И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид:(10.10)j>Hdl = jfj + —idS,(f D dS = Jp dV,(10.11)где р — объемная плотность сторонних зарядов, j — плотностьтока проводимости.268Глава 10Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупностьнаших сведений об электромагнитном поле.
Содержание этихуравнений заключается в следующем:1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуруравна со знаком минус производной по времени от магнитногопотока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под Е понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое (циркуляция последнего,как известно, равна нулю).2. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуруравна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.4.
Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхностьравен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемыхэтой поверхностью.Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Нследует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этихполей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысллишь совокупность этих полей, описывающая единое электромагнитное поле.Если же поля стационарны (Е = const и В = const), то уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:<J>Edl=O,<j>BdS=O,г<j>Hdl=O,г^DdS=O.(10.12)В этом случае электрическое и магнитное поля независимыдруг от друга, что и позволило нам изучить сначала постоянноеэлектрическое поле, а затем независимо от него и постоянноемагнитное поле.Необходимо подчеркнуть, что рассуждения, с помощью которых мы пришли к уравнениям Максвелла, ни в коей мере немогут претендовать на их доказательство.
Эти уравнения не ль-Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля269зя «вывести», они являются основными аксиомами, постулатами электродинамики, полученными путем обобщения опытныхфактов. Эти постулаты играют в электродинамике такую жероль, как законы Ньютона в классической механике или начала термодинамики.Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Уравнения (10.10) и (10.11) можно представить в дифференциальнойформе, т. е. в виде системы дифференциальных уравнений, аименно:Vx E =Vx H =dB"aTV- в = 0,(10.13)V- D = p-(10.14)Эти уравнения говорят о том, что электрическое поле можетвозникнуть по двум причинам.
Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние, так и связанные. Это следует из уравнения V • D = р, если учесть, что D = е0Е+ Р и V • Р = — р', тогда V • Е со (р + р'). Во-вторых, поле Е образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея).Эти же уравнения говорят о том, что магнитное поле В может возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями, либо тем и другим одновременно.
Это следуетиз уравнения V х Н = j + dD/dt, если учесть, что Н = В/ц0 - J иV х J = j ' , тогда V х В со (j + j ' + дР/dt + zodE/dt), где j ' — плотность тока намагничивания, dP/dt — плотность тока поляризации. Первые три тока связаны с движением зарядов, последний ток — с изменяющимся во времени полем Е.
Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам(по аналогии их называют магнитными зарядами), в природене существует, это следует из уравнения V-B = 0.Значение уравнений Максвелла в дифференциальной формене только в том, что они выражают основные законы электромагнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля Е и В.270Глава 10Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с уравнением движения заряженных частиц под действиемсилы Лоренца(10.15)dp/df = gE + q[vB]составляют фундаментальную систему уравнений. Эта системав принципе достаточна для описания всех электромагнитныхявлений, в которых не проявляются квантовые эффекты.Граничные условия.
Уравнения Максвелла в интегральнойформе обладают большей общностью, чем дифференциальные,ибо они справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва — поверхности, на которых свойства средыили полей меняются скачкообразно. Уравнения же Максвеллав дифференциальной форме предполагают, что все величины впространстве и времени изменяются непрерывно.Можно, однако, достигнуть такой же общности и для дифференциальной формы уравнений, если дополнить их граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия содержатсяв интегральной форме уравнений Максвелла и имеют уже знакомый нам вид:Dln= D2n,Elx = E2T,В1п = В2п,Я1т = Я2т(10.16)(здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда награнице раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости).
Заметим также, что приведенные граничные условия справедливы как для постоянных, так и для переменных полей.Материальные уравнения. Фундаментальные уравненияМаксвелла еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов.Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями,в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называют материальными уравнениями. Вообще говоря, эти уравнения достаточносложны и не обладают той общностью и фундаментальностью, которые свойственны уравнениям Максвелла.Уравнения Максвелла.
Энергия электромагнитного поля271Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленноменяющихся в пространстве и во времени. В этом случае дляизотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид(он нам уже знаком):где Е, ц, a — известные нам постоянные, характеризующиеэлектрические и магнитные свойства среды (диэлектрическая имагнитная проницаемости и электропроводимость), Е* — напряженность поля сторонних сил, обусловленная химическимиили тепловыми процессами.§ 10.3.
Свойства уравнений МаксвеллаУравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственнымкоординатам и первые степени плотности электрических зарядов р и токов j . Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то этоотносится и к сумме этих полей.Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности,выражающее закон сохранения электрического s s"' ^>>заряда.Чтобы убедитьсяв этом,, возьмем беско- //\рдуднечно малый контур Г, натянем на него произ- [фгвольную конечную поверхность S (рис.
10.3), a IJзатем стянем этот контур в точку, оставляя по- \^/верхность S конечной. В пределе циркуляция^*Рис(j)Hdl обращается в нуль, поверхность S стано* 10*3вится замкнутой и первое из уравнений (10.11) перейдет вОтсюда следует, что272Глава 10а это и есть не что иное, как уравнение непрерывности (5.4),которое утверждает, что ток, вытекающий из объема V череззамкнутую поверхность S, равен убыли заряда в единицу времени внутри этого объема V.Тот же закон (уравнение непрерывности) можно получить ииз дифференциальных уравнений Максвелла.
Достаточно взятьдивергенцию от обеих частей первого из уравнений (10.14) ивоспользоваться вторым из уравнений (10.14), и мы получимV • j = - dp/dt.Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальныхсистемах отсчета. Они являются релятивистски инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла (относительно преобразований Лоренца) подтверждаетсямногочисленными опытными данными. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета кдругой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам.
Как при этом преобразуются векторы Е и В, мы выяснили в гл. 8.Итак, уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнениймеханики Ньютона.О симметрии уравнений Максвелла. Уравнения Максвеллане симметричны относительно электрического и магнитногополей. Это обусловлено опять же тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных (насколько известно в настоящее время).
Вместе с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где р = 0 и j = 0, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т. е. Е так связано сdB/dt, как В с dE/dt:V х Е = - SB/dt,V • В = 0,(10.18)V х Н = SD/St,V • D = 0.Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распространяется лишь на знак перед производными dB/dt и dD/dt. Различие в знаках перед этими произ-Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля273водными показывает, что силовые линии вихревого электрического поля,индуцированного изменением поля В,образуют с вектором dB/dt левовинтовую систему, в то время как линии магРис 10 4нитного поля, индуцируемого измене- нием D, образуют с вектором dD/dtправовинтовую систему (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
