И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Длясо + Р =оз о , азатем введем угол б по формулам- р/ю0 = c °s 8, co/o)o = sin8.(11.15)После этого выражение для / примет вид+ а + 8).(11.16)Из (11.15) следует, что угол 5 лежит во второй четверти(я/2 < 5 < я). Это означает, что при наличии активного сопротивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение(11.14) на конденсаторе более чем на я/2.
Заметим, что приR = 0 опережение 5 = я/2.Графики зависимостей Uc(t) и I(t) имеют вид, аналогичныйпоказанному на рис. 11.3 для q(t).Пример. Колебательный контур содержит конденсатор емкости С и катушку с активным сопротивлением R и индуктивностью L.Найдем отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в контуре в момент максимума тока.294Глава 11Согласно уравнению колебательного контура (11.3)dtСВ момент максимума тока dl/dt = 0 и RI = - q/C.
Поэтому искомое отношениеWMW92LI /22q/2CL2CR 'Величины, характеризующие затухание.1. Коэффициент затухания Р и время релаксации т —время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.Из формулы (11.11) нетрудно видеть, чтот = 1/р.(11.17)2. Логарифмический декремент затухания X.
Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значенийамплитуд, взятых через период колебания Т:(11.18)а(* + Г)где а — амплитуда соответствующей величины (q, U, /). Илииначе:X = l/Ne,(11.19)где Ne — число колебаний за время т, т. е. за время, в течениекоторого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Это легкополучить из формул (11.17) и (11.18).Если затухание мало (Р«со)о), то со«со0= 1/VZc и согласно(11.18)А,«р-2я/ю0 =nRjC/L.(11.20)3.
Добротность Q колебательного контура. По определениюQ=n/\ = nNe,(11.21)где X — логарифмический декремент затухания. Чем меньшезатухание, тем больше Q. При слабом затухании (Р «: ю0) согласно (11.20) добротностьjJ(11.22)Электрические колебания295И еще одна полезная формула для Q в случае слабого затуханияQ2Q2TT,(11.23)где W — энергия, запасенная в контуре, 6W — уменьшениеэтой энергии за период колебания Т. В самом деле, энергия Wпропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора,т. е.
W со е~2$*. Отсюда относительное уменьшение энергии запериод 8W/W = 2рГ = 2А,. Остается учесть согласно (11.21), чтоX=n/Q.В заключение отметим, что при р > ю0 вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:Д к р =2y[L/C.(11.24)Рассмотрим два примера.Пример 1. Колебательный контур имеет емкость С, индуктивность L иактивное сопротивление R. Найдем, через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз.Амплитуда тока (1т со е~^') уменьшится в е раз за времят = 1/р.
За это время совершится iVe колебаний. Если Т —период затухающих колебаний,, тоу, что щ = 1/LC и Р = R/2L, получимПример 2. Найдем время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью Q уменьшится в г) раз, если частота затухающих колебаний равна со.Так как амплитуда тока Im со е р , то время t0, за котороеамплитуда уменьшится в г| раз, определяется уравнениемг| = ехр(р*0). Отсюдаt0 =296Глава 11С другой стороны, добротность Q также связана с р:Q = тгД = тт/рТ = ю/2р.Исключив р из последних двух уравнений, получим(О§ 11.3.
Вынужденные электрические колебанияУстановившиеся колебания. Вернемся к уравнениям колебательного контура (11.3) и (11.4) и рассмотрим случай, когда вконтур включена внешняя переменная э.д.с. £, зависящая отвремени по гармоническому закону:&=&mcos(ot.(11.25)Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической э.д.с.В данном случае уравнение колебательного контура записывается какL— + Д/ + 1 =£ m cosat,cUС(11.26)или2=(&m/L)cos<ot.(11.27)Решение этого уравнения, как известно из математики,представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.Нас будут интересовать только установившиеся колебания,т.
е. частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения экспоненциально затухает, и по прошествиинекоторого времени оно практически исчезает, обращается внуль). Нетрудно убедиться, что это решение имеет видq = qmcos(at- v|/),(11.28)где qm — амплитуда заряда на конденсаторе; vj/ — разность фазмежду колебаниями заряда и внешней э.д.с. £(11.25). Как мыЭлектрические колебания297увидим, qm и у определяются только свойствами самого контура и вынуждающей э.д:с. £, причем оказывается, что v/| > 0, поэтому q всегда отстает по фазе от £.Чтобы определить постоянные qm и у, надо подставить(11.28) в исходное уравнение (11.27) и преобразовать полученное выражение. Мы же поступим несколько иначе (в целях достижения большей простоты): сначала найдем ток / и затем еговыражение подставим в исходное уравнение (11.26).
Попутнобудет решен и вопрос с постоянными qm и v|/.Продифференцировав (11.28) по t, найдем- vj/) = (ogmcos(co£ - \\t + я/2).Запишем это выражение так:/ = Imcos(G>t - ф),(11.29)где 1т — амплитуда тока, q> — сдвиг по фазе между током ивнешней э.д.с. £,1т = <*Ят, Ф = у - я / 2 .(11.30)Наша задача найти 1т и q>. С этой целью мы поступим следующим образом.
Представим исходное уравнение (11.26) в видеUL + UR + Uc = £mcos at,(11.31)где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопротивлении R и емкости С. Таким образом, мы видим, чтосумма этих напряжений равна в каждый момент внешней э.д.с.£ Учитывая соотношения (11.30), запишем:UR=RI = RImcos(cot - ф),Uc = -£ = ^ cos(o)* - у ) = -^L c o s | at - ф - - j ,(11.32)(11.33)UL = L — = - © L J m sin(ro*-ф) = G>LJm cos ю * - ф + - I . (11.34)d*V2y298Глава 11Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно,что UR находится в фазе с током /, Uc отстает по фазе от / ная/2, a UL опережает I на я/2.
Все это можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы, изобразив амплитудынапряженийURm= RIm,UCm = / m /(oC,ULm = G)LJmи их векторную сумму, равную согласно (11.31) вектору величины £т (рис. 11.4).Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить следующие выражения для 1т и ф в (11.29):1 т =' 22^= Т '+ (<лЬ - 1/аСу( 1 1 3 5 )(u.36)RОсь токаЛЗадача, таким образом, решена.Заметим в заключение, что полученная нами векторная диаграммаис* 'оказывается весьма полезной при решении многих конкретных вопросов.
Она позволяет наглядно,легко и быстро ангшизировать различные ситуации.Резонансные кривые. Так называют графики зависимостейот частоты со внешней э.д.с. $ амплитуд следующих величин:тока /, заряда q на конденсаторе и напряжений URt Uc и UL>определяемых формулами (11.32)-(11.34).Резонансные кривые для силы тока /т(со) показаны на рис.11.5. Как видно из выражения (11.35), амплитуда силы токаимеет максимальное значение при (oL - 1/wC = 0. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственнойчастотой контура:Ю/рез =0) 0 =1/уПС.(11.37)Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее,чем меньше коэффициент затухания р = R/2L.Электрические колебанияС0Л299CDсооРис. 11.5соРис. 11.6Резонансные кривые для заряда на конденсаторе gm(co) показаны на рис.
11.6 (резонансные кривые для напряжения UCm наконденсаторе имеют такой же вид). Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте(11.38)которая по мере уменьшения Р все больше приближается к со0.Для получения выражения (11.38) надо представить qm согласно (11.30) как qm = Im /со, где 1т дается формулой (11.35). Тогда.gT/L„:-(П.39)Максимум этой функции, или, что то же самое, минимумподкоренного выражения, найдем, приравняв производную посо от подкоренного выражения к нулю. Отсюда и получим резонансную частоту (11.38).Теперь посмотрим, как перераспределяются амплитуды напряжений UR> U HU Bзависимости от частоты со внешнейэ.д.с.
Эта картина изображенана рис. 11.7.Резонансные частоты дляU Uc и UL определяются елесодующими формулами:CL300Глав2=о) О А /1-2(р/со о ) ,а11(11.40)Чем меньше р, тем ближе резонансные частоты всех величин к значению соо.Резонансные кривые и добротность Q. Форма резонансныхкривых определенным образом связана с добротностью Q контура. Особенно простой эта связь оказывается для случая слабого затухания, т.
е. при р <зс ю0. В этом случае(рис. 11.7). Действительно, при р <к ш0 величина ю рез « ю0 и согласно (11.33) и (11.35) С7Срез = / т /0) 0 С=^ т /0) 0 СЛ, или UCmpe3/€m == лГьС/CR = (±/R)^L/C, а это, как показывает сравнение с формулой (11.22), и есть Q.Таким образом, добротность контура (при р «: ш0) показывает, во сколько раз максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе (и на индуктивности) превышает амплитуду внешней э.д.с.Добротность контура связана и с другой важной характеристикой резонансной кривой — ее шириной. Оказывается, приР^озоQ = o)0/5o,(11.42)где о)о — резонансная частота; 8ю — ширина резонансной кривой на «высоте», равной 0,7 от максимальной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
