -<j)[vB]dl,(3)где v = dr/dt.
Остается сравнить (3) с (1), откуда и следует, что9.3. Плоская спираль с большим числом N витков, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали (рис. 9.19). Наружный радиусвитков спирали равен а. Магнитное поле изменяется во временипо закону В = Во sin cot. Найти амплитудное значение э.д.с. индукции, наведенной в спирали.Электромагнитная индукция255Решение. Ввиду того что каждый виток спирали практически не отличается от окружности,в нем наводится э.д.с. индукциигг = - c№/df = - яг2Восо cos со*,где г — радиус рассматриваемого витка. Наинтервал значений радиуса dr приходится число витков dN = (N/a) dr.
Витки соединены последовательно, поэтому полная э.д.с. индукции в спиралиРис. 9.19Проинтегрировав, получим следующее выражение для амплитудного значения э.д.с. индукции:9.4. Внутри длинного соленоида находится катушка из N витков сплощадью поперечного сечения S. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитноеполе в соленоиде меняется во времени как В = Во sin cof. Найтиэ.д.с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
